Cho hàm số $y = 2{x^3} + m{x^2} - 12x - 13$ với $m$ là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn khoảng cách từ chúng đến trục tung bằng nhau.

Ta có $y' = 6{x^2} + 2mx - 12.$

Do $\Delta ' = {m^2} + 72 > 0,{\rm{ }}\forall m \in \mathbb{R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ với ${x_1},{\rm{ }}{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0$.

Theo định lí Viet, ta có ${x_1} + {x_2} =  - \dfrac{m}{3}.$

Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left| {{x_1}} \right| = \left| {{x_2}} \right| \Leftrightarrow {x_1} =  - {x_2}$ (do ${x_1} \ne {x_2}$)

$\Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow  - \dfrac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0.$