Trong hệ trục $\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)$, cho vecto $\overrightarrow {OM}  = 3\left( {\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j } \right) + 5\overrightarrow j  - 2\overrightarrow i$. Tọa độ điểm M là

Bài 1 :

Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A(0;3), D(2;1) và I(-1;0) là tâm của hình chữ nhật. Tìm tọa độ trung điểm của cạnh BC.

Bài 2 :

Trong hệ tọa độ $Oxy,$ cho điểm $M\left( {3; - 4} \right).$ Gọi ${M_1},{M_2}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $Ox,Oy.$ Khẳng định nào đúng?

Bài 3 :

Từ thông tin dự báo được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Bài 4 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình hành.

Bài 5 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x;y) và N(x’; y’)

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON}$.

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow {MN}$ theo các vectơ $\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON}$ và tọa độ của $\overrightarrow {MN}$.

c) Tìm độ dài của vectơ $\overrightarrow {MN}$

Bài 6 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M({x_o};{y_o})$. Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35)

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow {OP}$ theo $\overrightarrow i$ và tính độ dài của $\overrightarrow {OP}$ theo ${x_o}$.

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị $\overrightarrow {OQ}$ theo $\overrightarrow j$ và tính độ dài của $\overrightarrow {OQ}$ theo ${y_o}$.

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của $\overrightarrow {OM}$ theo ${x_o},{y_o}.$

d) Biểu thị $\overrightarrow {OM}$ theo các vectơ $\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j$.

Bài 7 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow u  = (2; - 3),\;\overrightarrow v  = (4;1),\;\overrightarrow a  = (8; - 12)$

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v ,\;\overrightarrow a$ theo các vectơ $\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j$

b) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow u  + \;\overrightarrow v ,\;4.\;\overrightarrow u$

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\overrightarrow u ,\;\overrightarrow a$

Bài 8 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow a  = 3.\overrightarrow i  - 2.\overrightarrow j ,$$\overrightarrow b  = \left( {4; - 1} \right)$ và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $2\;\overrightarrow a  - \overrightarrow b$.

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.

Bài 9 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.

Bài 10 :

Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:

Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow v  = \left( {3;4} \right)$. Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Bài 11 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $M(4;0),\,\,N(5;2)$ và $P(2;3).$ Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC,$ biết $M,\,\,N,\,\,P$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $BC,\,\,CA,\,\,AB.$

Bài 12 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(2; - 1),\,\,B(1;4)$ và $C(7;0).$

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $AB,\,\,BC$ và $CA.$ Từ đó suy ra tam giác $ABC$ là một tam giác vuông cân.

b) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $ABDC$ là một hình vuông.

Bài 13 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $M( - 2;1)$ và $N(4;5).$

a) Tìm tọa độ của điểm $P$ thuộc $Ox$ sao cho $PM = PN.$

b) Tìm tọa độ của điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow {MQ}  = 2\overrightarrow {PN} .$

c) Tìm tọa độ của điểm $R$ thỏa mãn $\overrightarrow {RM}  + 2\overrightarrow {RN}  = \overrightarrow 0 .$ Từ đó suy ra $P,\,\,Q,\,\,R$ thẳng hàng.

Bài 14 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $M( - 3;2)$ và $N(2;7).$

a) Tìm tọa độ của điểm $P$ thuộc trục tung sao cho $M,\,\,N,\,\,P$ thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của điểm $Q$ đối xứng với $N$ qua $Oy.$

c) Tìm tọa độ của điểm $R$ đối xứng với $M$ qua trục hoành.

Bài 15 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $C(1;6)$ và $D(11;2).$

a) Tìm tọa độ của điểm $E$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}$ có độ dài ngắn nhất.

b) Tìm tọa độ của điểm $F$ thuộc trục hoành sao cho $\left| {2\overrightarrow {FC}  + 3\overrightarrow {FD} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $\left| {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD} } \right| = CD.$

Bài 16 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A(1;2),\,\,B(3;4)$ và $C(2; - 1).$

a) Chứng minh rằng $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác đó.

b) Tìm tọa độ tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$

Bài 17 :

Để kéo đường dây điện bằng qua một hồ hình chữ nhật $ABCD$ với độ dài $AB = 200\,\,m,\,\,AD = 180\,\,m,$ người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm bên trên bờ $AB$ và cách đỉnh $A$ khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ $CD$ và cách đỉnh $C$ khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ $AB,\,\,AD.$

Bài 18 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;4)$ và $C(9;2)$ là hai đỉnh của hình vuông $ABCD.$ Tìm tọa độ các đỉnh $B,\,\,D$ biết rằng tung độ của $B$ là một số âm.

Bài 19 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;1)$ và $B(7;5).$

a) Tìm tọa độ của điểm $C$ thuộc trục hoành sao cho $C$ cách đều $A$ và $B.$

b) Tìm tọa độ của điểm $D$ thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DB}$ có độ dài ngắn nhất.

Bài 20 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A( - 3;2),\,\,B(1;5)$ và $C(3; - 1).$

a) Chứng minh rằng $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác ấy.

b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Tìm tọa độ của $I.$

Bài 21 :

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $M$ là trung điểm cạnh $BC.$ Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {GM}$

B. $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 3\overrightarrow {AG}$

C. $\overrightarrow {AM}  = 3\overrightarrow {MG}$

D. $3\overrightarrow {GA}  = 2\overrightarrow {AM}$

Bài 22 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A( - 3;1),\,\,B(2; - 1),\,\,C(4;6).$ Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là:

A. $(1;2)$

B. $(2;1)$

C. $(1; - 2)$

D. $( - 2;1)$

Bài 23 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A( - 3;3),\,\,B(5; - 2),$ và $G(2;2).$ Tọa độ của điểm $C$ sao cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ là:

A. $(5;4)$

B. $(4;5)$

C. $(4;3)$

D. $(3;5)$

Bài 24 :

Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $\overrightarrow v  = \left( {10; - 8} \right)$ (hình 8). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu vùng biển là $\overrightarrow w  = \left( {3,5;0} \right)$. Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc $\overrightarrow v$ và $\overrightarrow w$

Bài 25 :

Cho hai vectơ $\overrightarrow m  = \left( { - 6;1} \right),\overrightarrow n  = \left( {0;2} \right)$.

a) Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow m  + \overrightarrow n ,\overrightarrow m  - \overrightarrow n ,10\overrightarrow m , - 4\overrightarrow n$.

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow m .\overrightarrow n ,\left( {10\overrightarrow m } \right).\left( { - 4\overrightarrow n } \right)$.

Bài 26 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow a  = \left( {{a_1},{a_2}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{b_1},{b_2}} \right)$ và số thực k. Ta đã biết có thể biểu diễn từng vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ theo hai vectơ , $\overrightarrow j$ như sau:

a) Biểu diễn từng vectơ $\overrightarrow a  + \overrightarrow b ,\overrightarrow a  - \overrightarrow b ,k\overrightarrow a$ theo hai vectơ , $\overrightarrow j$.

b) Tìm $\overrightarrow a .\overrightarrow b$ theo tọa độ của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$.

Bài 27 :

Một trò chơi trên máy tính đang mô phỏng một vùng biển có hai hòn đảo nhỏ có tọa độ $B\left( {50;30} \right)$ và $C\left( {32; - 23} \right)$. Một con tàu đang neo đậu tại điểm $A\left( { - 10;20} \right)$.

a) Tính số đo của $\widehat {BAC}$.

b) Cho biết một đơn vị trên hệ trục tọa độ tương ứng với 1km. Tính khoảng cách từ con tàu đến mỗi hòn đảo.

Bài 28 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác DEF có tọa độ các đỉnh $D(2;2),E(6;2)$ và $F(2;6)$.

a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường vuông cao của tam giác DEF kẻ từ D.

b) Giải tam giác DEF.

Bài 29 :

Cho hai vectơ $\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2}),\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2})$ và hai điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Hoàn thành các phép biến đổi sau:

a) $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = ...?$

b) $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = t{b_1}\\{a_2} = t{b_2}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}{b_1} = k{a_1}\\{b_2} = k{a_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = ...?$

c) $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow a } \right)}^2}}  = \sqrt {.?.}$

d) $\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\overrightarrow {AB} } \right)}^2}}  = \sqrt {.?.}$

e) $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{.?.}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\sqrt {{b_1}^2 + {b_2}^2} }}$ ($\overrightarrow a ,\overrightarrow b$  khác $\overrightarrow 0$)

Bài 30 :

Cho ba điểm $A(2;2),B(3;5),C(5;5)$

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là một hình bình hành.

b) Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

c) Giải tam giác ABC.