Đề bài

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$ .

b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải bài toán: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$

Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để tính: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ $\overrightarrow a$ được kí hiệu là $\left| {\overrightarrow a } \right|$ .

Lời giải của GV HocTot.XYZ

a) Gọi H là tâm của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, H là trung điểm của AC’. Do đó, $\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {HC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'}$ .

Vì G là trọng tâm của tam giác BC’D’ và C’H là đường trung tuyến của tam giác BC’D’ nên: $\overrightarrow {HG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC'}$ .

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên $\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$ (quy tắc hình hộp)

Ta có: $\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {HC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC'} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$

b) Theo phần a ta có: $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC'}$ nên $AG = \frac{2}{3}AC'$

Tam giác ACD vuông tại D nên $AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = a\sqrt 2$

Tam giác ACC’ vuông tại C nên $AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3$

Do đó, $AG = \frac{2}{3}.a\sqrt 3 = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

Xem thêm : SGK Toán 12 - Kết nối tri thức

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hình lập phương $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ , Tìm giá trị của $k$ thích hợp để $\overrightarrow {AB} \,\, + \overrightarrow {{B_1}{C_1}} + \overrightarrow {D{D_1}} = k\overrightarrow {A{C_1}}$ .

A.

$k = 4$
B.

$k=1$
C.

$k=0$
D.

$k=2$

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Cho $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ là hình hộp, trong các khẳng định sau khẳng định sai:

A.

$\overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {{A_1}C} = 2\overrightarrow {AC}$
B.

$\overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}} + 2\overrightarrow {C_1{C}} = \overrightarrow 0$
C.

$\overrightarrow {A{C_1}} + \overrightarrow {{A_1}C} = \overrightarrow {A{A_1}}$
D.

$\overrightarrow {C{A_1}} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {C{C_1}}$

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho $SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB$ . Chứng minh rằng $\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC}$ .

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ và $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right)$ .

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) $\overrightarrow {AA'}$ và $\overrightarrow {C'C;}$
b) $\overrightarrow {AA'}$ và $\overrightarrow {BC;}$
c) $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {B'A'}$ .

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho $SM = 2AM$ . Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho $CN = 2BN$ . Chứng minh rằng $\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {AB}$ .

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {DG} = \overrightarrow 0$ .
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG}$ .
C. $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow {BG}$ .
D. $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$ .

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ $\overrightarrow {AM}$ bằng
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$ .
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}$ .
C. $\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'}$ .
D. $\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$ .

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB'}$ .
B. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$ .
C. $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AD'}$ .
D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AC'}$ .

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn $\overrightarrow {AG}$ theo $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {AA'}$ .
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0$ ;

b) Nếu $AB \bot CD$ và $AC \bot BD$ thì $AD \bot BC$ .

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)$ .

b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Một lực tĩnh điện $\overrightarrow F$ tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MNP (Hình 29). Biết $q = {2.10^{ - 12}}C$ , vectơ điện trường có độ lớn $E = 1,{8.10^5}$ N/C và d = MH = 5mm. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện $\overrightarrow F$ .

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A.

Với hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ bất kì và số thực $k$ , ta có $k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - \overrightarrow b$
B.

Với hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ bất kì và số thực $k$ , ta có $k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b$
C.

Với hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ bất kì và số thực $k$ , ta có $k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a \overrightarrow b$
D.

Với hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ bất kì và số thực $k$ , ta có $k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b$

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Các vecto bằng với vecto $\overrightarrow {AB}$ là $\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'}$

b) Vecto đối của vecto $\overrightarrow {A'A}$ là $\overrightarrow {B'B}$

c) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {A'B'}$

d) $\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A}$

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Cho tứ diện ABCD có BA, BC, BD đôi một vuông góc và BA = BC = BD = 1. Gọi I là trung điểm của AC.

a) $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA}$

b) $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = - 1$

c) $\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} = - \frac{1}{2}$

d) $\left( {\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} } \right) = {120^o}$

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là?

A.

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$
B.

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD}$
C.

$\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD}$
D.

$\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD}$

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho ba vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ không đồng phẳng. Xét các vecto $\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b$ ; $\overrightarrow y = - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b$ ; $\overrightarrow z = - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c$ . Chọn khẳng định đúng?

A.

Hai vecto $\overrightarrow y ,\overrightarrow z$ cùng phương
B.

Hai vecto $\overrightarrow x ,\overrightarrow y$ cùng phương
C.

Hai vecto $\overrightarrow x ,\overrightarrow z$ cùng phương
D.

Ba vecto $\overrightarrow x ,\overrightarrow y ,\overrightarrow z$ đồng phẳng.

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có $AB = a$ , $BC = 2a$ , $A{A_1} = 3a$ .

a) $\left( {\overrightarrow {A{B_1}} ;\overrightarrow {{C_1}D} } \right) = {45^o}$

b) $\overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {{D_1}D} = 9{a^2}$

c) $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{C_1}{A_1}} .\overrightarrow {{C_1}{B_1}}$

d) $\overrightarrow {{A_1}{D_1}} .\overrightarrow {{C_1}C} = 0$

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Một con nhện đang treo mình dưới một sợi tơ theo phương thẳng đứng thì bị một cơn gió thổi theo phương ngang làm dây treo lệch đi so với phương thẳng đứng một góc ${30^o}$ . Biết trọng lượng của con nhện là P = 0,1 N. Xác định độ lớn của lực mà gió tác dụng lên con nhện ở vị trí cân bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và G là trọng tâm tam giác SBD.

a) $\overrightarrow {SG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {SO}$

b) $\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG}$

c) $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG}$

d) $\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 12\overrightarrow {GO}$

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ cùng tác động vào một vật có phương đôi một vuông góc và có độ lớn lần lượt là 2N; 3N; 4N. Hợp lực của ba lực đã cho có độ lớn bao nhiêu Niu-tơn (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)?

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A.

Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng
B.

Hai vecto cùng phương là hai vecto có giá song song hoặc trùng nhau
C.

Hai vecto bằng nhau là hai vecto cùng hướng và có độ dài bằng nhau
D.

Hai vecto cùng phương thì cùng hướng

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AC'}$

b) $\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BB'}$

c) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow 0$

d) $\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {C'D}$

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$
B.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'}$
C.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD}$
D.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {A'C}$

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) $\overrightarrow {A'A} = - \overrightarrow {CC'}$

b) $\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {CD'}$

c) $\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C}$

d) $\overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} = 2\overrightarrow {A'C}$

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là ${30^o}$ . Độ lớn của trọng lực $\overrightarrow P = m\overrightarrow g$ tác dụng lên em nhỏ, cho biết vecto gia tốc rơi tự do $\overrightarrow g$ có độ lớn là 9,8 $m/{s^2}$ . Công A (J) sinh bởi một lực $\overrightarrow F$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow d$ được tính bởi công thức $A = \overrightarrow F .\overrightarrow d$ . Hãy tính công sinh bởi trong lực $\overrightarrow P$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt (làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Trong không gian, gọi $\alpha$ là góc giữa hai vecto $\overrightarrow m$ và $\overrightarrow n$ khác vecto không. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

${0^o} \le \alpha \le {180^o}$
B.

${0^o} < \alpha < {180^o}$
C.

${0^o} \le \alpha \le {90^o}$
D.

${0^o} < \alpha < {90^o}$

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^o}$ . Hãy xác định góc giữa cặp vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ .

A.

${60^o}$
B.

${45^o}$
C.

${120^o}$
D.

${90^o}$

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Cho hai vecto $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1$ và $\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3$ . Độ dài vecto $3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b$ là?

A.

$5\sqrt 5$
B.

$\sqrt {124}$
C.

8
D.

124

Xem lời giải >>