Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x}\);                               

b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \) \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9}  - 3}}{{{x^2}}}\)

Bài 1 :

Cho a, b là các số nguyên và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\). Tính \(P = {a^2} + {b^2}\).

Bài 2 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\)

a) Cho \({x_n} = 1 -  \frac{1}{{n + 1}}\) và \({x'_n} = 1+ \frac{{1}}{n}\). Tính \({y_n} = f\left( {{x_n}} \right)\) và \({y'_n} = f\left( {{{x'}_n}} \right)\)

b) Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) và \(\left( {{{y'}_n}} \right)\)

c) Cho các dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) và \(\left( {{{x'}_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < 1 < x{'_n}\) và \({x_n} \to 1,\;\;\;x{'_n} \to 1\), tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{{x'}_n}} \right)\)

Bài 3 :

Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \)  \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x  - 1}}\).

Bài 4 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\)

a) Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\)

b) Cho dãy số \({x_n} = 2 + \frac{{1}}{n}\). Rút gọn \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tính giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = f\left( {{x_n}} \right)\)

c) Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} \ne 2\) và \({x_n} \to 2\), tính \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\)

Bài 5 :

Cho hàm số \(H(t) = \left\{ \begin{array}{l}0,t < 0\\1,t \ge 0\end{array} \right.\)  (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thười điểm t = 0).

Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to {0^ + }} H\left( t \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 0^-} \;H\left( t \right).\)

Bài 6 :

Cho hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)

Tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} g\left( x \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right)\).

Bài 7 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + {0^ + }} f\left( x \right)\) bằng

A. 0                                        

B. 1                             

C. \( + \infty \)                                     

D. -1

Bài 8 :

Chứng minh rằng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\) không tồn tại.

Bài 9 :

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4}  + x} \right)\)

Bài 10 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1,\,\,x < 0\\0,\,\,x = 0\\1,\,\,x > 0\end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị ở Hình 6.

a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{u_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{u_n}} \right).\)

b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{v_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{v_n}} \right).\)

Bài 11 :

Tính:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right];\)                         

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} .\)

Bài 12 :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 1,g\left( x \right) = x + 1.\)

a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

d) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

e) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)và so sánh \(\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.\)

Bài 13 :

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.\)

Bài 14 :

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x.\)

a) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right),\) với \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}.\) Hoàn thành bảng giá trị \(f\left( {{x_n}} \right)\) tương ứng.

Các giá trị tương ứng của hàm số \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),...\) lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right).\) Tìm \(\lim f\left( {{x_n}} \right).\)

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta luôn có \(f\left( {{x_n}} \right) \to 2.\)

Bài 15 :

Biết rằng hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 5.\) Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) hay không? Giải thích.

Bài 16 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right);\)                  

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 3}};\)             

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 1}}.\)

Bài 17 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right)\);           

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}\);                  

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x  - 2}}{{{x^2} - 16}}\).

Bài 18 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} - x} \right)\); 

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).

Bài 19 :

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 2}}{{x - 1}}\).

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi \(x\) càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, \(M\) là điểm trên đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\); \(H\) và \(P\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) trên trục hoành và trục tung. Khi điểm \(H\) thay đổi gần về điểm \(\left( {1;0} \right)\) trên trục hoành thì điểm \(P\) thay đổi như thế nào?

Bài 20 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {{x^2} + 5x - 2} \right)\);      

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\).

Bài 21 :

Cho hai hàm số  và \(y = g\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\).

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \({x_n} \ne  - 1\) với mọi \(n\) và \({x_n} \to 1\) khi \(n \to  + \infty \). Tìm giới hạn \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]\).

b) Từ đó, tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\), và so sánh với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Bài 22 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2x}&{khi\,\,x \le  - 1}\\{{x^2} + 2}&{khi\,\,x >  - 1}\end{array}} \right.\).

Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right)\) (nếu có).

Bài 23 :

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giả cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{khi\,\,x \in \left( {0;1} \right]}\\7&{khi\,\,x \in \left( {1;2,5} \right]}\\{10}&{khi\,\,x \in \left( {2,5;5} \right]}\end{array}} \right.\)

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì sao cho \(x \in \left( {1;2,5} \right)\) và \(\lim {x_n} = 1\). Tìm \(\lim f\left( {{x_n}} \right)\).

b) Giả sử \(\left( {{x_n}'} \right)\) là dãy số bất kì sao cho \({x_n}' \in \left( {0;1} \right)\) và \(\lim {x_n}' = 1\). Tìm \(\lim f\left( {{x_n}'} \right)\).

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b)

Bài 24 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {{x^2} - 7x + 4} \right)\)  

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}\)                                    

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - \sqrt {x + 8} }}{{x - 1}}\)

Bài 25 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x^2}}&{khi\,\,x < 1}\\x&{khi\,\,x \ge 1}\end{array}} \right.\).

Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) (nếu có).

Bài 26 :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\) bằng:

A. 0.                                            

B. 6.                                            

C. 3.                                             

D. 1.

Bài 27 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {3{x^2} - x + 2} \right)\)  

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - 16}}{{x - 4}}\)                                          

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3 - \sqrt {x + 7} }}{{x - 2}}\)

Bài 28 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 3} \left( {8 + 3x - {x^2}} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {5x - 1} \right)\left( {2 - 4x} \right)} \right]\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} - x}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \sqrt {10 - 2{x^2}} \).

Bài 29 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{1 - x}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 3}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{2 - \sqrt {x + 6} }}{{x + 2}}\);

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sqrt {x + 1}  - 1}}\);

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 4}}\).

Bài 30 :

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} g\left( x \right) =  - 3\).  Tìm các giới hạn:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left[ {g\left( x \right) - 3f\left( x \right)} \right]\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{2f\left( x \right).g\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]}^2}}}\).