Nội dung từ Loigiaihay.Com
Đề bài
Cho tứ diện $ABCD$ có trọng tâm $G$. Chọn khẳng định đúng?
-
A.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 3\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
-
B.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
-
C.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 6\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
-
D.
$A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 2\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức cộng véc tơ : xen điểm \(G\) vào các véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {CD} \) với chú ý :
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) và \({\overrightarrow {AB} ^2} = A{B^2}\).
Lời giải của GV HocTot.XYZ
$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GD} } \right)^2}\end{array}$
$= 3A{G^2} + 3B{G^2} + 3C{G^2} + 3D{G^2} + 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 1 \right)$
Lại có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {G{\rm{D}}} } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{{\rm{D}}^2} = 2 {\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GC} + 2\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {GD} + 2\overrightarrow {CG} .\overrightarrow {GD} } \left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra $A{B^2} + A{C^2} + A{D^2} + B{C^2} + B{D^2} + C{D^2} = 4\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + G{D^2}} \right)$
Đáp án : B
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng?
Xem lời giải >>
Bài 2 :
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Xem lời giải >>
Bài 3 :
Cho tứ diện đều \(ABCD.\) Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng:
Xem lời giải >>
Bài 4 :
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?
Xem lời giải >>
Bài 5 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = AC = AD\) và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ \). Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \)?
Xem lời giải >>
Bài 6 :
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB\) và \(CA = CB\). Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau \(SC\) và \(AB.\)
Xem lời giải >>
Bài 7 :
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Xem lời giải >>
Bài 8 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a,IJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (\(I\), \(J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\)). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là
Xem lời giải >>
Bài 9 :
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Giả sử tam giác \(AB'C\) và \(A'DC'\) đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(A'D\) là góc nào sau đây?
Xem lời giải >>
Bài 10 :
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {DH} \)?
Xem lời giải >>
Bài 11 :
Trong không gian cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABC'D'$ có chung cạnh $AB$ và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm $O$ và $O'$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và $\overrightarrow {OO'} $?
Xem lời giải >>
Bài 12 :
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}\). Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {IJ} \) và \(\overrightarrow {CD} \)?
Xem lời giải >>
Bài 13 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AC = \dfrac{3}{2}AD\), \(\widehat {CAB} = \widehat {DAB} = 60^\circ \), \(CD = AD\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AB\) và \(CD\). Chọn khẳng định đúng?
Xem lời giải >>
Bài 14 :
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$ và các cạnh bên đều bằng $a$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $SD$. Số đo của góc $\left( {MN,SC} \right)$ bằng:
Xem lời giải >>
Bài 15 :
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Chọn khẳng định sai?
Xem lời giải >>
Bài 16 :
Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\), góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng $120^\circ $. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
Xem lời giải >>
Bài 17 :
Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ \(\overrightarrow {AF} \) và \(\overrightarrow {EG} \)?
Xem lời giải >>
Bài 18 :
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?
Xem lời giải >>
Bài 19 :
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $CD$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với $AB$ và $CD$ lần lượt cắt $BC,{\rm{ }}DB,{\rm{ }}AD,{\rm{ }}AC$ tại $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$. Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?
Xem lời giải >>
Bài 20 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB\) vuông góc với \(CD\), \(AB = CD = 6\). \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MC = x.BC{\rm{ }}\left( {0 < x < 1} \right)\). Mặt phẳng\(\left( P \right)\) song song với \(AB\) và \(CD\) lần lượt cắt \(BC,DB,AD,AC\) tại \(M,N,P,Q\). Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?
Xem lời giải >>