Đề bài

Cho hàm số bậc hai $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số $g\left( x \right)$ xác định theo $f\left( x \right)$ có đạo hàm $g'\left( x \right) = f\left( x \right) + m$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $g\left( x \right)$ không có cực trị.

A.

$m \leqslant 1$
B.

$m \geqslant 1$
C.

$m > 1$ hoặc $m < 0$
D.

$m > 1$

Phương pháp giải

- Bước 1: Tìm phương trình hàm số $y = f\left( x \right)$ từ đồ thị đã cho.

- Bước 2: Thay $f\left( x \right)$ vào tìm $g'\left( x \right)$ .

- Bước 3: Hàm số $y = g\left( x \right)$ không có cực trị $\Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

- Bước 4: Kết luận.

Lời giải của GV HocTot.XYZ

Gọi hàm số $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ .

Đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ nhận điểm $\left( {0; - 1} \right)$ làm đỉnh và đi qua điểm $\left( {1;1}\right)$ nên $a = 2;b = 0;c = - 1$ hay $f\left( x \right) = 2{x^2} - 1$ .

Do đó $g'\left( x \right) = 2{x^2} + m - 1$ .

Hàm số $y = g\left( x \right)$ không có cực trị $\Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow m - 1 \geqslant 0 \Leftrightarrow m \geqslant 1$ .

Vậy $m \geqslant 1$ .

Đáp án : B

Chú ý

HS cần lưu ý điều kiện để hàm số bậc ba không có cực trị là phương trình $y' = 0$ vô nghiệm mà quên mất trường hợp có nghiệm kép dẫn đến chọn nhầm đáp án D, một số em khác lại chọn nhầm đáp án A vì giải sai điều kiện của $g'\left( x \right)$ .

Cách khác: Có thể nhận xét dựa vào đồ thị hàm số như sau:

Ta có: $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) + m = 0$ $\Leftrightarrow f\left( x \right) = - m$ .

Hàm số $y = g\left( x \right)$ không có cực trị $\Leftrightarrow g'\left( x \right) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép $\Leftrightarrow f\left( x \right) = - m$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

Quan sát đồ thị ta thấy, để $f\left( x \right) = - m$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì $- m \le - 1 \Leftrightarrow m \ge 1$ .

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề