Đề bài

Chứng tỏ biểu thức sau không phải số nguyên.

$S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}\left( {n \in \mathbb{N},n > 1} \right)$

Phương pháp giải

Biến đổi các phân số thành $\frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}$ để rút gọn S.

Chứng minh $n - 2 < S < n - 1$ nên S không là số nguyên.

Lời giải của GV HocTot.XYZ

Ta có:

$\begin{array}{l}S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}\\ = \frac{{{2^2} - 1}}{{{2^2}}} + \frac{{{3^2} - 1}}{{{3^2}}} + \frac{{{4^2} - 1}}{{{4^2}}} + ... + \frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}\\ = 1 - \frac{1}{{{2^2}}} + 1 - \frac{1}{{{3^2}}} + 1 - \frac{1}{{{4^2}}} + ...1 + \frac{1}{{{n^2}}}\\ = \left( {1 + 1 + ... + 1} \right) - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\\ = \left( {n - 1} \right) - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\end{array}$

+) Vì $\left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) > 0$ nên $S < n - 1$ (1)

+) $\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right).n}} = 1 - \frac{1}{n} < 1$

Suy ra $- \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) > - 1$

Suy ra $\left( {n - 1} \right) - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) > \left( {n - 1} \right) - 1 = n - 2$

Do đó $S > n - 2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $n - 2 < S < n - 1$

Vì giữa n – 2 và n – 1 không có số nguyên nào nên S không là số nguyên.

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự giảm dần: $\dfrac{{ - 12}}{{17}};\dfrac{{ - 3}}{{17}};\dfrac{{ - 16}}{{17}};\dfrac{{ - 1}}{{17}};\dfrac{{ - 11}}{{17}};\dfrac{{ - 14}}{{17}};\dfrac{{ - 9}}{{17}}.$

A.

$\dfrac{{ - 12}}{{17}};\dfrac{{ - 3}}{{17}};\dfrac{{ - 16}}{{17}};\dfrac{{ - 1}}{{17}};\dfrac{{ - 11}}{{17}};\dfrac{{ - 14}}{{17}};\dfrac{{ - 9}}{{17}}.$
B.

$\dfrac{{ - 1}}{{17}};\dfrac{{ - 3}}{{17}};\dfrac{{ - 9}}{{17}};\dfrac{{ - 11}}{{17}};\dfrac{{ - 14}}{{17}};\dfrac{{ - 12}}{{17}};\dfrac{{ - 16}}{{17}}$
C.

$\dfrac{{ - 1}}{{17}};\dfrac{{ - 3}}{{17}};\dfrac{{ - 9}}{{17}};\dfrac{{ - 11}}{{17}};\dfrac{{ - 12}}{{17}};\dfrac{{ - 14}}{{17}};\dfrac{{ - 16}}{{17}}$
D.

$\dfrac{{ - 16}}{{17}};\dfrac{{ - 14}}{{17}};\dfrac{{ - 12}}{{17}};\dfrac{{ - 11}}{{17}};\dfrac{{ - 9}}{{17}};\dfrac{{ - 3}}{{17}};\dfrac{{ - 1}}{{17}}$

Quốc gia	Australia	Pháp	Tây Ban Nha	Anh	Mỹ
Tuổi thọ trung bình dự kiến	83	82,5	$83\frac{1}{5}$	$81\frac{2}{5}$	$78\frac{1}{2}$

Chứng tỏ biểu thức sau không phải số nguyên. S=34+89+1516+...+n2−1n2(n∈N,n>1)S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}\left( {n \in \mathbb{N},n > 1} \right)

Chứng tỏ biểu thức sau không phải số nguyên.

$S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{{15}}{{16}} + ... + \frac{{{n^2} - 1}}{{{n^2}}}\left( {n \in \mathbb{N},n > 1} \right)$