Cho tam giác ABC có $AB = 4cm,AC = 5cm,BC = 6cm$ , các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I. Tỉ số diện tích của các tam giác ADE và ABC là:

Tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC nên $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \Rightarrow AD = \frac{2}{3}DC$

Lại có: $AC = DC + AD = \frac{2}{3}DC + DC = \frac{5}{3}DC \Rightarrow \frac{5}{3}DC = 5 \Rightarrow DC = 3cm \Rightarrow AD = 2cm$

Vì tam giác DAE và tam giác CAE có chung đường cao kẻ từ E đến AC nên $\frac{{{S_{DAE}}}}{{{S_{ACE}}}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}\left( 1 \right)$

Vì tam giác ACE và tam giác CAB có chung đường cao kẻ từ C đến AB nên $\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{AE}}{{AB}}\left( 2 \right)$

Tam giác ABC có CE là đường phân giác của góc ACB nên:

$\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{EB}}{{BC}}$ hay $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6}$
Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: $\frac{{AE}}{5} = \frac{{EB}}{6} = \frac{{AE + EB}}{{5 + 6}} = \frac{{AB}}{{11}} = \frac{4}{{11}}$

Suy ra: $AE = \frac{4}{{11}}.5 = \frac{{20}}{{11}} \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{5}{{11}}\left( 3 \right)$

Thay (3) vào (2) ta có: $\frac{{{S_{ACE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{5}{{11}}\left( 4 \right)$

Nhân vế với vế của (1) và (4) ta có: $\frac{{{S_{ADE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{2}{5}.\frac{5}{{11}} = \frac{2}{{11}}$