Hàm số $y = \sin x$ đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $\left( { - \frac{{7\pi }}{2}; - \frac{{5\pi }}{2}} \right)$

Bài 1 :

Xét tình huống mở đầu.

a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu

b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra khi v < 0. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? Người đó thở ra?

Bài 2 :

Tìm tập giá trị của hàm số $y = 2\sin x$.

Bài 3 :

Cho hàm số $y = \sin x$.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$ bằng cách tính giá trị của $\sin x$ với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của $\sin x$ với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\sin x} \right)$ với $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = 2\pi$, ta được đồ thị của hàm số $y = \sin x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$

Bài 4 :

Trong vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức $x\left( t \right) = A\cos (\omega t + \varphi )$, trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), $\omega t + \varphi$ là pha dao động tại thời điểm t và $\varphi  \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kỳ $T = \frac{{2\pi }}{\omega }$ (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình $x\left( t \right) =  - 5\cos 4\pi t$ (cm).

a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm $t = 2$ (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Bài 5 :

Tìm tập giá trị của hàm số $y =  - 3\cos x.$

Bài 6 :

Cho hàm số $y = \cos x$

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$ bằng cách tính giá trị của $\cos x$ với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của $\cos x$ với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\sin x} \right)$ với $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = 2\pi$, ta được đồ thị của hàm số $y = \cos x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cos x$

Bài 7 :

Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn $\left[ { - \pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right]$ để hàm số $y = \tan x$ nhận giá trị âm.

Bài 8 :

Cho hàm số $y = \tan x$

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số $y = \tan x$ trên khoảng$\;\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\tan x} \right)$ với $x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = \pi$, ta được đồ thị của hàm số $y = \tan x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.16, hãy tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số $y = \tan x$.

Bài 9 :

Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right]$ để hàm số $y = \cot x$ nhận giá trị dương.

Bài 10 :

Cho hàm số $y = \cot x$

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số $y = \cot x$ trên khoảng$\;\left( {0;\pi } \right)$.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\cot x} \right)$ với $x \in \left( {0;\pi } \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = \pi$, ta được đồ thị của hàm số $y = \cot x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.17, hãy tìm tập giá trị và các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cot x$

Bài 11 :

Từ đồ thị của hàm số $y = \tan x$, hãy tìm các giá trị x sao cho $\tan x = 0.$

Bài 12 :

Giả sử khi một cơn sóng biến đi qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao của nước được mô hình hóa bởi hàm số $h\left( t \right) = 90\cos \left( {\frac{\pi }{{10}}t} \right)$, trong đó h(t) là độ cao tính bằng centimet trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.

a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.

Bài 13 :

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hàm số $y = \cos x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$

B. Hàm số $y = \cos x$ có tập giá trị là [-1;1]

C. Hàm số $y = \cos x$ là hàm số lẻ

D. Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$

Bài 14 :

Tìm tập giá trị của các hàm số sau:

a) $y = 2\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) - 1;$                       

b) $y = \sin x + \cos x$.

Bài 15 :

Quan sát đồ thị hàm số $y = \sin x$ ở Hình 25.

a)     Nêu tập giá trị của hàm số $y = \sin x$

b)     Gốc tọa độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \sin x$

c)     Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài $2\pi$, ta có nhận được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$ hay không? Hàm số $y = \sin x$có tuần hoàn hay không/

d)     Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \sin x$

Bài 16 :

Cho hàm số $y = \sin x$

a)     Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b)    Trong mặt phẳng Oxy, hãy biểu diễn các điểm $\left( {x;y} \right)$ trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;\sin x} \right)$ với $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ với nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$(Hình 24).

c)     Làm tương tự như trên đối với các đoạn $\left[ { - 3\pi ; - \pi } \right]$, $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$,...ta có đồ thị hàm số $y = \sin x$trên R được biểu diễn ở Hình 25.

Bài 17 :

Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left( {OA,OM} \right) = x\left( {rad} \right)$ (Hình 23). Hãy xác định $\sin x$.

Bài 18 :

Hàm số $y = \cos x$ đồng biến hay nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2\pi ; - \pi } \right)$

Hàm số $y = \cos x$đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \pi  + k2\pi ;k2\pi } \right)$, nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k2\pi ;\pi  + k2\pi } \right)$ với $k \in Z$

Bài 19 :

Quan sát đồ thị $y = \cos x$ ở Hình 28

a)     Nêu tập giá trị của hàm số $y = \cos x$

b)     Trục tung có là trục đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \cos x$

c)     Bằng cách dịch chuyển đồ thị $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài $2\pi$, ta nhận được đồ thị có hàm số $y = \cos x$ trên đoạn $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$ hay không? Hàm số $y = \cos x$ có tuần hoàn hay không?

d)     Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \cos x$

Bài 20 :

Cho hàm số $y = \cos x$

a)     Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b)    Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm $\left( {x;\cos x} \right)$ với $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ và nối lại ta được đồ thị hàm

số $y = \cos x$ trên đoạn $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ (Hình 27)

c) Làm tương tự như trên đối với các đoạn $\left[ { - 3\pi ; - \pi } \right]$, $\left[ {\pi ;3\pi } \right]$,...ta có đồ thị hàm số $y = \cos x$trên R được biểu diễn ở Hình 28.

Bài 21 :

Với mỗi số thực x, tồn tại duy nhất điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho $\left( {OA,OM} \right) = x\left( {rad} \right)$ (Hình 26). Hãy xác định $\cos x$

Bài 22 :

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị hàm số $y = \tan x$trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$

Bài 23 :

Quan sát đồ thị hàm số $y = \tan x$ ở Hình 30

a)     Nêu tập giá trị của hàm số $y = \tan x$

b)     Gốc tọa độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số hay không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \tan x$

c)     Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài π, ta nhận được đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)$ hay không? Hàm số $y = \tan x$ có tuần hoàn hay không?

d)     Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \tan x$

Bài 24 :

a)     Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b)     Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; tanx) với $x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \tan x$ trên khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ (Hình 29).

c)     Làm tương tự như trên đối với các khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right),\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)$,...ta có đồ thị hàm số $y = \tan x$trên D được biểu diễn ở Hình 30.

Bài 25 :

Xét tập hợp $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Với mỗi số thực $x \in D$, hãy nêu định nghĩa $\tan x$

Bài 26 :

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị hàm số $y = \cot x$trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$

Bài 27 :

Quan sát đồ thị hàm số $y = \cot x$ ở Hình 32.

a)     Nêu tập giá trị của hàm số $y = \cot x$

b)     Gốc tọa độ có là tâm đối xứng của đồ thị hàm số không? Từ đó kết luận tính chẵn, lẻ của hàm số $y = \cot x$

c)     Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài $\pi$, ta nhận được $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right)$ hay không? Hàm số $y = \cot x$ có tuần hoàn hay không?

d)     Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = \cot x$

Bài 28 :

Cho hàm số $y = \cot x$

a)     Tìm giá trị y tương ứng với giá trị của x trong bảng sau:

b)     Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy biểu diễn các điểm (x; y) trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm (x; cotx) với $x \in \left( {0;\pi } \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$ (Hình 31)

c)     Làm tương tự như trên đối với các khoảng $\left( {\pi ;2\pi } \right),\left( { - \pi ;0} \right),\left( { - 2\pi ; - \pi } \right),....$ta có đồ thị hàm số $y = \cot x$trên E được biểu diễn ở Hình 32.

Bài 29 :

Xét tập hợp $E = R\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$. Với mỗi số thực $x \in E$, hãy nêu định nghĩ $\cot x$

Bài 30 :

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn $\left[ { - 2\pi ;2\pi } \right]$ để:

a)     Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1

b)     Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0

c)     Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng – 1

d)     Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0