Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x\) là

Bài 1 :

Tìm:

a) \(\int {\frac{1}{{{x^4}}}dx} \);

b) \(\int {x\sqrt x dx\left( {x > 0} \right)} \);

c) \(\int {\left( {\frac{3}{x} - 5\sqrt[3]{x}} \right)dx\left( {x > 0} \right)} \).

Bài 2 :

a) Với \(\alpha  \ne  - 1\), tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}\left( {x > 0} \right)\).

b) Cho hàm số \(y = \ln \left| x \right|\left( {x \ne 0} \right)\). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: \(x > 0\) và \(x < 0\).

Bài 3 :

Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng lũy thừa \(y = {x^\alpha }\left( {x > 0} \right)\), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với \(x > 0\): \(y = \frac{1}{{{x^4}}},y = {x^{\sqrt 2 }},y = \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}\).

Bài 4 :

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 1\);

b) \(f\left( x \right) = {x^3} - x\);

c) \(f\left( x \right) = {\left( {2x + 1} \right)^2}\);

d) \(f\left( x \right) = {\left( {2x - \frac{1}{x}} \right)^2}\).

Bài 5 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\). Biết rằng \(f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{{x^2}}}\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\). Tính giá trị f(4).

Bài 6 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là (C). Xét điểm \(M\left( {x;f\left( x \right)} \right)\) thay đổi trên (C). Biết rằng, hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là \({k_M} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) và điểm M trùng với gốc tọa độ khi nó nằm trên trục tung. Tìm biểu thức f(x).

Bài 7 :

Một vật chuyển động có gia tốc là \(a\left( t \right) = 3{t^2} + t\left( {m/{s^2}} \right)\). Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là 2m/s. Vận tốc của vật đó sau 2 giây là

A. 8m/s.

B. 10m/s.

C. 12m/s.

D. 16m/s.

Bài 8 :

Một viên đạn được bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là 30m/s. Gia tốc trọng trường là 9,8\(m/{s^2}\). Tìm vận tốc của viên đạn ở thời điểm 2 giây.

Bài 9 :

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng sông với vận tốc là \(v\left( t \right) = \frac{{ - 2t}}{5} + 4\left( {km/h} \right)\). Nếu coi thời điểm ban đầu \(t = 0\) là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu?

Bài 10 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 3\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. \(\int {f\left( x \right)dx}  = 2x + C\).

B. \(\int {f\left( x \right)dx}  = {x^2} + 3x + C\).

C. \(\int {f\left( x \right)dx}  = {x^3} + 3x + C\).

D. \(\int {f\left( x \right)dx}  = \frac{{{x^3}}}{3} + 3x + C\).

Bài 11 :

Tìm hàm số f(x) biết rằng \(f'\left( x \right) = x - \frac{1}{{{x^2}}} + 2\) và \(f\left( 1 \right) = 2\).

Bài 12 :

Hàm số \(F(x) = \frac{1}{2}{x^2}\) có phải là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) hay không?

Bài 13 :

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\) trên khoảng \((0; + \infty )\)

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\) trên khoảng \(( - \infty ;0)\)

Bài 14 :

Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{{3x}}{{\sqrt x }}\) bằng:

A. \(2\sqrt[3]{{{x^2}}} + C\)

B. \(\frac{{ - 6}}{{\sqrt x }} + C\)

C. \(3\sqrt x  + C\)

D. \(2x\sqrt x  + C\)

Bài 15 :

Tìm:

a) \(\int {\left( {7{x^6} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)} dx\)

b) \(\int {\frac{{21}}{{8x}}} dx\)

c) \(\int {\frac{1}{{{x^4}}}} dx\)

d) \(\int {\frac{1}{{x\sqrt x }}} dx\)

Bài 16 :

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số

\(v(t) =  - 0,1{t^3} + {t^2}\)

trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng cm/tuần. Gọi h(t) (tính bằng cm) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t.

a) Viết công thức xác định hàm số h(t) \((t \ge 0)\).

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?

c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu?

d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua sẽ cao bao nhiêu?

Bài 17 :

Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t, trong đó t tính theo ngày \((0 \le t \le 10)\). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số \(P'(t) = k\sqrt t \), trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn. Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bài 18 :

Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).

a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).

b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).

Bài 19 :

Tìm:

a) \(\int {{x^4}dx} \).

b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).

c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).

Bài 20 :

a) Giải thích tại sao \(\int {0dx = C} \) và \(\int {1dx = x + C} \)

b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}\) \(\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {{x^\alpha }dx} \).

Bài 21 :

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = {x^4}\)?

A. \( - \frac{{{x^5}}}{5}\)

B. \(4{x^3}\)

C. \(\frac{{{x^5}}}{5} + 1\)

D. \( - 4{x^3} - 1\)

Bài 22 :

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2}}}\)?

A. \(\frac{1}{{{x^3}}}\)

B. \( - \frac{1}{x}\)

C. \(\frac{1}{x}\)

D. \( - \frac{1}{{{x^3}}}\)

Bài 23 :

Tìm hàm số \(y = f\left( x \right)\), biết \(f'\left( x \right) = 3\sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\) và \(f\left( 1 \right) = 1\).

Bài 24 :

Tìm:

a) \(\int {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}} dx\);

b) \(\int {\sqrt x } \left( {7{x^2} + 6} \right)dx\).

Bài 25 :

a) \(\int {\left( {3x + 4} \right)\sqrt[3]{x}} dx\);

b) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}} dx\).

Bài 26 :

Tìm:

a) \(\int {\left( {2{e^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} \right){\rm{ }}} dx\);

b) \(\int {\left( {{x^2} + {2^x}} \right)} {\rm{ }}dx\).

Bài 27 :

\(\int {{x^2}dx} \) bằng

A. \(2x + C\).

B. \(\frac{1}{3}{x^3} + C\).

C. \({x^3} + C\).

D. \(3{x^3} + C\).

Bài 28 :

\(\int {\left( {{x^2} + 3{x^3}} \right)dx} \) có dạng bằng \(\frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{4}{x^4} + C\), trong đó \(a,b\) là hai số nguyên.

Giá trị \(a + b\) bằng

A. 4.

B. 2.

C. 5.

D. 6.

Bài 29 :

Tìm một nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \frac{1}{x}\) thỏa mãn điều kiện \(F\left( 1 \right) = 3\).

Bài 30 :

Hàm số \(y = {x^{20}}\) là nguyên hàm của hàm số:

A. \(y = {x^{19}}\).

B. \(y = 20{x^{21}}\).

C. \(y = 20{x^{19}}\).

D. \(y = \frac{{{x^{21}}}}{{21}}\).