Trong một trò chơi “giải mật mã tại ngày hội khoa học”, ban tổ chức chuẩn bị một hộp chứa 9 tấm thẻ được ghi các số từ các số {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Một người chơi rút ngẫu nhiên 5 tấm thẻ khác nhau từ hộp. Sau đó các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần thành a < b < c < d < e. Người chơi được coi là giải được mật mã nếu trong năm số này tồn tại bốn số liên tiếp tạo thành một cấp số cộng. Biết xác suất để người chơi giải được mật mã là A. Giá trị $\dfrac{1}{A}$ là bao nhiêu?
Áp dụng phương pháp liệt kê.
+) Số cách chọn ngẫu nhiên 5 tấm thẻ khác nhau từ hộp chứa 9 tấm thẻ là một tổ hợp chập 5 của 9 phần tử: \(n(\Omega ) = C_9^5 = 126\) (cách).
Sau khi chọn, 5 số này luôn được sắp xếp duy nhất theo thứ tự tăng dần: a < b < c < d < e.
Để trong 5 số này tồn tại 4 số liên tiếp lập thành một cấp số cộng (CSC), về mặt vị trí sau khi sắp xếp, chỉ có 2 trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: 4 số đầu (a; b; c; d) là CSC. Số còn lại e phải thỏa mãn: e > d.
Trường hợp 2: 4 số cuối (b; c; d; e) là CSC. Số còn lại a phải thỏa mãn: a < b.
Bước 2: Đếm số kết quả thuận lợi cho Biến cố
Gọi d là công sai của cấp số cộng gồm 4 số. Vì các số thuộc tập {1; 2; …; 9} nên công sai d chỉ có thể bằng 1 hoặc 2 (nếu \(d \ge 3\), bốn số nhỏ nhất là 1; 4; 7; 10 loại vì vượt quá 9).
+) TH1: Bốn số đầu (a; b; c; d) lập thành một CSC.
Khả năng 1.1: Công sai d = 1
Có 6 bộ bốn số thỏa mãn. Với mỗi bộ, ta chọn số thứ năm e sao cho e > d:
Bộ (1; 2; 3; 4): Chọn \(e \in \{ 5;6;7;8;9\} \) được 5 bộ 5 số.
Bộ (2; 3; 4; 5): Chọn \(e \in \{ 6;7;8;9\} \) được 4 bộ 5 số.
Bộ (3; 4; 5; 6): Chọn \(e \in \{ 7;8;9\} \) được 3 bộ 5 số.
Bộ (4; 5; 6; 7): Chọn \(e \in \{ 8;9\} \) được 2 bộ 5 số.
Bộ (5; 6; 7; 8): Chọn \(e \in \{ 9\} \) được 1 bộ 5 số.
Bộ (6; 7; 8; 9): Không có số e > 9.
Vậy số bộ 5 số ở khả năng này là: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15 bộ.
Khả năng 1.2: Công sai d = 2.
Có 3 bộ bốn số thỏa mãn. Ta chọn số thứ năm e > d:
Bộ (1; 3; 5; 7): Chọn \(e \in \{ 8;9\} \) được 2 bộ 5 số.
Bộ (2; 4; 6; 8): Chọn \(e \in \{ 9\} \) được 1 bộ 5 số.
Bộ (3; 5; 7; 9): Không có số e > 9.
Vậy số bộ 5 số ở khả năng này là: 2 + 1 + 0 = 3 bộ.
Tổng số bộ 5 số ở TH1 (CSC nằm đầu) là: 15 + 3 = 18 bộ.
+) TH2: Bốn số cuối (b; c; d; e) lập thành một CSC.
Khả năng 2.1: Công sai d = 1.
Có 6 bộ bốn số thỏa mãn. Với mỗi bộ, ta chọn số thứ nhất a sao cho a < b:
Bộ (1; 2; 3; 4): Không có số a < 0.
Bộ (2; 3; 4; 5): Chọn \(a \in \{ 1\} \) được 1 bộ 5 số.
Bộ (3; 4; 5; 6): Chọn \(a \in \{ 1;2\} \) được 2 bộ 5 số.
Bộ (4; 5; 6; 7): Chọn \(a \in \{ 1;2;3\} \) được 3 bộ 5 số.
Bộ (5; 6; 7; 8): Chọn \(a \in \{ 1;2;3;4\} \) được 4 bộ 5 số.
Bộ (6; 7; 8; 9): Chọn \(a \in \{ 1;2;3;4;5\} \) được 5 bộ 5 số.
Vậy số bộ 5 số ở khả năng này là: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 bộ.
Khả năng 2.2: Công sai d = 2.
Có 3 bộ bốn số thỏa mãn. Ta chọn số thứ nhất a < b:
Bộ (1; 3; 5; 7): Không có số a < 1.
Bộ (2; 4; 6; 8): Chọn \(a \in \{ 1\} \) được 1 bộ 5 số.
Bộ (3; 5; 7; 9): Chọn \(a \in \{ 1;2\} \) được 2 bộ 5 số.
Vậy số bộ 5 số ở khả năng này là: \(0 + 1 + 2 = 3\) bộ.
Tổng số bộ 5 số ở TH2 (CSC nằm cuối) là: 15 + 3 = 18 bộ.
+) Loại trừ các bộ trùng nhau (Phần giao của TH1 và TH2)
Một bộ 5 số bị đếm lặp ở cả TH1 và TH2 khi và chỉ khi cả 5 số đó cùng lập thành một CSC liên tiếp (vừa có 4 số đầu là CSC, vừa có 4 số cuối là CSC).
Với d = 1: Có 5 bộ gồm 5 số liên tiếp là:
{1; 2; 3; 4; 5}, {2; 3; 4; 5; 6}, {3; 4; 5; 6; 7}, {4; 5; 6; 7; 8}, {5; 6; 7; 8; 9}.
Với d = 2: Có 1 bộ gồm 5 số là: {1; 3; 5; 7; 9}.
Tổng số bộ bị trùng là: 5 + 1 = 6 bộ.
+) n(X) = 18 + 18 - 6 = 30.
Xác suất để người chơi giải được mật mã là:
\(A = \frac{{n(X)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{30}}{{126}} = \frac{5}{{21}}\)
\(\Rightarrow \dfrac{1}{A} = 4,2\).
Danh sách bình luận