Đề bài

Tính $\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\;$biết:

a) $\sin a = \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi $;

b) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}$.

Phương pháp giải

- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị lượng giác ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tời dấu của giá trị lượng giác để chọn cho phù hợp

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Lời giải của GV HocTot.XYZ

a) Vì $\frac{\pi }{2} < a < \pi $ nên $\cos a < 0$

Ta có: ${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{9} + {\cos ^2}a = 1$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}a = 1 - \frac{1}{9}= \frac{8}{9}$

$\Leftrightarrow \cos a =\pm\sqrt { \frac{8}{9}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Vì $\cos a < 0$ nên $cos a =-\frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

Suy ra $\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$

Ta có: $\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2.\frac{1}{3}.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}$

$\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

$\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}} = \frac{{2.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}}{{1 - {{\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{7}$

b) Vì $\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}$ nên $\sin a > 0,\cos a < 0$

${\left( {\sin a + \cos a} \right)^2} = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2\sin a\cos a = 1 + 2\sin a\cos a = \frac{1}{4}$

Suy ra $\sin 2a = 2\sin a\cos a = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}$

Ta có: ${\sin ^2}a + {\cos ^2}a = 1\;$

$ \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2} - {\cos }a} \right)^2 + {\cos ^2}a - 1 = 0$

$ \Leftrightarrow \frac{1}{4} - \cos a + {\cos ^2}a + {\cos ^2}a - 1 = 0$

$ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}a - \cos a - \frac{3}{4} = 0$

$ \Rightarrow \cos a = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}$ (Vì $\cos a < 0)$

$\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2.{\left( {\frac{{1 - \sqrt 7 }}{4}} \right)^2} - 1 = - \frac{{\sqrt 7 }}{4}$

$\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{\cos 2a}} = \frac{{ - \frac{3}{4}}}{{ - \frac{{\sqrt 7 }}{4}}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}$

Xem thêm : SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai:

A.
$\sin \left( {2a} \right) = 2\sin \left( a \right)\cos \left( a \right)$
B.
$\sin \left( {2a} \right) = \sin \left( a \right)\cos \left( a \right)$
C.
$\cos \left( {2a} \right) = {\cos ^2}\left( a \right) - {\sin ^2}\left( a \right)$
D.
$\cos \left( {2a} \right) = 1 - 2{\sin ^2}\left( a \right)$

Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\;\)biết: a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \); b) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).

Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\;\)biết:

a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);

b) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).