Có bao nhiêu đường thẳng đi qua A(4; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ làm một số nguyên tố.

Chứng minh dễ dàng được: Đường thẳng phải tìm cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đường thẳng có dạng \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

Điểm A(4; 3) thuộc đường thẳng nên \(\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1.\)

Do đó, \(b = \frac{{3a}}{{a - 4}} = 3 + \frac{{12}}{{a - 4}}\)

Do a là số nguyên tố nên \(a \ge 2,a - 4 \ge  - 2\)

Lần lượt cho \(a - 4\) nhận các giá trị \( \pm 2; \pm 1;3;4;6;12\) với chú ý rằng a là số nguyên tố và \(b > 0\), ta tìm được \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 15\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = 7\end{array} \right.\)

Do đó ta tìm được hai đường thẳng \(\frac{x}{5} + \frac{y}{{15}} = 1\) (hay \(y =  - 3x + 15\)) và \(\frac{x}{7} + \frac{y}{7} = 1\) (hay \(y =  - x + 7\))