Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng:

a) $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A{\rm{ }}{\rm{. }}\tan B{\rm{ }}{\rm{. }}\tan C$

(với điều kiện tam giác $ABC$ không vuông)

b) $\tan \frac{A}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}{\rm{ }}{\rm{. }}\tan \frac{A}{2} = 1$

Bài 1 :

Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

Bài 2 :

Giải bài toán trong tình huống mở đầu:

Một thiết bị trễ kỹ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần ${f_1}(t) = 5\sin t$ và phát lại được nốt thuần ${f_2}(t) = 5\cos t$ thì âm kết hợp là $f(t) = {f_1}(t) + {f_2}(t)$, trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng $f(t) = k\sin (t + \varphi )$, tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu $\varphi ( - \pi  < \varphi  < \pi )$ của sóng âm.

Bài 3 :

Chứng minh rằng:

a) $\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)$;

b) $\tan \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \frac{{1 - \tan x}}{{1 + \tan x}}$

$\left( {x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\;x \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\;k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Bài 4 :

a) Cho $a = \frac{\pi }{3}$ và $b = \frac{\pi }{6}$, hãy chứng tỏ $\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$.

b) Bằng cách viết $a + b = a - \left( { - b} \right)$ và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính $\cos \left( {a + b} \right).$

c) Bằng cách viết $\sin \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a - b} \right)} \right] = \cos \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) + b} \right]\;$và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính $\sin \left( {a - b} \right)$.

Bài 5 :

Sử dụng ${15^0} = {45^0} - {30^0}$, hãy tính các giá trị lượng giác của góc ${15^0}$.

Bài 6 :

Tính:

a) $\cos \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right)$, biết $\sin a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi$;

b) $\tan \left( {a - \frac{\pi }{4}} \right)$, biết $\cos a =  - \frac{1}{3}$ và $\pi  < a < \frac{{3\pi }}{2}$.

Bài 7 :

Chứng minh đẳng thức sau:

$\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = {\sin ^2}a - {\sin ^2}b = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a$

Bài 8 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. $\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$                           

B. $\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b$

C. $\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$                           

D. $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$

Bài 9 :

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi ,\cos \alpha  =  - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right)$;     

b) $\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right);$           

c) $\sin \left( {\alpha  - \frac{\pi }{3}} \right)$;      

d) $\cos \left( {\alpha  - \frac{\pi }{6}} \right)$.

Bài 10 :

Tính $\tan {165^ \circ }$

Bài 11 :

a)     Sử dụng công thức cộng đối với sin và côsin, hãy tính $\tan \left( {a + b} \right)$ theo tan a và tan b khi các biểu thức đều có nghĩa

b)     Khi các biểu thức đều có nghĩa, hãy tính $\tan \left( {a - b} \right)$ bằng cách biến đổi $\tan \left( {a - b} \right) = \tan \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]$ và sử dụng công thức $\tan \left( {a + b} \right)$ có được ở câu a.

Bài 12 :

Tính $\cos {15^ \circ }$

Bài 13 :

a)     Tính $\cos \left( {a + b} \right)$ bằng cách biến đổi $\cos \left( {a + b} \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {a + b} \right)} \right] = \sin \left[ {\left( {\frac{\pi }{2} - a} \right) - b} \right]$ và sử dụng công thức cộng đối với sin

b)     Tính $\cos \left( {a - b} \right)$ bằng cách biến đổi $\cos \left( {a - b} \right) = \cos \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]$ và sử dụng công thức $\cos \left( {a + b} \right)$ có được ở câu a

Bài 14 :

Tính $\sin \frac{\pi }{{12}}$

Bài 15 :

a) Cho $a = \frac{\pi}{6}, b = \frac{\pi}{3}$. Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).

Bài 16 :

Cho $\cos a = \frac{3}{5}$ với $0 < a < \frac{\pi }{2}$. Tính: $\sin \left( {a + \frac{\pi }{6}} \right),\,\cos \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right),\,\tan \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)$

Bài 17 :

Tính

$A = \sin \left( {a - 17^\circ } \right)\cos \left( {a + 13^\circ } \right) - \sin \left( {a + 13^\circ } \right)\cos \left( {a - 17^\circ } \right)$

$B = \cos \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right) - \sin \left( {b + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {\frac{\pi }{6} - b} \right)$

Bài 18 :

Tính $\sin \frac{\pi }{{12}}$ và $\tan \frac{\pi }{{12}}$

Bài 19 :

Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ $\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON}$ sau đây:

$\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON}  = \left| {\overrightarrow {OM} } \right|.\left| {\overrightarrow {ON} } \right|.cos\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right)$$= cos\left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} } \right) = cos\left( {\alpha  - \beta } \right)$

$\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON}  = {x_M}.{x_N} + {y_M}.{y_N}$

Hãy suy ra công thức tính cos(α – β) theo các giá trị lượng giác của α và β. Từ đó, hãy suy ra công thức cos(α + β) bằng cách thay β bằng – β.

Bài 20 :

Tính $\sin \left( {\alpha  + \frac{\pi }{6}} \right),\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)$ biết $\sin \alpha  =  - \frac{5}{{13}},\pi  < \alpha  < \frac{{3\pi }}{2}$

Bài 21 :

Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có $\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B$

Bài 22 :

Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn $\widehat {CAD} = {30^0}$. Tính $\tan \widehat {BAD}$, từ đó tính độ dài cạnh CD.

Bài 23 :

Giá trị lượng giác $\sin \left( {\frac{{5\pi }}{{12}}} \right)$ bằng?

Bài 24 :

Giá trị lượng giác $\cos \left( {\frac{{37\pi }}{{12}}} \right)$ bằng?

Bài 25 :

Bài 26 :

Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc ${105^0}$.

Bài 27 :

Chứng minh rằng

a) $\cos a - \sin a = \sqrt 2 \cos \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)$;           

b) $\sin a + \sqrt 3 \cos a = 2\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)$.

Bài 28 :

Bài 29 :

Cho hai góc $a$ và $b$ với $\tan a = \frac{1}{7}$ và $\tan b = \frac{3}{4}$. Khi đó $\tan \left( {a + b} \right)$ bằng:

A. $1$                                    

B. $- \frac{{17}}{{31}}$                          

C. $\frac{{17}}{{31}}$                        

D. $- 1$

Bài 30 :

Nếu $\sin \alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ với $0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}$ thì giá trị của $\cos \left( {\alpha  + \frac{\pi }{3}} \right)$ bằng:

A. $\frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2}$                        

B. $\sqrt 6  - 3$            

C. $\frac{{\sqrt 6 }}{6} - 3$                          

D. $\sqrt 6  - \frac{1}{2}$