Đề bài

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có hai đường kính $AB$ và $CD$ vuông góc tại $O$ . Gọi I là trung điểm của $OB$ . Tia $CI$ cắt đường tròn $\left( O \right)$ tại $E$ . Gọi $H$ là giao điểm của $AE$ và $CD$ .

a) Chứng minh bốn điểm O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AH.\,AE = 2{R^2}$ và $OA = 3 \cdot OH$ .

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta IOD$ và $\Delta IED$ nội tiếp đường tròn đường kính ID, do đó bốn điểm O, I, E, D thuộc đường tròn đường kính AB.

b) Chứng minh $AH.\,AE = 2{R^2}$

Chứng minh $\Delta AHO\backsim \Delta ABE$ (g.g) suy ra $\frac{{AH}}{{AO}} = \frac{{AB}}{{AE}}$ , do đó $AH \cdot AE = AO \cdot AB$ .

Thay bằng R để tính $AH.AE$ .

Chứng minh $OA = 3 \cdot OH$

Tính OI, AI theo R.

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ABE để tính $\frac{{AE}}{{BE}}$

Vì $\Delta AHO\backsim \Delta ABE$ nên $\frac{{OA}}{{OH}} = \frac{{AE}}{{BE}}$ suy ra $\frac{{OA}}{{OH}}$ , suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải của GV HocTot.XYZ

a) Xét $\Delta IOD$ vuông tại O ( $CD \bot AB$ tại O) nên $\Delta IOD$ nội tiếp đường tròn đường kính ID, do đó I, O, D thuộc đường tròn đường kính ID.

Xét $\Delta IED$ vuông tại E ( $\widehat {CED} = 90^\circ$ , góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\Delta IED$ nội tiếp đường tròn đường kính ID, do đó I, E, D thuộc đường tròn đường kính ID.

Do đó bốn điểm O, I, E, D thuộc đường tròn đường kính AB.

b) Chứng minh $AH.\,AE = 2{R^2}$

Ta có $\widehat {AEB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\Delta AHO$ và $\Delta ABE$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat {AOH} = \widehat {AEB}\left( { = 90^\circ } \right)$

nên $\Delta AHO\backsim \Delta ABE$ (g.g) suy ra $\frac{{AH}}{{AO}} = \frac{{AB}}{{AE}}$ , do đó $AH \cdot AE = AO \cdot AB = R \cdot 2R = 2{R^2}$

Chứng minh $OA = 3 \cdot OH$

Vì I là trung điểm của OB nên $OI=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}R$ , suy ra $AI=R+\frac{1}{2}R=\frac{3}{2}R$

Vì $\widehat{AOC}=\widehat{COB}=90{}^\circ$ nên $\overset\frown{AC}=\overset\frown{CB}$ , suy ra $\widehat{AEC}=\widehat{CEB}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Do đó $EI$ là tia phân giác của góc $AEB$ .

Vì $EI$ là tia phân giác của góc $AEB$ nên suy ra: $\frac{AE}{BE}=\frac{AI}{IB}=\frac{\frac{3}{2}R}{\frac{1}{2}R}=3$ .

Vì $\Delta AHO\backsim \Delta ABE$ nên $\frac{OA}{OH}=\frac{AE}{BE}$ suy ra $\frac{OA}{OH}=3$ , do đó $OA=3.OH$ .

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ . Gọi $H$ là điểm nằm giữa $O$ và $B$ . Kẻ dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $H$ . Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $E$ kẻ $CK$ vuông góc $AE$ tại $K$ . Đường thẳng $DE$ cắt $CK$ tại $F$ . Chọn câu đúng:

A.

$AHCK$ là tứ giác nội tiếp.
B.

$AHCK$ không nội tiếp đường tròn.
C.

$\widehat {EAO} = \widehat {HCK}$
D.

$AH.AB = AD.BD.$