Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{3 + {2^x}}} + \dfrac{1}{{3 + {2^{ - x}}}}\). Trong các khẳng định, có bao nhiêu khẳng định đúng?
1) \(f'\left( x \right) \ne 0,\forall x \in R\)
2) \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) = 2017\)
3) \(f\left( {{x^2}} \right) = \dfrac{1}{{3 + {4^x}}} + \dfrac{1}{{3 + {4^{ - x}}}}\)
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Phương pháp giải
Xét tính đúng, sai các mệnh đề và đối chiếu đáp án:
- Tính \(f'\left( x \right)\) và xét \(f'\left( x \right) = 0\).
- Đánh giá tổng \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right)\) rồi so sánh với \(2017\).
- Tính \(f\left( {{x^2}} \right)\) rồi so sánh với vế phải của mệnh đề 3).
Lời giải của GV HocTot.XYZ
Ta có:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{ - {2^x}\ln 2}}{{{{\left( {3 + {2^x}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{2^{ - x}}\ln 2}}{{{{\left( {3 + {2^{ - x}}} \right)}^2}}} \Rightarrow f'\left( 0 \right) = 0\) nên khẳng định (1) sai.
\(f\left( x \right) = \dfrac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{\left( {3 + {2^x}} \right)\left( {3 + {2^{ - x}}} \right)}} = \dfrac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{3\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right) + 10}}\)
Đặt \(t = {2^x} + {2^{ - x}} \ge 2\sqrt {{2^x}{{.2}^{ - x}}} = 2\) thì \(\dfrac{{{2^x} + {2^{ - x}} + 6}}{{3\left( {{3^x} + {2^{ - x}}} \right) + 10}} = \dfrac{{t + 6}}{{3t + 10}}\)
Xét \(g\left( t \right) = \dfrac{{t + 6}}{{3t + 10}},g'\left( t \right) = - \dfrac{8}{{{{\left( {3t + 10} \right)}^2}}} < 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
\( \Rightarrow g\left( t \right) \le g\left( 2 \right) = \dfrac{{2 + 6}}{{3.2 + 10}} = \dfrac{1}{2} < 1\) hay \(f\left( x \right) < 1,\forall x\).
Suy ra \(f\left( 1 \right) < 1,f\left( 2 \right) < 1,...,f\left( {2017} \right) < 1\).
\( \Rightarrow f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2017} \right) < 2017\) nên (2) sai.
\(f\left( {{x^2}} \right) = \dfrac{1}{{3 + {2^{{x^2}}}}} + \dfrac{1}{{3 + {2^{ - {x^2}}}}} \ne \dfrac{1}{{3 + {4^x}}} + \dfrac{1}{{3 + {4^{ - x}}}}\) (chẳng hạn \(x = 1\)) nên (3) sai.
Do đó không có khẳng định nào đúng.
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Hàm số \(y = {a^x}\left( {0 < a \ne 1} \right)\) đồng biến khi nào?
Xem lời giải >>
Bài 2 :
Chọn khẳng định đúng:
Xem lời giải >>
Bài 3 :
Chọn mệnh đề đúng:
Xem lời giải >>
Bài 4 :
Chọn mệnh đề đúng:
Xem lời giải >>
Bài 5 :
Chọn mệnh đề đúng:
Xem lời giải >>
Bài 6 : 
Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?
Xem lời giải >>
Bài 7 : 
Đồ thị hàm số dưới đây là của hàm số nào?
Xem lời giải >>
Bài 8 : 
Cho các đồ thị hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}\left( {0 < a,b,c \ne 1} \right)\), chọn khẳng định đúng:
Xem lời giải >>
Bài 9 : 
Cho hai hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\) với \(1 \ne a,b > 0\) lần lượt có đồ thị là \(\left( {{C_1}} \right),\left( {{C_2}} \right)\) như hình bên. Mệnh đề nào đúng?
Xem lời giải >>
Bài 10 :
Hàm số \(y = {2^{\ln x + {x^2}}}\) có đạo hàm là
Xem lời giải >>
Bài 11 :
Cho hàm số \(y = {3^x} + \ln 3\). Chọn mệnh đề đúng:
Xem lời giải >>
Bài 12 :
Cho giới hạn \(I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{e^{3x}} - {e^{2x}}}}{x}\), chọn mệnh đề đúng:
Xem lời giải >>
Bài 13 :
Cho $a$ là số thực dương khác $1$. Xét hai số thực $x_1, x_2$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
Xem lời giải >>
Bài 14 :
Cho hàm số $f\left( x \right) = {2^x}{.7^{{x^2}}}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Xem lời giải >>
Bài 15 :
Cho các số thực dương $a, b$ khác $1$. Biết rằng đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị các hàm số \(y = {a^x};y = {b^x}\) và trục tung lần lượt tại $A, B, C$ sao cho $C$ nằm giữa $A$ và $B$, và $AC= 2BC$. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Xem lời giải >>
Bài 16 :
Gọi \(m\) là GTLN của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^3} - 3x + 3}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Chọn kết luận đúng:
Xem lời giải >>
Bài 17 :
Gọi \(m,M\) lần lượt là GTNN, GTLN của hàm số \(y = {e^{2 - 3x}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Xem lời giải >>
Bài 18 :
Cho hai số thực dương $x, y$ thỏa mãn \({2^x} + {2^y} = 4\). Tìm giá trị lớn nhất \({P_{\max }}\) của biểu thức\(P = (2{x^2} + y)(2{y^2} + x) + 9xy\).
Xem lời giải >>
Bài 19 :
Cho hàm số \(f(x) = {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3}}} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^{ - {x^2}}}\) . Xét các khẳng định sau:
Khẳng định 1: \(f(x) > 0 \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} > 0\)
Khẳng định 2: \(f(x) > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
Khẳng định 3: \(f(x) < 3 - \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} - 1}} < 1 + {\left( {\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{7}} \right)^{{x^2} + 1}}\)
Khẳng định 4:\(f(x) < 3 + \sqrt 2 \Leftrightarrow {(3 - \sqrt 2 )^{{x^3} + 1}} < {(3 - \sqrt 2 )^{1 - {x^2}}} + 7\)
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?
Xem lời giải >>
Bài 20 :
Tìm tập xác định \({\rm{D}}\) của hàm số $y = \sqrt {1 - {3^{{x^2} - 5x + 6}}} .$
Xem lời giải >>