Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh $2\sqrt{2}$. Hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC và biết rằng góc nhị diện $\lbrack C';BC;A\rbrack = 135^{o}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và AC'. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Để tính khoảng cách giữa đường thẳng d và d’ chéo nhau, ta tính khoảng cách từ d đến mặt phẳng (P) chứa d’ và song song với d. Đưa về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Gọi M, M' lần lượt là trung điểm cạnh BC, B'C'.
$\left. \left\{ \begin{array}{l} {A'M\bot(ABC)} \\ {BC \subset (ABC)} \end{array} \right.\Rightarrow A'M\bot BC \right.$.
$\left. \left\{ \begin{array}{l} {BC\bot A'M} \\ {BC\bot AM} \end{array} \right.\Rightarrow BC\bot(MAA')\Rightarrow BC\bot AA'\Rightarrow BC\bot MM' \right.$.
$\left. \left\{ \begin{array}{l} {(C'BC) \cap (ABC) = BC} \\ {MM' \subset (C'BC),MM'\bot BC} \\ {AM \subset (ABC),AM\bot BC} \end{array} \right.\Rightarrow\lbrack C';BC;A\rbrack = AMM' \right.$
$\left. \Rightarrow AMM' = 135^{o}\Rightarrow MAA' = 45^{o} \right.$.
Suy ra tam giác AMA' vuông cân tại $\left. M\Rightarrow MA' = MA = \sqrt{6} \right.$.
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ: $O \equiv M$, các điểm A, B, A' lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz.
M(0; 0; 0), $A(\sqrt{6};0;0)$, $B(0;\sqrt{2};0)$, $C(0; - \sqrt{2};0)$, $A'(0;0;\sqrt{6})$.
$\left. \overset{\rightarrow}{CC^{\prime}} = \overset{\rightarrow}{AA^{\prime}} = ( - \sqrt{6};0;\sqrt{6})\Rightarrow C'( - \sqrt{6}; - \sqrt{2};\sqrt{6}) \right.$, $\overset{\rightarrow}{A^{\prime}B} = (0;\sqrt{2}; - \sqrt{6})$, $AC' = ( - 2\sqrt{6}; - \sqrt{2};\sqrt{6})$.
Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng chứa AC' và song song A'B. $(\alpha)$ có vecto pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = \lbrack A'B,AC'\rbrack = (0;12;4\sqrt{3})$.
Phương trình mặt phẳng $(\alpha):\sqrt{3}y + z = 0$.
$d(AC',A'B) = d(A'B,(\alpha)) = d(A',(\alpha)) = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1,22$.
Danh sách bình luận