Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1 và thể tích bằng \(\frac{2}{3}\). Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD. Trên các cạnh AB, SD, lần lượt lấy các điểm E, F sao cho EF song song BG. Khoảng cách giữa hai đường thẳng DG và EF bằng \(\frac{m}{n}\) với m, n nguyên dương \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức T = 2m – n.
Đáp án:
Đáp án:
Tính khoảng cách thông qua thể tích và diện tích khối chóp.
Gọi M là trung điểm của CD. Khi đó S, G, M thẳng hàng.
EF // BG nên E, F, G, B đồng phẳng.
\(\left\{ \begin{array}{l}(EFGB) \cap (SCD) = GF\\(EFGB) \cap (ABCD) = EB\\(SCD) \cap (ABCD) = CD\\EB//CD\end{array} \right.\) nên GF // EB // CD.
\(d(DG,EF) = d(EF,(BGD)) \)
\(= d(E,(BGD)) = \frac{{3{V_{G.EBD}}}}{{{S_{BGD}}}}\).
\({V_{G.BED}} = \frac{1}{3}d(G,(BED)).{S_{BED}} \)
\(= \frac{1}{3}.\frac{1}{3}d(S,(ABCD)).{S_{BED}}\).
Do EBGF là hình bình hành nên \(\frac{{EB}}{{AB}} = \frac{{GF}}{{CD}} = \frac{{GF}}{{2MD}} = \frac{1}{2}.\frac{{SG}}{{SM}} = \frac{1}{3}\).
Khi đó \({S_{BED}} = \frac{1}{3}{S_{BAD}} = \frac{1}{6}{S_{ABCD}}\).
\({V_{G.BED}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}d(S,(ABCD)).\frac{1}{6}{S_{ABCD}} \)
\(= \frac{1}{{18}}.\frac{2}{3} = \frac{1}{{27}}\).
\(BD = \sqrt 2 \); \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\)
\(\Leftrightarrow SO = \frac{{3.{V_{S.ABCD}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{3.\frac{2}{3}}}{{{1^2}}} = 2\).
\(SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{2^2} + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
\(BM = \sqrt {B{C^2} + C{M^2}} = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).
\(SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {17} }}{2}\)
\(\Rightarrow GM = \frac{{\sqrt {17} }}{6}\).
\(B{G^2} = G{M^2} + B{M^2} - 2.BM.GM.\cos \widehat {GMB} \)
\(= G{M^2} + B{M^2} - 2.BM.GM.\frac{{M{S^2} + M{B^2} - S{B^2}}}{{2.MS.MB}} = \frac{{25}}{{18}}\).
\(BG = \frac{{5\sqrt 2 }}{6}\).
\(GD = \sqrt {G{M^2} + M{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {17} }}{6}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {26} }}{6}\).
\(p = \frac{{BG + GD + DB}}{2} = \frac{{\sqrt {26} + 11\sqrt 2 }}{{12}}\).
Áp dụng công thức Heron: \({S_{BGD}} = \frac{1}{2}\).
\(d(DG,EF) = \frac{{3{V_{G.EBD}}}}{{{S_{BGD}}}} = \frac{{3.\frac{1}{{27}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{9} = \frac{m}{n}\).
Vậy T = 2m – n = 2.2 – 9 = -5.
Danh sách bình luận