Cho parabol (P): $y = ax^{2} + bx + c$ đi qua điểm A(0; 3) và có đỉnh I(-1; 2). Tính S = a + b + c.

Bài 1 :

Xét (P) là một parabol với tiêu điểm F và đường chuẩn \(\Delta \). Gọi p là tham số tiêu của (P) và H là hình chiếu vuông góc của F trên \(\Delta \). Chọn hệ trục toạ độ Oxy Có gốc O là trung điểm của HF, tia Ox trùng tia OF (H7.27).

a) Nêu toạ độ của F và phương trình của \(\Delta \).

b) Giải thích vì sao điềm M(x; y) thuộc (P) khi và chỉ khi \(\sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}}  = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\).

Bài 2 :

Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm \(M\left( {2;4} \right)\).

Bài 3 :

Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. \({x^2} = 4y\)

B. \({x^2} =  - 6y\)

C. \({y^2} = 4x\)

D. \({y^2} =  - 4x\)

Bài 4 :

Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn \(\Delta :x + 1 = 0\).

Bài 5 :

Cho parabol (P) có tiêu điểm F  và đường chuẩn \(\Delta \). Gọi khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn là p, hiển nhiên \(p > 0\).

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) và \(\Delta :x + \frac{p}{2} = 0\).

Xét điểm \(M(x;y)\).

a) Tính MF và \(d\left( {M,\Delta } \right)\).

b) Giải thích biểu thức sau:

\(M(x;y) \in (P) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - \frac{p}{2}} \right)}^2} + {y^2}}  = \left| {x + \frac{p}{2}} \right|\).

Bài 6 :

Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) \({y^2} = 12x\)

b) \({y^2} = x\)

Bài 7 :

Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) Tiêu điểm \((4;0)\)

b) Đường chuẩn có phương trình \(x =  - \frac{1}{6}\)

c) Đi qua điểm \((1;4)\)

d) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 8

Bài 8 :

Viết phương trình các parabol sau đây dưới dạng chính tắc:

a) \(x = \frac{{{y^2}}}{4}\)

b) \(x-y^2=0\)

Bài 9 :

Những phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của parabol?

a) \({y^2} =  - 2x\)

b) \({y^2} = 2x\)

c) \({x^2} =  - 2y\)

d) \({y^2} = \sqrt 5 x\)

Bài 10 :

Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của đường parabol trong mỗi trường hợp sau:

a) \({y^2} = \frac{{5x}}{2}\)

b) \({y^2} = 2\sqrt 2 x\)

Bài 11 :

Viết phương trình chính tắc của đường parabol, biết tiêu điểm \(F\left( {6;0} \right)\).

Bài 12 :

Một chiếc đèn có mặt cắt ngang là hình parabol (Hình 63). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là AB = 40 cm và chiều sâu h = 30 cm (h bằng khoảng cách  từ O đến AB). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm S. Viết phương trình chính tắc của parabol đó.

Bài 13 :

Cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \({y^2} = 4x\). Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Bài 14 :

Viết phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\), biết rằng \(\left( P \right)\) có đường chuẩn là đường thẳng \(\Delta :x + 4 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm của \(\left( P \right)\) bằng 5.

Bài 15 :

Cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \({y^2} = 16x\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của \(\left( P \right)\) và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng \(\Delta \) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi.

Bài 16 :

Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(E\left( {2;2} \right)\) là:

A. \({x^2} = 2y\)  

B. \({x^2} = 4y\)

C. \({x^2} = y\)    

D. \(y = 2{x^2}\)

Bài 17 :

Lập phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right)\), biết rằng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\). Khi đó hãy tìm điểm M thuộc \(\left( P \right)\) và cách tiêu điểm của \(\left( P \right)\) một khoảng bằng 5.

Bài 18 :

Phương trình chính tắc của parabol có tiêu điểm \(\left( {2;0} \right)\) là:

A. \({y^2} = 8x\)  

B. \({y^2} = 4x\)  

C. \({y^2} = 2x\)  

D. \(y = 2{x^2}\)

Bài 19 :

Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn của các parabol sau:

a) \({y^2} = 4x\).

b) \({y^2} = 2x\).

c) \({y^2} =  - 6x\).

Bài 20 :

Viết phương trình chính tắc của parabol thỏa mãn các điều kiện:

a) Tiêu điểm \(\left( {8;0} \right)\).

b) Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn bằng 4.

Bài 21 :

Gương phản chiếu của một đèn pha có mặt cắt là một parabol (P) với tim bóng đèn đặt ở tiêu điểm F. Chiều rộng giữa hai mép gương là 50 cm, chiều sâu của gương là 40 cm. Viết phương trình chính tắc của (P).

Bài 22 :

Parabol trong hệ trục tọa độ Oxy nào dưới đây có phương trình chính tắc dạng:

\({y^2} = 2px\) (p > 0)?

Bài 23 :

Viết phương trình chính tắc của parabol (P), biết:

a) Phương trình đường chuẩn của (P) là \(x + \frac{1}{8} = 0\).

b) (P) đi qua điểm M(1 ; -8).

Bài 24 :

Cho parabol (P) có phương trình chính tắc: y² = 2px (p > 0) và đường thẳng x = m (m > 0) cắt (P) tại hai điểm I, K phân biệt. Chứng minh hai điểm I và K đối xứng nhau qua trục Ox.

Bài 25 :

Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường parabol?

A. \({y^2} = \frac{x}{{10}}\)            

B. \({y^2} = \frac{{ - x}}{{10}}\)                       

C. \({x^2} = \frac{y}{{10}}\)             

D. \({x^2} = \frac{{ - y}}{{10}}\)

Bài 26 :

Trong mặt phẳng Oxy, tiêu điểm của parabol $y^{2} = \sqrt{3}x$ là

Bài 27 :

Tiêu điểm của parabol $y^{2} = \sqrt{3}x$ là