Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $\sqrt 3$ . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc với (ABCD), SH = 3. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP).

Phương pháp giải

Gọi BP giao NC tại F.

Chứng minh $(SBP) \bot (SNC)$ .

Xét trong mặt phẳng (SNC), lấy E thuộc SF sao cho $HE \bot SF$ .

Chứng minh $d\left( {C,(SBP)} \right) = d\left( {H,(SBP)} \right) = HE$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính HE.

Lời giải của GV HocTot.XYZ

Đáp án :

Gọi BP giao NC tại F.

Xét $\Delta ADM$ và $\Delta DCN$ , có:

$\widehat {DAM} = \widehat {CDN} = {90^o}$ ;

AD = CD (cạnh hình vuông);

AM = DN (một nửa cạnh hình vuông).

Do đó $\Delta ADM = \Delta DCN$ (c.g.c), suy ra $\widehat {ADM} = \widehat {DCN}$ .

Mà $\widehat {ADM} + \widehat {MDC} = {90^o}$ nên $\widehat {DCN} + \widehat {MDC} = {90^o} \Rightarrow \widehat {DHC} = {90^o} \Rightarrow NC \bot MD$ .

Xét tứ giác BMDP có BM // DP và BM = DP nên BMDP là hình bình hành, suy ra MD // BP.

Mà $NC \bot MD$ suy ra $NC \bot BP$ .

Vì $SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot BP$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BP \bot NC\\BP \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BP \bot (SNC) \Rightarrow (SBP) \bot (SNC)$ .

Xét trong mặt phẳng (SNC), lấy E thuộc SF sao cho $HE \bot SF$ .

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}(SNC) \bot (SBP)\\HE \bot SF\\HE \in (SNC)\\(SNC) \cap (SBP) = SF\end{array} \right.$ suy ra $HE \bot (SBP)$ , tức $d\left( {H,(SBP)} \right) = HE$ .

Vì EP // HD và P là trung điểm của CD nên PF là đường trung bình $\Delta DHC$ , suy ra HF = CF.

Mà F thuộc (SBP) nên $d\left( {C,(SBP)} \right) = d\left( {H,(SBP)} \right) = HE$ .

Xét $\Delta DNC$ vuông tại D, đường cao DH:

$D{C^2} = HC.CN \Leftrightarrow HC = \frac{{D{C^2}}}{{CN}} = \frac{{D{C^2}}}{{\sqrt {D{C^2} + N{D^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {3 + \frac{3}{4}} }} = \frac{{2\sqrt {15} }}{5}$ .

Vì F là trung điểm của CH nên $HF = \frac{{CH}}{2} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}$ .

Xét $\Delta SHC$ vuông tại H, đường cao HE:

$\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{H{F^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{{16}}{9} \Leftrightarrow HE = \frac{3}{4} = 0,75$ .

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

a) Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của M trên a. Với mỗi điểm K thuộc a, vì sao MK ≥ MH (H.7.74)

b) Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên (P). Với mỗi điểm K thuộc (P), giải thích vì sao MK ≥ MH (H.7.75).

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110 cm. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm.

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $OA = a,OB = a\sqrt 2$ và $OC = 2a$ . Tính khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ .

Xem lời giải >>

Bài 4 :

a) Cho điểm $M$ và đường thẳng $a$ không đi qua $M$ . Trong mặt phẳng $\left( {M,a} \right)$ , dùng êke để tìm điểm $H$ trên $a$ sao cho $MH \bot a$ (Hình 1a). Đo độ dài đoạn $MH$ .

b) Cho điểm $M$ không nằm trên mặt phẳng sàn nhà $\left( P \right)$ . Dùng dây dọi để tìm hình chiếu vuông góc $H$ của $M$ trên $\left( P \right)$ (Hình 1b). Đo độ dài đoạn $MH$ .

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo, $\widehat {ABC} = {60^ \circ },SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = a\sqrt 3$ . Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ .

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2a$ và chiều cao bằng $a\sqrt 2$ . Khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên là

A. $\frac{{a\sqrt {14} }}{7}$ .

B. $\frac{{a\sqrt 2 }}{7}$ .

C. $\frac{{a\sqrt {14} }}{2}$ .

D. $\frac{{2a\sqrt {14} }}{7}$ .

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và $SA \bot (ABC),SA = a\sqrt 2$ . Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng

A. $\frac{{6a}}{{11}}$ .

B. $\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}$ .

C. $\frac{{a\sqrt 6 }}{{11}}$ .

D. $\frac{{a\sqrt {11} }}{{11}}$ .

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right),AI \bot BC\left( {I \in BC} \right)$ , $AH \bot SI\left( {H \in SI} \right)$ . Chứng minh rằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ bằng $AH$ .

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Khi lắp thiết bị cho nhà bạn Nam, bác thợ khoan tường tại vị trí $M$ trên tường có độ cao so với nền nhà là $MH = 80cm$ . Quan sát Hình 61, nền nhà gợi nên mặt phẳng $\left( P \right)$ , cho biết độ dài đoạn thẳng $MH$ gợi nên khái niệm gì trong hình học liên quan đến điểm $M$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ .

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD. Khoản cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{6}$ .

B. $\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ .

C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ .

D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$ .

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho tứ diện $ABCD$ có cạnh $AB$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ và tam giác $BCD$ vuông tại $C$ . Biết rằng $AB = BC = 2a.$ Khoảng cách từ điểm $B$ tới mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ bằng bao nhiêu?

A.

$\sqrt 2 a.$
B.

$\sqrt 3 a.$
C.

$a.$
D.

$\frac{{3a}}{2}.$

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết $SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$ .

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC.

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG).

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng

A. $\frac{a}{{\sqrt 2 }}$

B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{4}$

C. $\frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}$

D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho hình chóp $S.ABCD$ có mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ vuông góc với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ , tam giác $SAB$ đều, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$ . Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$ . Khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ bằng

A. $\frac{{a\sqrt {30} }}{5}$ .

B. $\frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$ .

C. $\frac{{a\sqrt 6 }}{{10}}$ .

D. $\frac{{a\sqrt 6 }}{5}$ .

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Hình dưới minh hoạ hình ảnh một chiếc gậy dài 3 m đặt dựa vào tường, góc nghiêng giữa chiếc gậy và mặt đất là ${65^o}$ . Đầu trên của chiếc gậy đặt vào vị trí $M$ của tường. Khoảng cách từ vị trí $M$ đến mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét) bằng:

A. 2,7 m

B. 2,8 m

C. 2,9 m

D. 3,0 m

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO vuông góc với mặt đáy. Biết cạnh hình thoi bằng 2024, góc BAD bằng ${120^o}$ , khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) bằng bao nhiêu?

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách từ A’ đến mặt phẳng (ABCD) bằng

A.

$\frac{a}{2}$
B.

$a$
C.

$2a$
D.

$3a$

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh bằng I, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và $SA = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Kim tự tháp có hình dạng là một khối chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 230 m, độ dài cạnh bên bằng 214 m. Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt bên của kim tự tháp (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. SA = 2a vuông góc với mặt đáy (ABCD). Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAD) là

A.

$a$
B.

$2a$
C.

$a\sqrt 3$
D.

$\frac{a}{3}$

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC vuông tại B, cạnh $SA \bot (ABC)$ . Chọn khẳng định đúng.

A.

$d\left( {C,(SAB)} \right) = CS$
B.

$d\left( {A,(SBC)} \right) = AB$
C.

$d\left( {C,(SAB)} \right) = CB$
D.

$d\left( {S,(SBC)} \right) = SA$

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, $SA \bot (ABCD)$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A.

$d\left( {S,(ABCD)} \right) = SA$
B.

$d\left( {D,(SAB)} \right) = DA$
C.

$d\left( {A,(SBC)} \right) = AB$
D.

$d\left( {D,(SAB)} \right) = d\left( {C,(SAB)} \right)$

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông tại B có AB = a, $BC = a\sqrt 3$ . Biết SA = 2a và $SA \bot (ABC)$ .

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM).

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng ${45^o}$ . Gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (SAC).

A.

$d = \frac{{a\sqrt {1315} }}{{89}}$
B.

$d = \frac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}$
C.

$d = \frac{{2a\sqrt {1315} }}{{89}}$
D.

$d = \frac{{2a\sqrt {1513} }}{{89}}$

Xem lời giải >>