Nội dung từ Loigiaihay.Com
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết AD=2a,AB=BC=SA=a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) theo a.
+ Sử dụng phương pháp: Nếu đường thẳng // mặt phẳng thì khoảng cách giữa các điểm thuộc đường thẳng đó đến mặt phẳng sẽ bằng nhau.
+ Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của chóp.
Ta có:
d(M,(SCD))d(A,(SCD))=DMDA=12⇒d(M,(SCD))=12d(A,(SCD)).
Vì Mlà trung điểm của AD nên có: AM=MD=12AD=a.
Tứ giác ABCM có: BC//AM(gt) và BC=AM=a nên nó là hình bình hành.
Suy ra: CM=AB=a.
Tam giác ACD có CM là đường trung tuyến và CM=AM=MD=12AD nên tam giác ACDlà tam giác vuông tại C.
Suy ra: CD⊥AC.
Ta có:
{CD⊥AC(cmt)CD⊥SA(doSA⊥(ABCD))⇒CD⊥(SAC).
Ta có:
{CD⊥(SAC)CD⊂(SCD)⇒(SCD)⊥(SAC).
Trong mặt phẳng (SAC), kẻ AH⊥SC(H∈SC).
Ta có:
{(SCD)⊥(SAC)(SCD)∩(SAC)=SCAH⊥SCAH⊂(SAC)⇒AH⊥(SCD).
Suy ra: d(A,(SCD))=AH.
Tam giác ABC vuông cân tại B có AB=BC=a nên AC=a√2.
Tam giác SAC vuông tại A(doSA⊥(ABCD)) có :
AH=AS.AC√AS2+AC2=a.a√2√a2+2a2=a√63.
Suy ra: d(A,(SCD))=AH=a√63.
Suy ra: d(M,(SCD))=12.a√63=a√66.
Vậy d(M,(SCD))=a√66.
Đáp án
a√66
Các bài tập cùng chuyên đề