Hàm số $f\left( x \right) = \left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m} \right|$ (với $m$ là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

Hàm số $f\left( x \right) = \left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m} \right|$ có TXĐ $D = \mathbb{R}$.

Xét hàm số $g\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m$ ta có:

$g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1 - x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$.

$\Rightarrow$ Hàm số $y = g\left( x \right)$ có 2 điểm cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - m\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 0 \Leftrightarrow  - m{x^2} + x - m = 0$, phương trình có $\Delta  = 1 - 4{m^2}$ chưa xác định dấu nên có tối đa 2 nghiệm.

Vậy hàm số $f\left( x \right) = \left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m} \right|$ có tối đa $2 + 2 = 4$ cực trị.