Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = x. Tìm x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau một góc 60°

Kẻ $BH \bot SC \Rightarrow DH \bot SC$(hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

$\Rightarrow \left( {(SBC),(SCD)} \right) = \left( {BH,DH} \right) = {60^0}$

Có hai trường hợp xảy ra:

TH1:

$\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {30^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {30^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a\sqrt {\frac{3}{2}} \end{array}$

Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {\frac{3}{2}} }}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow 3({x^2} + 2{a^2}) = {x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6{a^2} = 0\end{array}$

$\Leftrightarrow x = a\sqrt 3$(không có đáp án nào thỏa mãn)

TH2:

$\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {60^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {60^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\end{array}$

Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{a}{{\sqrt 6 }}}}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow {x^2} + 2{a^2} = 3{x^2}\\ \Leftrightarrow x = a\end{array}$

Đáp án D.