Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng $\left( \beta  \right)$. Biết $\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. a//$\left( \beta  \right)$.

B. b//$\left( \alpha  \right)$.

C. a//b.

D. Nếu có một mặt phẳng $\left( \gamma  \right)$ chứa a và b thì a//b.

Bài 1 :

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Bài 2 :

Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A’, B’, C’, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.

Bài 3 :

Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho hình bình hành $ABCD$. Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với $\left( P \right)$ lần lượt đi qua các điểm $A,B,C,D$. Một mặt phẳng $\left( Q \right)$ cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại $A',B',C',D'$. Chứng minh rằng:

$AA' + CC' = BB' + DD'$.

Bài 4 :

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành có $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$.

a) Chứng minh rằng $\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$.

b) Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ và $F$ là một điểm thuộc $ON$. Chứng minh $EF$ song song với $\left( {SBC} \right)$.

Bài 5 :

Cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABEF$ ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo $AC$ và $BF$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $AM = BN$. Các đường thẳng song song với $AB$ vẽ từ $M,N$ lần lượt cắt $AD,AF$ tại $M',N'$.

a) Chứng minh $\left( {CBE} \right)\parallel \left( {ADF} \right)$.

b) Chứng minh $\left( {DEF} \right)\parallel \left( {MNN'M'} \right)$.

Bài 6 :

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi ${G_1}$ và ${G_2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $BDA'$ và $B'D'C$. Chứng minh ${G_1}$ và ${G_2}$ chia đoạn $AC$ thành ba phần bằng nhau.

Bài 7 :

Để làm một khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lục giác$ABCDEF.A'B'C'D'E'F'$, Bình gắn hai thanh tre ${A_1}{D_1},{F_1}{C_1}$ song song với mặt phẳng đáy và cắt nhau tại ${O_1}$ (Hình 19).

a) Xác định giao tuyến của $mp\left( {{A_1}{D_1},{F_1}{C_1}} \right)$ với các mặt bên của lăng trụ.

b) Cho biết $A'{A_1} = 6A{A_1}$ và $AA' = 70{\rm{ }}cm$. Tính $C{C_1}$ và ${C_1}C'$.

Bài 8 :

Bài 9 :

Trong mặt phẳng $\left( P \right)$ cho tam giác $ABC$. Qua $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ lần lượt vẽ các tia $Ax,{\rm{ }}By,{\rm{ }}Cz$ đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Trên các tia $Ax,{\rm{ }}By,{\rm{ }}Cz$ lần lượt lấy các điểm $A',{\rm{ }}B',{\rm{ }}C'$ sao cho $AA' = BB' = CC'$. Chứng minh rằng $\left( {ABC} \right)\parallel \left( {A'B'C'} \right)$.

Bài 10 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy$ABCD$ là hình thang với đáy lớn $AD$. Gọi $M$ là trọng tâm của tam giác $SAD$, $N$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AC$ sao cho $AN = \frac{1}{3}AC$, $P$ là điểm thuộc đoạn thẳng $CD$ sao cho $DP = \frac{1}{3}DC$. Chứng mình rằng $\left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$.

Bài 11 :

Cho hai hình bình hành $ABCD$  và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo $AC$, $BF$ lần lượt lấy các điểm $M$, $N$ sao cho $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{BF}}$. Qua $M$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD$ tại $M'$, qua $N$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $AF$ tại $N'$.

a) Chứng minh rằng $\left( {MNN'} \right)\parallel \left( {CDE} \right)$.

b) Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $\left( {AFD} \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt đường thẳng $EF$ tại $I$. Tính $\frac{{FI}}{{FE}}$, biết $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{1}{3}$.

Bài 12 :

Cho mặt phẳng (P) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Qua A có vô số mặt phẳng song song với (P)                   

B. Qua A có đúng một mặt phẳng song song với (P)                       

C. Qua A không có mặt phẳng song song với (P)                            

D. Qua A có đúng hai mặt phẳng song song với (P)

Bài 13 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MNPQ là hình bình hành.

Bài 14 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh:

a) (BDA’)//(B’D’C).

b) Đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G và G’ của hai tam giác BDA’ và B’D’C.

c) G và G’ chia AC’ thành ba phần bằng nhau.

Bài 15 :

Bài 16 :

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành có O là giao điểm của AC và BD, AC = 6, BD = 8; tam giác SBD là tam giác đều. Gọi I là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AI = x (0 < x < 3), (P) là mặt phẳng đi qua điểm I và song song với mặt phẳng (SBD). Diện tích của hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp S.ABCD bằng $\frac{{a{x^2}\sqrt 3 }}{b}$​​. Tính giá trị của biểu thức P = a + b.