Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là  $s = s(t) = 2{t^2} + t - 1$ (t được tính bằng giây, s được tính bẳng mét)

a) Đạo hàm của hàm số $s(t)$tại thời điểm ${t_0}$

Ta có:

 $\begin{array}{l}f'({t_0}) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{f(t) - f({t_0})}}{{t - {t_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{2{t^2} + t - 1 - (2{t_0}^2 + {t_0} - 1)}}{{t - {t_0}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {\frac{{(t - {t_0})\left[ {2\left( {t + {t_0}} \right) + 1} \right]}}{{t - {t_0}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left[ {2\left( {t + {t_0}} \right) + 1} \right] = 4{t_0} + 1\end{array}$

b) Phương trình vận tốc của chất điểm là: $v(t) = s' = s'(t) = 4t + 1$

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 2 (s) là: $v(2) = 4.2 + 1 = 9$$(m/s)$

c) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 5 (s) là: $v(5) = 4.5 + 1 = 21$$(m/s)$

d) Trong khoảng thời gian từ $t = 0$ tới $t = 2s$thì chất điểm di chuyển được quãng đường: $4.2 + 2 - 1 = 9(m)$

Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian 2s kể từ thời điểm $t = 0$ là:

$\overline v  = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{9 - 0}}{{2 - 0}} = 4,5(m/s)$