So sánh hai biểu thức $C =  - \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x - 1}}} \right)$ và $D =  - \frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 1}}.$

Bài 1 :

Cho biểu thức $P = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} + 6x + 9}} + \frac{3}{{x - 3}} + \frac{6x}{{9 - {x^2}}}$

a) Rút gọn biểu thức đã cho

b) Tính giá trị của biểu thức tại $x = - 2$

Bài 2 :

Giải phương trình $\frac{{x - 15}}{{17}} + \frac{{x - 36}}{{16}} + \frac{{x - 58}}{{14}} + \frac{{x - 76}}{{12}} = 14$.

Bài 3 :

Một hình chữ nhật lớn được ghép bởi hai hình chữ nhật A và B lần lượt có diện tích là $a$ $c{m^2}$ và có cùng chiều dài $x$ cm (Hình 1).

a) Tính chiều rộng của hình chữ nhật lớn theo hai cách khác nhau.

b) Chiều rộng của B lớn hơn chiều rộng của A bao nhiêu? Biết $b > a$

Bài 4 :

Thực hiện các phép tính cộng, trừ phân thức sau:

a) $\dfrac{x}{{x + 3}} + \dfrac{{2 - x}}{{x + 3}}$               b) $\dfrac{{{x^2}y}}{{x - y}} - \dfrac{{x{y^2}}}{{x - y}}$                c) $\dfrac{{2x}}{{2x - y}} + \dfrac{y}{{y - 2x}}$  

Bài 5 :

Cho hai phân thức $A = \dfrac{{a + b}}{{ab}}$ và $B = \dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$ 

a) Tìm đa thức thích hợp thay vào mỗi  sau đây:

$\dfrac{{a + b}}{{ab}}$;                      

$\dfrac{{a - b}}{{{a^2}}}$ 

b) Sử dụng kết quả trên, tính $A + B$ và $A - B$

Bài 6 :

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\dfrac{a}{{a - 3}} - \dfrac{3}{{a + 3}}$                        

b) $\dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{2}{{{x^2}}}$                         

c) $\dfrac{4}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} + x}}$ 

Bài 7 :

Thực hiện phép tính: $\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{{2xy}}{{{x^2} - {y^2}}} - \dfrac{y}{{x + y}}$ 

Bài 8 :

Viết biểu thức tính tổng thời gian đi và về, chênh lệch thời gian giữa đi và về của đội đua thuyền ở tình huống trong câu hỏi mở đầu (trang 31). Tính giá trị của các đại lượng này khi $x = 6$km/h.

Bài 9 :

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\dfrac{{a - 1}}{{a + 1}} + \dfrac{{3 - a}}{{a + 1}}$                  b) $\dfrac{b}{{a - b}} + \dfrac{a}{{b - a}}$                 c) $\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{ab}} - \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}$

Bài 10 :

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\dfrac{1}{{2a}} + \dfrac{2}{{3b}}$

b) $\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} - \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$

c) $\dfrac{{x + y}}{{xy}} - \dfrac{{y + z}}{{yz}}$

d) $\dfrac{2}{{x - 3}} - \dfrac{{12}}{{{x^2} - 9}}$

e) $\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{2}{{{x^2} - 4x + 4}}$

Bài 11 :

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} + \dfrac{{x - 4}}{{1 - x}}$

b) $\dfrac{1}{{x + 5}} - \dfrac{1}{{x - 5}} + \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 25}}$

c) $x + \dfrac{{2{y^2}}}{{x + y}} - y$

Bài 12 :

Cùng đi từ thành phố A đến thành phố B cách nhau $450$km, xe khách chạy với tốc độ $x$ (km/h); xe tải chạy với tốc độ $y$ (km/h) ($x > y$). Nếu xuất phát cùng lúc thì xe khách đến thành phố B sớm hơn xe tải bao nhiêu giờ?

Bài 13 :

Có ba hình hộp chữ nhật A, B, C có chiều dài, chiều rộng và thể tích được cho như hình 2. Hình B và C có các kích thước giống nhau, hình A có cùng chiều rộng với B và C.

a) Tính chiều cao của các hình hộp chữ nhật. Biểu thị chúng bằng các phân thức cùng mẫu số.

b) Tính tổng chiều cao của hình A và C, chênh lệch chiều cao của hình A và B.

Bài 14 :

Tâm đạp xe từ nhà tới câu lạc bộ câu cá có quãng đường dài $15$km với tốc độ $x$(km/h). Lượt về thuận chiều gió nên tốc độ nhanh hơn lượt đi $4$km/h.

a) Viết biểu thức biểu thị tổng thời gian $T$ hai lượt đi và về.

b) Viết biểu thức biểu thị hiệu thời gian $t$ luợt đi đối với lượt về.

c) Tính $T$ và $t$ với $x = 10$

Bài 15 :

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\dfrac{{2{x^2} - 1}}{{x - 2}} + \dfrac{{ - {x^2} - 3}}{{x - 2}}$                       

b) $\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{y}{{x - y}}$    

c) $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{{x^2} - 1}}$

d) $\dfrac{{x + 2}}{{{x^2} + xy}} - \dfrac{{y - 2}}{{xy + {y^2}}}$                                  

e) $\dfrac{1}{{2{x^2} - 3x}} - \dfrac{1}{{4{x^2} - 9}}$                     

g) $\dfrac{{2x}}{{9 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{x - 3}} - \dfrac{1}{{x + 3}}$      

Bài 16 :

Làm thế nào để cộng, trừ các phân thức đại số?

Bài 17 :

Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{5{\rm{x}} - 4}}{9} + \dfrac{{4{\rm{x}} + 4}}{9}$          

b) $\dfrac{{{x^2}y - 6}}{{2{{\rm{x}}^2}y}} + \dfrac{{6 - x{y^2}}}{{2{{\rm{x}}^2}y}}$

c) $\dfrac{{x + 1}}{{{x^2} - 5{\rm{x}}}} + \dfrac{{x - 18}}{{{x^2} - 5{\rm{x}}}} + \dfrac{{x + 2}}{{{x^2} - 5{\rm{x}}}}$                          

d) $\dfrac{{7y}}{3} - \dfrac{{7y - 5}}{3}$

e) $\dfrac{{4{\rm{x}} - 1}}{{3{\rm{x}}{y^2}}} - \dfrac{{7{\rm{x}} - 1}}{{3{\rm{x}}{y^2}}}$                                                

g) $\dfrac{{3y - 2{\rm{x}}}}{{x - 2y}} - \dfrac{{x - y}}{{2y - x}}$

Bài 18 :

Thực hiện phép tính:

a) $\dfrac{{4{{x}} + 2}}{{4{{x  -  4}}}} + \dfrac{{3 - 6{{x}}}}{{6{{x}} - 6}}$

b) $\dfrac{y}{{2{{{x}}^2} - xy}} + \dfrac{{4{{x}}}}{{{y^2} - 2{{x}}y}}$

c) $\dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}$

d) $\dfrac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{1}{{1 - x}}$

Bài 19 :

Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}}$                                

b) $\frac{{12}}{{{x^2} - 9}} - \frac{2}{{x - 3}}$

c) $\frac{1}{{xy - {x^2}}} - \frac{1}{{{y^2} - xy}}$                      

d) $\frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} - 1}} - \frac{3}{{2 + 2{\rm{x}}}} + \frac{1}{{2 - 2{\rm{x}}}}$

Bài 20 :

a) Rút gọn biểu thức: $A = \dfrac{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^3} + 1}} + \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}$

b) Tính giá trị của A tại x = -3

Bài 21 :

Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{1}{{2x - 3}} - \frac{2}{{3 - 2x}} + \frac{{18}}{{9 - 4{x^2}}}$

b) $\frac{2}{{{a^2} - 1}} - \frac{1}{{a + 1}} - \frac{1}{{a - 1}}$

c) $\frac{{a + b}}{{a - b}} + \frac{{{a^2} - 4{b^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} - \frac{{a - 3b}}{{a + b}}$

d) $\frac{x}{{{x^2} + xy}} - \frac{y}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{{x + y}}{{xy - {y^2}}}$

Bài 22 :

Tính nhanh $\left( {\frac{y}{{x + z}} - \frac{y}{{x + y}} + \frac{{x + y}}{{x + y + z}}} \right) - \left( {\frac{y}{{x + z}} - \frac{z}{{x + y + z}} + \frac{x}{{x + y}}} \right).$

Bài 23 :

Hãy trả lời các câu hỏi nêu trong phần khởi động:

Một xe ô tô đi từ thị trấn A đến thị trấn B (A và B cách nhau $10\,km$) với tốc độ trung bình là $v\left( {km/h} \right)$. Một xe máy cũng đi từ A đến B với tốc độ trung bình chậm hơn $10km/h$ so với tốc độ trung bình của ô tô. Hỏi tổng thời gian cả hai xe đi từ A đến B là bao nhiêu? Thời gian xe ô tô đi từ A đến B nhanh hơn thời gian xe máy đi từ A đến B là bao nhiêu?

Bài 24 :

Một đội máy xúc trên công trường nhận nhiệm vụ xúc $17\,400\,{m^3}$ đất. Giai đoạn đầu, đội làm việc với năng suất trung bình $x\,{m^3}$/ngày và đào được $7\,500\,{m^3}.$ Giai đoạn sau, năng suất của đội tăng $25\,{m^3}$/ngày.

a) Viết phân thức theo $x$ biểu diễn thời gian để đội đó hoàn thành công việc.

b) Tính thời gian để đội đó hoàn thành công việc khi năng suất trung bình là $250\,{m^3}$/ngày.

Bài 25 :

Thực hiện các phép tính sau:

a)     $\frac{5}{{6x - 6}} + \frac{9}{{14x - 14}} + \frac{6}{{7x - 7}}$

b)    $\frac{2}{{y - 4}} + \frac{1}{y} - \frac{3}{{y - 3}}$

c)     $\frac{{8{a^2} + 18{b^2}}}{{4{a^2} - 9{b^2}}} - \frac{{2a + 3b}}{{2a - 3b}} + \frac{{2a - 3b}}{{2a + 3b}}$

d)    $\frac{{a - 4}}{{2a - 1}} + \frac{{5{a^2} + 9a + 14}}{{2{a^2} + 3a - 2}} - \frac{{3a - 5}}{{a + 2}}$

Bài 26 :

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{x}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}}$;           

b) $\frac{{3x}}{{2y}} + \frac{{5x}}{{3y}}$;                         

c) $\frac{{y - 1}}{{5y}} - \frac{{3x - 1}}{{15x}}$;

d) $\frac{{1 - x}}{{{x^3}}} + \frac{1}{{{x^2}}}$;                 

e) $\frac{{x - 2y}}{{x{y^2}}} - \frac{{y - 2x}}{{{x^2}y}}$;  

g) $\frac{{1 - {y^2}}}{{3xy}} + \frac{{2{y^3} - 1}}{{6x{y^2}}}$.

Bài 27 :

Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{b}{{a - b}} + \frac{{{a^2} - 3ab}}{{{a^2} - {b^2}}}$;

b) $\frac{{a + 3}}{{{a^2} - 1}} - \frac{1}{{{a^2} + a}}$;

c) $\frac{{2a}}{{{a^2} - 4a + 4}} + \frac{4}{{2 - a}}$;

d) $\frac{{a + 1}}{{{a^3} - 1}} - \frac{1}{{{a^2} + a + 1}}$.

Bài 28 :

Tính:

a) $x - \frac{{2x - y}}{4} + \frac{{x + 4y}}{{12}}$;

b) $\frac{y}{x} - \frac{x}{y} - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{xy}}$;

c) $\frac{4}{{x + 2}} - \frac{3}{{x - 2}} + \frac{{12}}{{{x^2} - 4}}$;

d) $\frac{{x + y}}{{{x^2} - xy}} - \frac{{4x}}{{{x^2} - {y^2}}} - \frac{{x - y}}{{{x^2} + xy}}$.

Bài 29 :

Tính giá trị của biểu thức:

a) $P = \frac{5}{{a + b}} + \frac{6}{{a - b}} - \frac{{12b}}{{{a^2} - {b^2}}}$ tại $a = 0,12$ và $b =  - 0,11$;

b) $Q = \frac{{{a^2} + 2a}}{{{a^3} - 1}} - \frac{1}{{{a^2} + a + 1}}$ tại $a = 1,25$;

Bài 30 :

Tính:

a) $\frac{1}{{ab}} + \frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{bc}}$;

b) $\frac{{b - a}}{{ab}} + \frac{{c - b}}{{bc}} - \frac{{c - a}}{{ac}}$.