Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là $v\left( t \right) = {t^2} - t - 6$ (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \le t \le 4$, tức là tính $\int\limits_1^4 {v\left( t \right)dt}$.

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính $\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt}$. 

 

Bài 1 :

Tính $\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx}$.

Bài 2 :

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx}$;

b) $\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx}$;

c) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$.

Bài 3 :

Cho $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = 5}$ và $\int\limits_0^3 {g\left( x \right)dx = 2}$. Tính:

a) $\int\limits_0^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}$;

b) $\int\limits_0^3 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$;

c) $\int\limits_0^3 {3f\left( x \right)dx}$;

d) $\int\limits_0^3 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx}$.

Bài 4 :

Tính:

a) $\int\limits_0^3 {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx}$;

b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \sin x} \right)dx}$;

c) $\int\limits_0^1 {\left( {{e^{2x}} + 3{x^2}} \right)dx}$;

d) $\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {2x + 1} \right|dx}$.

Bài 5 :

Tính các tích phân sau:

a) $I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|dx}$;

b) $I = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x - 1} \right)}^3}dx}$;

c) $I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {3\sin x - \frac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}^3}dx}$;

d) $I = \int\limits_1^2 {\left( {2{e^x} - \frac{1}{x}} \right)dx}$.

Bài 6 :

So sánh $\int\limits_0^1 {2xdx}$ và $2\int\limits_0^1 {xdx}$

Bài 7 :

So sánh: $\int\limits_0^1 {2xdx}  + \int\limits_1^2 {2xdx}$ và $\int\limits_0^2 {2xdx}$

Bài 8 :

So sánh:

a) $\int\limits_0^1 {(2x + 3)dx}$ và $\int\limits_0^1 {2xdx}  + \int\limits_0^1 {3dx}$

b) $\int\limits_0^1 {(2x - 3)dx}$ và $\int\limits_0^1 {2xdx}  - \int\limits_0^1 {3dx}$

Bài 9 :

Cho $\int\limits_0^4 {f(x)dx}  = 4,\int\limits_3^4 {f(x)dx}  = 6$. Tính $\int\limits_0^3 {f(x)dx}$

Bài 10 :

Biết rằng tốc độ $v$ (km/phút) của một ca nô cao tốc thay đổi theo thời gian $t$ (phút) như sau: $v\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,5t{\rm{   }}\left( {0 \le t \le 2} \right)}\\{{\rm{   }}1{\rm{       }}\left( {2 \le t < 15} \right)}\\{4 - 0,2t{\rm{ }}\left( {15 \le t \le 20} \right)}\end{array}} \right.$. Tính quãng đường ca nô di chuyển được trong khoảng thời gian từ 0 đến 20 phút.

Bài 11 :

Tính

a) $\int\limits_{ - 1}^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx}  - \int\limits_1^{\frac{1}{2}} {\left( {4{x^3} - 5} \right)dx}$

b) $\int\limits_0^3 {\left| {x - 1} \right|dx}$

c) $\int\limits_0^\pi  {\left| {\cos x} \right|dx}$

Bài 12 :

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x$. Tính và so sánh kết quả:

 $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$ và $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$

Bài 13 :

Tại một nhà máy sản xuất một loại phân bón, gọi $P\left( x \right)$ là lợi nhuận (tính theo triệu đồng) thu được từ việc bán $x$ tấn sản phẩm trong một tuần. Khi đó, đạo hàm $P'\left( x \right)$ gọi là lợi nhuận cận biên, cho biết tốc độ tăng lợi nhuận theo lượng sản phẩm bán được. Giả sử lợi nhuận cận biên (tính theo triệu đồng trên tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $P'\left( x \right) = 16 - 0,02x$ với $0 \le x \le 100$. Tính lợi nhuận nhà máy thu được khi bán 90 tấn sản phẩm trong tuần. Biết rằng nhà máy lỗ 25 triệu đồng nếu không bán được lượng sản phẩm nào trong tuần.

Bài 14 :

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_1^2 {\frac{{x - 1}}{{{x^2}}}} dx$

b) $\int\limits_0^\pi  {\left( {1 + 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx}$

c) $\int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}dx}  + \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4x - {x^2}} \right)dx}$

Bài 15 :

a) Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = {x^2} + {e^x}$. Từ đó, tính $\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + {e^x}} \right)dx}$.

b) Tính $\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {{e^x}dx}$

c) Có nhận xét gì về hai kết quả trên?

Bài 16 :

Tính

a) $\int\limits_{ - 1}^1 {4{x^7}dx}$

b) $\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{ - 3}}{{10x}}dx}$

c) $\int\limits_0^2 {\frac{{{5^{x - 1}}}}{2}dx}$

Bài 17 :

a) Tìm một nguyên hàm $F\left( x \right)$ của hàm số $f\left( x \right) = 6{x^5}$. Từ đó, tính $I = \int\limits_0^2 {6{x^5}dx}$.

b) Tính $J = \int\limits_0^2 {{x^5}} dx$.

c) Có nhận xét gì về giá trị của $I$ và $6J$?

Bài 18 :

Biết rằng $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  =  - 4$. Giá trị của $\int\limits_0^2 {\left[ {3x - 2f\left( x \right)} \right]dx}$ bằng

A. $- 2$

B. $12$

C. $14$

D. $22$

Bài 19 :

Cho $\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx}  = 6$ và $\int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx}  = 2$. Hãy tính:

a) $\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx}$;

b) $\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx}$.

Bài 20 :

Cho $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = 3$ và $\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx}  = 7$. Giá trị của $\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx}$ là

A. 10.

B. 4.

C. -4.

D. 3.

Bài 21 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}  = 4$. Giá trị của tích phân $\int\limits_0^4 {2f\left( x \right)dx}$ là

A. 2.

B. 4.

C. 8.

D. 16.

Bài 22 :

Nếu $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 4$ thì $\int\limits_0^1 {2f\left( x \right)dx}$ bằng:

A. 16.

B. 4.

C. 2.

D. 8.

Bài 23 :

Nếu $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  =  - 2$ và $\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  = 1$ thì $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}$ bằng:

A. ‒3.

B. ‒1.

C. 1.

D. 3.

Bài 24 :

Nếu $\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  = 3$ và $\int\limits_2^3 {g\left( x \right)dx}  = 1$ thì $\int\limits_2^3 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}$ bằng:

A. 4.

B. 2.

C. ‒2.

D. 3.

Bài 25 :

Cho $\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx}  = 5$ và $\int\limits_{ - 2}^1 {g\left( x \right)dx}  =  - 4$. Tính:

a) $\int\limits_1^{ - 2} {f\left( x \right)dx}$;

b) $\int\limits_{ - 2}^1 { - 4f\left( x \right)dx}$;

c) $\int\limits_{ - 2}^1 {\frac{{ - 2g\left( x \right)}}{3}dx}$;

d) $\int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx}$;

e) $\int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx}$;

g) $\int\limits_{ - 2}^1 {\left[ {3f\left( x \right) - 5g\left( x \right)} \right]dx}$.

Bài 26 :

Cho $\int\limits_{ - 1}^3 {f\left( x \right)dx}  = 2,\int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx}  =  - 5$. Tính tích phân $\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}$.

Bài 27 :

Biết $F\left( x \right) = {e^x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của $\int\limits_0^1 {\left[ {3 + f\left( x \right)} \right]dx}$ bằng:

A. $2 + e$.

B. $3 + e$.

C. 3.

D. $3{\rm{x}} + {e^x}$.

Bài 28 :

Cho $\int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 1} \right]dx}  = 3$. Tính $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}$.

Bài 29 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx}  =  - 2;\int\limits_0^5 {f\left( t \right)dt}  = 4$. Tính $\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx}$.

Bài 30 :

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|dx}$;

b) $\int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{e^x} - 1} \right|dx}$.