Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B.$ Biết $AD = 2a,\,AB = BC = SA = a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy, gọi $M$ là trung điểm của $AD.$ Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ theo $a.$

Ta có:

$\frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right).$

Vì $M$là trung điểm của $AD$ nên có: $AM = MD = \frac{1}{2}AD = a.$

Tứ giác $ABCM$ có: $BC//AM\,\,\left( {gt} \right)$ và $BC = AM = a$ nên nó là hình bình hành.

Suy ra: $CM = AB = a.$

Tam giác $ACD$ có $CM$ là đường trung tuyến và $CM = AM = MD = \frac{1}{2}AD$ nên tam giác $ACD$là tam giác vuông tại $C.$

Suy ra: $CD \bot AC.$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\CD \bot SA\,\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right).$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAC} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAC} \right).$

Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right),$ kẻ $AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right).$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC\\AH \bot SC\\AH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right).$

Suy ra: $d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH.$

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AB = BC = a$ nên $AC = a\sqrt 2 .$

Tam giác $SAC$ vuông tại $A\,\,\left( {do\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)$ có :

$AH = \frac{{AS.AC}}{{\sqrt {A{S^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a.\,a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$

Suy ra: $d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.$

Suy ra: $d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.$

Vậy $d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.$

Đáp án

$\frac{{a\sqrt 6 }}{6}$