Xét hai mệnh đề:

(I) $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f(x)$ liên tục tại $x_0$.

(II) $f(x)$ liên tục tại $x_0$ thì $f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$.

Mệnh đề nào đúng?

(I) hiển nhiên đúng.

(II) sai.

Ví dụ: Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left| x \right|\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}  = \left| {{x_0}} \right| = f\left( {{x_0}} \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại trên $R.$ Tuy nhiên hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

$\begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}\\\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{x}{x} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{ - x}}{x} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\left| x \right|}}{x}.\end{array}$

Không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 0$.