Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 - 9,8t (m/s).

Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây.

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Bài 1 :

Tìm:

a) $\int {\left( {3\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx$;

b) $\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)$;

c) $\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx$;

d) $\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx$.

Bài 2 :

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y = {2^x} - \frac{1}{x}$;

b) $y = x\sqrt x  + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}$.

Bài 3 :

Tìm:

a) $\int {\left( {5\sin x + 6\cos x} \right)dx}$

b) $\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx}$

c) $\int {{2^{3x}}dx}$

d) $\int {\left( {{{2.3}^{2x}} - {e^{x + 1}}} \right)dx}$

Bài 4 :

Cho hàm số $f(x) = 2x + {e^x}$. Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ sao cho F(0) = 2023 là:

A. ${x^2} + {e^x} + 2023$

B. ${x^2} + {e^x} + C$

C. ${x^2} + {e^x} + 2022$

D. ${x^2} + {e^x}$

Bài 5 :

a) Cho hàm số $f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}$. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ sao cho F(0) = 2023

b) Cho hàm số $g(x) = \frac{1}{x}$. Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng $(0; + \infty )$ sao cho G(1) = 2023

Bài 6 :

Tính đạo hàm của hàm số $F\left( x \right) = x{e^x}$, suy ra nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}$.

Bài 7 :

Tìm

a) $\int {{x^5}dx}$

b) $\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx}$ $\left( {x > 0} \right)$

c) $\int {{7^x}dx}$

d) $\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}dx}$

Bài 8 :

Tìm

a) $\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx}$

b) $\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx}$

c) $\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx}$

d) $\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$

Bài 9 :

Tìm

a) $\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx}$

b) $\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx}$

c) $\int {{{\tan }^2}xdx}$

d) $\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx$

Bài 10 :

Kí hiệu $h\left( x \right)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ $h'\left( x \right) = \frac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm $\left( {1 \le x \le 11} \right)$.

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Bài 11 :

Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ ${v_0} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ thì tăng tốc với gia tốc không đổi $a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)$. Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Bài 12 :

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C$
B. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + \frac{1}{x} + C}$
C. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3} + C$
D. $\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C$

Bài 13 :

Tìm:

a) $\int {\left[ {4{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} - 3\cos x} \right]dx}$

b) $\int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx}$

c) $\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx}$

d) $\int {\left( {{3^2}x - 2 + 4\cos x} \right)dx}$

e) $\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)dx}$

g) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx}$

Bài 14 :

Tính đạo hàm của $F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)$. Từ đó suy ra nguyên hàm của $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$.

Bài 15 :

Cho $f\left( x \right) = {x^2}\ln x$ và $g\left( x \right) = x\ln x$. Tính $f'\left( x \right)$ và $\int {g\left( x \right)dx}$.

Bài 16 :

Tìm:

a) $\int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} dx$;                            b) $\int {\left( {3\sqrt x  - 4\sin x} \right)} {\rm{ }}dx$.

Bài 17 :

Tìm:

a) $\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx$;

b) $\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} {\rm{ }}dx$.

Bài 18 :

Cho $F\left( u \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( u \right)$ trên khoảng $K$ và $u\left( x \right),{\rm{ x}} \in {\rm{J}}$, là hàm số có đạo hàm liên tục, $u\left( x \right) \in K$ với mọi ${\rm{x}} \in {\rm{J}}$. Tìm $\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)}  \cdot u'\left( x \right)dx$.

Áp dụng: Tìm $\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx}$ và $\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx}$.

Bài 19 :

Tìm:

a) $\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx$;

b) $\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)} {\rm{ }}dx$.

Bài 20 :

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y = {\sin ^2}\frac{x}{2}$;

b) $y = {e^{2x}} - 2{x^5} + 5$.

Bài 21 :

a) $\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx}$;

b) $\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx}$

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx}$.

Bài 22 :

Hàm số $y = \log x$ là nguyên hàm của hàm số:

A. $y = \frac{1}{x}$.

B. $y = \frac{1}{{x\ln 10}}$.

C. $y = \frac{{\ln 10}}{x}$.

D. $y = \frac{1}{{x\log 10}}$.

Bài 23 :

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = 4{x^3} - 3{{\rm{x}}^2}$.

a) $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {4{x^3}dx}  - \int {3{{\rm{x}}^2}dx}$.

b) $f'\left( x \right) = 12{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}$.

c) $f'\left( x \right) = {x^4} - {x^3}$.

d) $\int {f\left( x \right)dx}  = {x^4} + {x^3} + C$.

Bài 24 :

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \sin x + \cos x$.

a) $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\sin xdx}  + \int {\cos xdx}$.

b) $f'\left( x \right) = \cos x - \sin x$.

c) $f'\left( x \right) + f\left( x \right) = \cos x$.

d) $\int {f\left( x \right)dx}  =  - \cos x + \sin x + C$. 

Bài 25 :

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)$.

a) $f\left( x \right) = {x^2} + 3{\rm{x}} + 2$.

b) $f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + 3$.

c) $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x + 2} \right)dx} .\int {\left( {x + 1} \right)dx}$.

d) $\int {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2{\rm{x}} + C$.

Bài 26 :

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = 2\sin x$;

b) $f\left( x \right) = \cos x + {x^3}$;

c) $f\left( x \right) = \frac{{ - {x^4}}}{2} - 3\cos x$.

Bài 27 :

Tìm:

a) $\int {{2^x}\ln 2dx}$;

b) $\int {2x\cos \left( {{x^2}} \right)dx}$;

c) $\int {{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)dx}$.

Bài 28 :

Tìm $\int {\frac{{{x^2} + 7{\rm{x}} + 12}}{{x + 3}}dx}$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Bài 29 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^7} + 8}}{x}$.

a) $f\left( x \right) = {x^6} + \frac{8}{x}$.

b) $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{x^6}dx}  - \int {\frac{8}{x}dx}$.

c) $\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{x^6}dx}  + \int {\frac{8}{x}dx}$.

d) $\int {f\left( x \right)dx}  = \frac{{{x^7}}}{7} + 8\ln \left| x \right|$.

Bài 30 :

Tìm:

a) $\int {{e^{5x}}} dx$;

b) $\int {\frac{1}{{{{2024}^x}}}} dx$;

c) $\int {\left( {{2^x} + {x^2}} \right)} dx$;

d) $\int {\left( {{2^x}{{.3}^{2{\rm{x}} + 1}}} \right)} dx$;

e) $\int {\frac{{{3^x} + {4^x} + 1}}{{{5^x}}}} dx$.