Chứng minh rằng: \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}}}{{{3^n}}}\; = 0\).

Bài 1 :

Kết quả của giới hạn \(\lim \left( {\frac{1}{{1.4}} + \frac{1}{{2.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 3} \right)}}} \right)\) là:

Bài 2 :

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\frac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử \({u_n}\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là 0.

Bài 3 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{3.2}^n} - 1}}{{{2^n}}}\). Chứng minh rằng \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 3\).

Bài 4 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\). Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - 1\). Tính \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty }{v_n}\;\).

Bài 5 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\)

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,01?

Bài 6 :

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - x,x < 0\\\sqrt x ,x \ge 0\end{array} \right.\)

Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right),\;\;\;\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {0^ - }} \;f\left( x \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \;f\left( x \right)\).

Bài 7 :

Chứng minh rằng \(\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.\)

Bài 8 :

Chứng minh rằng \(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} =  - 4.\)

Bài 9 :

Chứng minh rằng:

a) \(\lim 0 = 0;\)                           

b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.\) \(\)

Bài 10 :

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_n} = \frac{1}{n}\) trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị \({u_n}\) khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng \({u_n}\) nào của dãy số thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Bài 11 :

Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} {x^2};\)                      

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}.\)

Bài 12 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \left( {2 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}} \right)\);         

b) \(\lim \left( {\frac{{1 - 4n}}{n}} \right)\).

Bài 13 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{n}\).

a) Cho dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = {u_n} - 2\). Tìm giới hạn \(\lim {v_n}\).

b) Biểu diễn các điểm \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4}\) trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm \({u_n}\) khi \(n\) trở nên rất lớn?

Bài 14 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{1}{{{n^2}}}\);                                           

b) \(\lim {\left( { - \frac{3}{4}} \right)^n}\).

Bài 15 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với .\({u_n} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{n}\).

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với \(n\) thế nào thì \(\left| {{u_n}} \right|\) bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1.

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm \({u_n}\) đến điểm 0 khi \(n\) trở nên rất lớn?

Bài 16 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{ - 2n + 1}}{n}\)                                        

b) \(\lim \frac{{\sqrt {16{n^2} - 2} }}{n}\)          

c) \(\lim \frac{4}{{2n + 1}}\)          

d) \(\lim \frac{{{n^2} - 2n + 3}}{{2{n^2}}}\)

Bài 17 :

\(\lim \frac{{n + 3}}{{{n^2}}}\) bằng: 

A. 1.                                            

B. 0.                                            

C. 3.                                            

D. 2.

Bài 18 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{3n - 1}}{n}\)                                                   

b) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2} }}{n}\)      

c) \(\lim \frac{2}{{3n + 1}}\)                                                     

d) \(\lim \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 2} \right)}}{{{n^2}}}\)

Bài 19 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \left( {2 + \frac{5}{n}} \right)\);

b) \(\lim \left( {\frac{3}{n} - \frac{2}{{{n^2}}}} \right)\);

c) \(\lim \left( {3 - \frac{4}{n}} \right)\left( {2 + \frac{5}{{{n^2}}}} \right)\);

d) \(\lim \frac{{3 - \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^3}}}}}\).

Bài 20 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2n - 3}}{{6n + 1}}\);

b) \(\lim \frac{{3n - 1}}{{{n^2} + n}}\);

c) \(\lim \frac{{\left( {2n - 1} \right)\left( {2n + 3} \right)}}{{2{n^2} + 4}}\);

d) \(\lim \frac{{4n + 1}}{{\sqrt {{n^2} + 3n}  + n}}\);

e) \(\lim \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \right)\);

g) \(\lim \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n}  - n}}\).

Bài 21 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\);

b) \(\lim \frac{{{3^n}}}{{{4^n} - 1}}\);

c) \(\lim \frac{{{3^n} - {2^n}}}{{{3^n} + {2^n}}}\);

d) \(\lim \frac{{{4^{n + 1}}}}{{{3^n} + {4^n}}}\).

Bài 22 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \(\lim {u_n} = 3,\lim {v_n} = 4\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \left( {3{u_n} - 4} \right)\);

b) \(\lim \left( {{u_n} + 2{v_n}} \right)\);

c) \(\lim {\left( {{u_n} - {v_n}} \right)^2}\);

d) \(\lim \frac{{ - 2{u_n}}}{{{v_n} - 2{u_n}}}\).

Bài 23 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(n{u_n} = 3\). Tìm giới hạn \(\lim \frac{{2n + 3}}{{{n^2}{u_n}}}\).

Bài 24 :

Tùy theo giá trị của \(a > 0\), tìm giới hạn \(\lim \frac{{{a^n}}}{{{a^n} + 1}}\).

Bài 25 :

\(\lim \frac{{3{n^2} + 2n}}{{2 - {n^2}}}\) bằng

A. \(\frac{3}{2}\).

B. \( - 2\).

C. 3.

D. \( - 3\).

Bài 26 :

\(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 4n + 1} }}{{4n + 1}}\) bằng

A. \(\frac{1}{2}\).

B. 1.

C. 2.

D. \( + \infty \).

Bài 27 :

\(\lim \frac{{2n + 1}}{{\sqrt {9{n^2} + 1}  - n}}\) bằng

A. \(\frac{2}{3}\).

B. 1.

C. \(\frac{1}{4}\).

D. 2.

Bài 28 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \[\left( {{v_n}} \right)\] thỏa mãn \(\lim {u_n} = 4,\lim \left( {{v_n} - 3} \right) = 0\). \(\lim \left[ {{u_n}\left( {{u_n} - {v_n}} \right)} \right]\) bằng

A. 7.

B. 12.

C. 4.

D. 28.

Bài 29 :

\(\lim \frac{{{4^n}}}{{{{2.4}^n} + {3^n}}}\) bằng

A. \(\frac{1}{2}\).

B. 1.

C. 4.

D. 0.

Bài 30 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{n\left( {2{n^2} + 3} \right)}}{{4{n^3} + 1}}\);

b) \(\lim \left[ {\sqrt n \left( {\sqrt {n + 5}  - \sqrt {n + 1} } \right)} \right]\).