Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,$ phân giác $BD$ ( $D \in AC$), từ $D$ kẻ $DE \bot BC\,(E \in BC)$.

Xét hai tam giác vuông ABD và EBD có:

BD chung; $\widehat {ABD} = \widehat {EBD}$ (gt)

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta EBD \,(ch - gn)$

$\Rightarrow BA = BE;DA = DE$ (hai cạnh tương ứng)

Suy ra: $\Delta ABE$ cân tại $B$ và $\Delta ADE$ cân tại D.

Do tam giác $DEC$ vuông tại $E$ nên $DC > DE;$ mà $DE = AD$ (theo câu trước)

Suy ra $DC > AD.$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông BDE có:

$B{D^2} = B{E^2} + D{E^2}$

$B{D^2} = BE{}^2 + A{D^2}$ (do $AD = DE$ (theo câu trước))

suy ra $BD = \sqrt {B{E^2} + A{D^2}}  = \sqrt {{{12}^2} + {5^2}}  = \sqrt {169}  = 13(cm)$.