Trục căn thức ở mẫu (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $\frac{{2\sqrt 6  + 1}}{{4\sqrt 6 }}$;

b) $\frac{{\sqrt 5  - 3}}{{\sqrt 5  + 3}}$;

c) $\frac{4}{{\sqrt {10}  - \sqrt 8 }}$;

d) $\frac{{ab}}{{2\sqrt a  - \sqrt b }}$;

e) $\frac{{3x}}{{4\sqrt x  - 1}}$;

g) $\frac{{\sqrt m  + \sqrt n }}{{m\sqrt n }}$.

Bài 1 :

Sau  khi rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }}$ ta được phân số tối giản $\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $2a$ có giá trị là:

Bài 2 :

Trục căn thức ở mẫu  biểu thức  $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}$với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được

Bài 3 :

Trục căn thức ở mẫu  biểu thức  $\dfrac{6}{{\sqrt x  + \sqrt {2y} }}$với $x \ge 0;y \ge 0$ ta được

Bài 4 :

Tính giá trị biểu thức$\left( {\dfrac{{\sqrt {14}  - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15}  - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7  - \sqrt 5 }}.$

Bài 5 :

Giá trị biểu thức $\dfrac{3}{2}\sqrt 6  + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}}  - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}}$ là giá trị nào sau đây?

Bài 6 :

Giá trị của biểu thức $\sqrt {\dfrac{3}{{20}}}  + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}}  - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}}$ là

Bài 7 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{a}{{\sqrt 5  + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5  - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a$ ta được

Bài 8 :

Sau khi rút gọn biểu thức $\dfrac{2}{{7 + 3\sqrt 5 }} + \dfrac{2}{{7 - 3\sqrt 5 }}$ là phân số tối giản $\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $a + b$ có giá trị là:

Bài 9 :

Trục căn thức ở mẫu biểu thức  $\dfrac{3}{{6 + \sqrt {3a} }}$ với $a \ge 0;a \ne 12$ ta được:

Bài 10 :

Trục căn thức ở mẫu  biểu thức $\dfrac{4}{{3\sqrt x  + 2\sqrt y }}$ với $x \ge 0;y \ge 0;x \ne \dfrac{4}{9}y$ ta được:

Bài 11 :

Tính giá trị biểu thức $\left( {\dfrac{{10 + 2\sqrt {10} }}{{\sqrt 5  + \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {30}  - \sqrt 6 }}{{\sqrt 5  - 1}}} \right):\dfrac{1}{{2\sqrt 5  - \sqrt 6 }}$

Bài 12 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{{4a}}{{\sqrt 7  - \sqrt 3 }} - \dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt 2 }} - \dfrac{a}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}$ ta được:

Bài 13 :

Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) $\frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt 3 }};$

b) $\frac{{{a^2} - 2a}}{{\sqrt a  + \sqrt 2 }}\left( {a \ge 0,a \ne 2} \right).$

Bài 14 :

Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v (m/s) được cho bởi công thức $m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }},$ trong đó ${m_0}$ (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016) .

a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính khối lượng m theo ${m_0}$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ $v = \frac{1}{{10}}c.$

Bài 15 :

Khử mẫu trong dấu căn:

a) $2a.\sqrt {\frac{3}{5}} ;$

b) $- 3x.\sqrt {\frac{5}{x}} \left( {x > 0} \right);$

c) $- \sqrt {\frac{{3a}}{b}} \left( {a \ge 0,b > 0} \right).$

Bài 16 :

Rút gọn biểu thức $A = \sqrt x \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right)\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right).$

Bài 17 :

Khử mẫu của các biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt {\frac{{11}}{6}}$

b) $a\sqrt {\frac{2}{{5a}}}$ với a > 0

c) $4x\sqrt {\frac{3}{{4xy}}}$ với x > 0; y > 0

Bài 18 :

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{{2\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}$

b) $\frac{{10}}{{3\sqrt 5 }}$

c) $- \frac{3\sqrt a}{\sqrt {12 a}}$ với a > 0

Bài 19 :

Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

a) $\sqrt {\frac{4}{7}}$

b) $\sqrt {\frac{5}{{24}}}$

c) $\sqrt {\frac{2}{{3{a^3}}}}$ với a > 0

d) $2ab\sqrt {\frac{{{a^2}}}{{2b}}}$ với a < 0, b > 0

Bài 20 :

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{4}{{\sqrt {13}  - 3}}$

b) $\frac{{10}}{{5 + 2\sqrt 5 }}$

c) $\frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt a  + \sqrt b }}$ với a > 0; b > 0, $a \ne b$.

Bài 21 :

Trục căn thức ở mẫu biểu thức $\frac{{\sqrt 6  - \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 a}}$ với a > 0, ta có kết quả

A. $\frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt a }}$

B. $\frac{{\left( {\sqrt 6  - \sqrt 3 } \right)\sqrt a }}{{3a}}$

C. $\frac{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\sqrt a }}{a}$

D. $\sqrt {2a}  - \sqrt a$

Bài 22 :

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\frac{{4 - 2\sqrt 6 }}{{\sqrt {48} }}$

b) $\frac{{3 - \sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}$

c) $\frac{a}{{a - \sqrt a }}$ với a > 0, a $\ne$1

Bài 23 :

Xét phép biến đổi: $\frac{5}{{\sqrt 3 }} = \frac{{5\sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 } \right)_{}^2}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}$. Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: $\frac{5}{{\sqrt 3 }};\frac{{5\sqrt 3 }}{3}$.

Bài 24 :

Trục căn thức ở mẫu:

a. $\frac{9}{{2\sqrt 3 }}$;

b. $\frac{2}{{\sqrt a }}$ với $a > 0$;

c. $\frac{7}{{3 - \sqrt 2 }}$;

d. $\frac{5}{{\sqrt x  + 3}}$ với $x > 0;x \ne 9$;

e. $\frac{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}$;

g. $\frac{1}{{\sqrt x  - \sqrt 3 }}$ với $x > 0,x \ne 3$.

Bài 25 :

Trục căn thức ở mẫu:

a. $\frac{{x_{}^2 + x}}{{\sqrt {x + 1} }}$ với $x >  - 1$;

b. $\frac{3}{{\sqrt x  - 2}}$ với $x > 0;x \ne 4$;

c. $\frac{{\sqrt 3  - \sqrt 5 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }}$;

d. $\frac{{x_{}^2 - 9}}{{\sqrt x  - \sqrt 3 }}$ với $x > 0;x \ne 3$.

Bài 26 :

Cho biểu thức: $N = \frac{{x\sqrt x  + 8}}{{x - 4}} - \frac{{x + 4}}{{\sqrt x  - 2}}$ với $x \ge 0,x \ne 4$.

a. Rút gọn biểu thức N.

b. Tính giá trị của biểu thức tại $x = 9$.

Bài 27 :

Trục căn thức ở mẫu (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a) $\frac{6}{{\sqrt x }}$;

b) $\frac{{\sqrt y }}{{1 + \sqrt y }}$;

c) $\frac{{x\left( {x - y} \right)}}{{\sqrt x  - \sqrt y }}$.

Bài 28 :

Cho $\frac{2}{{\sqrt 3  + \sqrt 5 }} = \sqrt a  - \sqrt b$ với a, b là các số nguyên dương. Khi đó giá trị $a - b$ bằng:

Bài 29 :

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2  - 1}}$.

b) Tính giá trị biểu thức $P = x\left( {{x^4} - 6{x^2} + 1} \right)$ tại $x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2  - 1}}$.

Bài 30 :

Trục căn thức ở mẫu các biểu thức:

a) $\frac{{5\sqrt 2 }}{{\sqrt {15} }}$

b) $- \frac{{2\sqrt 5 }}{{\sqrt {18} }}$

c) $\frac{{6a}}{{\sqrt {2a{b^2}} }}(a > 0;b > 0)$