Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức $M(t) = 75 - 20\ln (t + 1)$, $0 \le t \le 12$ (đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 8 tháng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Bài 1 :

Giải các phương trình sau:

a) $4 - \log \left( {3 - x} \right) = 3;$                                         

b) ${\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1.$

Bài 2 :

Xét phương trình $2{\log _2}x =  - 3.$

a) Từ phương trình trên, hãy tính ${\log _2}x.$

b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm x.

Bài 3 :

Giải các phương trình sau:

a) $\log \left( {x + 1} \right) = 2;$                                            

b) $2{\log _4}x + {\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2;$         

c) $\ln x + \ln \left( {x - 1} \right) = \ln 4x;$                                

d) ${\log _3}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = {\log _3}\left( {2x - 4} \right).$

Bài 4 :

Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.

Bài 5 :

Giải các phương trình sau:

a) ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) =  - 2$;    

b) ${\log _2}\left( {x + 6} \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right) + 1$

Bài 6 :

Cho đồ thị của hai hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ và $y = b$ như Hình 3a (với $a > 1$) hay Hình 3b (với $0 < a < 1$). Từ đây hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình ${\log _a}x = b$.

Bài 7 :

Nhắc lại rằng, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức $pH =  - \log x$, trong đó $x$ là nồng độ ion H⁺ tính bằng mol/L.

Biết sữa có độ pH là 6,5. Nồng độ H⁺ của sữa bằng bao nhiêu?

Bài 8 :

Giải các phương trình sau:

a) ${\log _6}\left( {4{\rm{x}} + 4} \right) = 2$;      

b) ${\log _3}x - {\log _3}\left( {x - 2} \right) = 1$.

Bài 9 :

Nếu $\log x = 2\log 5 - \log 2$ thì

A. $x = 8$.               

B. $x = 23$.              

C. $x = 12,5$.            

D. $x = 5$.

Bài 10 :

Giải mỗi phương trình sau:

a) ${\log _5}\left( {2x - 4} \right) + {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {x - 1} \right) = 0$.

b) ${\log _2}x + {\log _4}x = 3$.

Bài 11 :

a) Vẽ đồ thị hàm số $y = {\log _4}x$ và đường thẳng y = 5.

b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình ${\log _4}x = 5$.

Bài 12 :

Cho hai ví dụ về phương trình logarit.

Bài 13 :

Nghiệm của phương trình ${\log _{0,5}}(2 - x) =  - 1$ là

A. 0

B. 2,5

C. 1,5

D. 2

Bài 14 :

Giải các phương trình lôgarit sau:

a) ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {4x - 1} \right) = 2$;

b) ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 1} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {3x + 3} \right)$;

c) ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_x}81 = 2$;

d) ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{8^x} =  - 3$.

Bài 15 :

Tập nghiệm của phương trình ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = 1$ là

A. $\left\{ { - 1} \right\}$.

B. $\left\{ { - 2} \right\}$.

C. $\left\{ { - 1;2} \right\}$.

D. $\left\{ {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}$.

Bài 16 :

Cent âm nhạc là một đơn vị trong thang lôgarit của cao độ hoặc khoảng tương đối. Một quãng tám bằng 1200 cent. Công thức xác định chênh lệch khoảng thời gian (tính bằng cent) giữa hai nốt nhạc có tần số a và $b$ là

$n = 1200 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{a}{b}{\rm{\;}}{\rm{.}}$

(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008)

a) Tìm khoảng thời gian tính bằng cent khi tần số thay đổi từ $443{\rm{\;Hz}}$ về $415{\rm{\;Hz}}$.

b) Giả sử khoảng thời gian là 55 cent và tần số đầu là $225{\rm{\;Hz}}$, hãy tìm tần số cuối cùng.

Bài 17 :

Nghiệm của phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) =  - 2$ là:

A. $x = 2.$

B. $x = 5.$

C. $x = \frac{5}{2}.$

D. $x = \frac{3}{2}.$

Bài 18 :

Số nghiệm của phương trình $\log \left( {{x^2} - 7x + 12} \right) = \log \left( {2x - 8} \right)$ là:

A. $0.$

B. $1.$

C. $2.$

D. $3.$

Bài 19 :

Giải mỗi phương trình sau:

a) ${\log _4}\left( {x - 4} \right) =  - 2;$

b) ${\log _3}\left( {{x^2} + 2x} \right) = 1;$

c) ${\log _{25}}\left( {{x^2} - 4} \right) = \frac{1}{2};$

d) ${\log _9}\left[ {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \right] = 2;$

e) $\log \left( {{x^2} - 2x} \right) = \log \left( {2x - 3} \right);$

g) ${\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x + 8} \right) = 0.$

Bài 20 :

Tốc độ của gió S (dặm/giờ) gần tâm của một cơn lốc xoáy được tính bởi công thức: $S = 93\log d + 65,$ trong đó d (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy đó di chuyển được.

(Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage)

Tính quãng đường cơn lốc xoáy đã di chuyển được, biết tốc độ của gió ở gần tâm bằng 140 dặm/giờ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Bài 21 :

Nghiệm của phương trình ${\log _{\frac{1}{3}}}x =  - 2$ là:

A. $x =  - \frac{1}{9}.$

B. $x = \frac{1}{9}.$

C. $x = 9.$

D. $x =  - 9.$

Bài 22 :

Nghiệm của phương trình ${\log _5}\left( {2x - 3} \right) - {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {2x - 3} \right) = 0$ là:

A. $x = \frac{3}{2}.$

B. $x = 8.$

C. $x = 2.$

D. $x = 1.$

Bài 23 :

Với nước biển có nồng độ muối 30%, nhiệt độ T (⁰C) của nước biển được tinh bởi công thức $T = 7,9\ln \left( {1,0245 - d} \right) + 61,84,$ở đó $d\left( {{\rm{g/c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)$ là khối lượng riêng của nước biển.

(Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage)

Biết vùng biển khơi mặt ở một khu vực có nồng độ muối 30% và nhiệt độ là 8 ⁰C. Tính khối lượng riêng của nước biển ở vùng biển đó (làm tròn kết quả đến hàng phần chục nghìn).

Bài 25 :

Giải các phương trình sau:

a) ${\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 3$;

b) ${\log _{49}}x = 0,25$;

c) ${\log _2}\left( {3x + 1} \right) = {\log _2}\left( {2x - 4} \right)$;

d) ${\log _5}\left( {x - 1} \right) + {\log _5}\left( {x - 3} \right) = {\log _5}\left( {2x + 10} \right)$;

e) $\log x + \log \left( {x - 3} \right) = 1$;

g) ${\log _2}\left( {{{\log }_{81}}x} \right) =  - 2$.

Bài 26 :

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {\log _2}x$. Biết rằng $f\left( b \right) - f\left( a \right) = 5\left( {a,b > 0} \right)$, tìm giá trị của $\frac{b}{a}$.

Bài 27 :

Độ pH của một dung dịch được tính theo công thức $pH =  - \log x$, trong đó x là nồng độ ion ${H^ + }$ của dung dịch đó tính bằng mol/L. Biết rằng độ pH của dung dịch A lớn hơn độ pH của dung dịch B là 0,7. Dung dịch B có nồng độ ion ${H^ + }$ gấp bao nhiêu lần nồng độ ion ${H^ + }$ của dung dịch A?

Bài 28 :

Giả sử $\alpha$ và $\beta$ là hai nghiệm của phương trình ${\log _2}x.{\log _2}3x =  - \frac{1}{3}$. Khi đó tích $\alpha \beta$ bằng

A. $\frac{1}{3}$

B. 3

C. $\sqrt 3$

D. ${\log _2}3$

Bài 29 :

Giải phương trình ${\log _5}\left( {4x + 5} \right) = 2 + {\log _5}\left( {x - 4} \right)$

A. 9

B. 15

C. 4

D. 5

Bài 30 :

Biết rằng ${\log _3}4.{\log _4}8.{\log _8}x = {\log _8}64$. Giá trị của x là

A. $\frac{9}{2}$

B. 9

C. 27

D. 81