Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a)    ${\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha  = 1 - 2{\cos ^2}\alpha$

b)    $\tan \alpha  + \cot \alpha  = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}$

Bài 1 :

Cho góc α, giá trị của biểu thức dưới đây bằng:$\cos \alpha  + \cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{5}} \right) + \cos \left( {\alpha  + \frac{{2\pi }}{5}} \right) + ... + \cos \left( {\alpha  + \frac{{9\pi }}{5}} \right)$

Bài 2 :

Cho góc α thỏa mãn $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$. Xét các mệnh đề sau:

I. $c{\rm{os(}}\frac{\pi }{2} - \alpha ){\rm{ > 0}}$

II. ${\rm{sin(}}\frac{\pi }{2} - \alpha ){\rm{ > 0}}$

III. ${\rm{tan(}}\frac{\pi }{2} - \alpha ){\rm{ > 0}}$

Mệnh đề nào sai?

Bài 3 :

Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:

$B(t) = 80 + 7.\sin \frac{{\pi t}}{{12}}$

Trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thủy ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào cá thời điểm sau:

a) 6 giờ sáng;

b) 10 giờ 30 phút sáng;

c) 12 giờ trưa;

d) 8 giờ tối.

Bài 4 :

Tính:   a) $\sin ( - {675^ \circ })$     b) $\tan \frac{{15\pi }}{4}$

Bài 5 :

Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).

a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đổi với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa $\cos ( - \alpha )$ và $\cos \alpha$; $\sin ( - \alpha )$và $\sin \alpha$

b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: $\tan ( - \alpha )$ và $\tan \alpha$; $\cot ( - \alpha )$ và $\cot \alpha$

Bài 6 :

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết $\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}$ và $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$

Bài 7 :

a) Dựa vào định nghĩa của $\sin \alpha$và $\cos \alpha$ hãy tính ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha$

b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của $\tan \alpha$, hãy tính $1 + {\tan ^2}\alpha$

Bài 8 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. $\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = \sin \alpha$                                                  

B. $\cos \left( {\pi  - a} \right) = \cos \alpha$

C. $\sin \left( {\pi  + \alpha } \right) =  - \sin \alpha$.                                                         

D. $\cos (\pi  + \alpha ) =  - \cos \alpha$

Bài 9 :

Cho góc lượng giác $\alpha$sao cho $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$ và $\sin \alpha  =  - \frac{4}{5}$. Tìm $\cos \alpha$

Bài 10 :

Cho góc lượng giác $\alpha$. So sánh

a)     ${\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \,\,$ và 1

b)     $\tan \alpha .\cot \alpha \,\,$ và 1 với $\cos \alpha  \ne 0;\sin \alpha  \ne 0$

c)     $1 + {\tan ^2}\alpha \,\,$ và  $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ với $\cos \alpha  \ne 0$

d)     $1 + {\cot ^2}\alpha \,$ và  $\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}$ với $\sin \alpha  \ne 0$

Bài 11 :

Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$ trong mỗi trường hợp sau:

a)     $\sin \alpha  = \frac{{\sqrt {15} }}{4}$ với $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$

b)     $\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}$ với $- \pi  < \alpha  < 0$

c)     $\tan \alpha  = 3$ với $- \pi  < \alpha  < 0$

d)     $\cot \alpha  =  - 2$ với $0 < \alpha  < \pi$

Bài 12 :

Cho $\tan \alpha  = \frac{2}{3}$ với $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$. Tính $\cos \alpha$ và $\sin \alpha$

Bài 13 :

a)    Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác α trên đường tròn lượng giác. Giải thích vì sao ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$

b)    Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho ${\cos ^2}\alpha$ ta được đẳng thức nào?

c)    Chia cả hai vế của biểu thức ở câu a) cho ${\sin ^2}\alpha$ ta được đẳng thức nào?

Bài 14 :

Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a)    $\sin \alpha  = \frac{3}{5}$ và $\cos \alpha  =  - \frac{4}{5}$

b)    $\sin \alpha  = \frac{1}{3}$ và $\cot \alpha  = \frac{1}{2}$

c)    $\tan \alpha  = 3$ và $\cot \alpha  = \frac{1}{3}$

Bài 15 :

Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:

a)    $\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$

b)    $\cos \alpha  = \frac{2}{5}$ và $0 < \alpha  < 90^\circ$

c)    $\tan \alpha  = \sqrt 3$ và $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$

d)    $\cot \alpha  = \frac{1}{2}$ và $270^\circ  < \alpha  < 360^\circ$

Bài 16 :

Cho $\sin \alpha  = \frac{2}{3}$ với $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$. Giá trị của $\cos \alpha$ là?

Bài 17 :

Cho $\sin \alpha  = \frac{1}{3}$ và $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$. Khi đó

Bài 18 :

Cho $\cos \alpha  =  - \frac{1}{4}$ với $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$. Giá trị của $\sin \alpha$ là?

Bài 19 :

Cho $\cos \alpha  =  - \frac{1}{4}$ và $\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$. Khi đó

Bài 20 :

Bài 21 :

Bài 22 :

Bài 23 :

Cho $\cos x =  - \frac{5}{{13}}\,\,({90^o} < x < {180^o})$. Tính các giá trị lượng giác còn lại.

Bài 24 :

Cho $\sin a + \cos a = m$. Hãy tính theo m.

a) $\sin a\cos a$                     

b) ${\sin ^3}a + {\cos ^3}a$                     

c) ${\sin ^4}a + {\cos ^4}a$.

Bài 25 :

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\cos ^4}x - {\sin ^4}x = 2{\cos ^2}x - 1$;

b) ${\tan ^2}x - {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x$;

c) ${(\sin x + \cos x)^2} + {(\sin x - \cos x)^2} = 2$.

Bài 26 :

Rút gọn biểu thức $A = 2{\cos ^4}x - {\sin ^4}x + {\sin ^2}x{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x$.

Bài 27 :

Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) $\tan x\cot x = 1$;                                        

b) $1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$;

c) $1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$;           

d) $\tan x + \cot x = \frac{2}{{\sin 2x}}$.

Bài 28 :

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x$.                          

B. $\sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cos x$.                  

C. $\tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cot x$.                         

D. $\tan \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) = \cot x$.

Bài 29 :

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $\sin \left( {{{180}^0} - a} \right) =  - \cos a$.                  

B. $\sin \left( {{{180}^0} - a} \right) =  - \sin a$.             

C. $\sin \left( {{{180}^0} - a} \right) = \sin a$.                     

D. $\sin \left( {{{180}^0} - a} \right) = \cos a$.

Bài 30 :

Biết $\sin x = \frac{1}{2}$. Giá trị của ${\cos ^2}x$ bằng

A. ${\cos ^2}x = \frac{1}{2}$.        

B. ${\cos ^2}x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.     

C. ${\cos ^2}x = \frac{1}{4}$.    

D. ${\cos ^2}x = \frac{3}{4}$.