Nội dung từ Loigiaihay.Com
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BC, AN và Q là giao điểm của AN và DM. Chứng minh:
a) MP∥AD,MP=14AD
b) AQ=25AN
c) Gọi R là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm M, P, R thẳng hàng và PR=34AD.
a) Chứng minh MP là đường trung bình của tam giác ABN.
b) Từ MP∥AD, sử dụng định lý Thales để chứng minh đẳng thức.
c) Chứng minh MR∥AD và sử dụng các tỉ lệ đã có để chứng minh yêu cầu đề bài.
Vì M và P lần lượt là trung điểm của AB và AN nên MP là đường trung bình của tam giác ABN.
⇒MP∥BN hay MP∥BC.
Mà ABCD là hình bình hành nên AD∥BC
⇒MP∥AD
Ta có: MP=12NB
Mà N là trung điểm BC nên NB=12BC
⇒MP=14BC⇒MP=14AD
b) Vì MP∥AD nên MPAD=QPAQ (hệ quả của định lý Thales)
⇒QPAQ=14⇒AQ=4QP(1)
Ta có: QP=AP−AQ=12AN−AQ (P là trung điểm AN)
Thay vào (1) ta được AQ=4.(12AN−AQ)
⇒AQ=2AN−4AQ⇒5AQ=2AN⇒AQ=25AN (đpcm)
c) Vì M và R lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MR∥AD,MR=AD
Mà ta đã chứng minh MP∥AD nên ba điểm M, P, R thẳng hàng.
Theo câu a) ta có MP=14AD⇒MP=14MR
⇒PR=34MR⇒PR=34AD.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh MI=IK=KN.
Bài 2 :
Cho hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Đường phân giác góc A cắt BD tại M, đường phân giác góc D cắt AC tại N. Chứng minh MN//AD.
Bài 3 :
Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. Trên tia MI lấy điểm N sao cho I là trung điểm của MN.
a) Tứ giác AMCN là hình gì? Vì sao?
b) Gọi E là trung điểm của AM. Chứng minh E là trung điểm của BN.
c) Gọi K là trung điểm của AB. Tìm điều kiện để AKMI là hình vuông.
Bài 4 :
a) Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D. Biết DB = 3 cm. Tính DC.
b) Độ cao AN và chiều dài bóng nắng của các đoạn thẳng AN, BN trên mặt đất được ghi lại như trong hình vẽ bên. Tìm chiều cao AB của cây.
Bài 5 :
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Các tia phân giác của góc AMB, AMC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Cho BC = 12cm, AM = 8cm, AB = 7cm. Gọi I là giao điểm của DE và AM.
a) ADDB=23.
b) DE//BC
c) DE=367.
d) DI=IE