Phương pháp giải:

- Đặt phép chia.

- Để phép chia hết thì số dư cuối cùng phải bằng 0, từ đó ta tìm ra a và b

Lời giải chi tiết:

Để ${x^4} + ax + b$ chia hết cho ${x^2} – 4$ thì $ax + b + 16 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ax = 0 \hfill \cr  b + 16 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{a = 0 \hfill \cr b =  - 16 \hfill \cr}  \right.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Đặt phép chia.

- Để phép chia có dư thì số dư cuối cùng phải bằng giá trị dư của biểu thức, từ đó ta tìm ra .

Lời giải chi tiết:

Để $6{x^3} - 7{x^2} - x + a$ chia 2x + 1 dư 2  thì  $a - 2 = 2 \Leftrightarrow a = 4$

Phương pháp giải:

- Phân tích biểu thức A thành tích các đa thức (sử dụng hằng đẳng thức).

- Nếu A là tích các đa thức giống đa thức B thì A chia hết cho B.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{& A = {x^3} + 12x + 6{x^2} + 8 = {x^3} + 3.2.{x^2} + {3.2^2}.x + {2^3} = {\left( {x + 2} \right)^3}  \cr & B = {\left( {x + 2} \right)^2} \cr}$

Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B.

Phương pháp giải:

- Đặt phép chia.

- Để phép chia có dư theo điều kiện đề bài thì số dư cuối cùng phải bằng số dư đề bài cho. Từ đó ta được phương trình thứ nhất.

- Thực hiện tương tự, được phương trình thứ hai. Lập hệ phương trình, giải hệ thu được giá trị của a và b.

Lời giải chi tiết:

Để ${x^3} + ax + b$ chia cho x + 1 dư 7 thì  $b - a - 1 = 7 \Leftrightarrow  - a + b = 8\;(1)$

Để ${x^3} + ax + b$ chia cho x - 3 dư - 5 thì  $b + 3a + 27 = -5 \Leftrightarrow 3a + b =  - 32\;(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ  $\left\{ \matrix{- a + b = 8 \hfill \cr 3a + b =  - 32 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{a =  - 10 \hfill \cr  b =  - 2 \hfill \cr}  \right.$

Phương pháp giải:

Đa thức bị chia = Đa thức chia x Đa thức thương + Đa thức dư.

Lời giải chi tiết:

Đa thức bị chia A là:

$\begin{array}{l}\left( {2{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) + 2x + 1\\ = 2{x^4} + 4{x^2} + {x^3} + 2x + {x^2} + 2 + 2x + 1\\ = 2{x^4} + {x^3} + 5{x^2} + 4x + 3\end{array}$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đa thức bị chia = Đa thức chia x Đa thức thương + Đa thức dư.

Lời giải chi tiết:

Đa thức bị chia A là:

$\begin{array}{l}\left( {{x^2} + 2x + 5} \right)\left( {{x^2} + 2} \right) + 2x - 1\\ = {x^4} + 2{x^2} + 2{x^3} + 4x + 5{x^2} + 10 + 2x - 1\\ = {x^4} + 2{x^3} + 7{x^2} + 6x + 9\end{array}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Phép chia hết có dư bằng 0. Từ đó, ta giải tìm $a.$ 

Lời giải chi tiết:

Để $3{x^3} + 10{x^2} - 2x + a$ chia hết cho $3x - 2$ thì $a + 4 = 0 \Leftrightarrow a =  - 4$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Phép chia hết có dư bằng 0. Từ đó, ta giải ra $a.$

Lời giải chi tiết:

Để ${x^3} + 5{x^2} + 5x + a$ chia hết cho ${x^2} + 3x - 1$ thì $a + 2 = 0 \Leftrightarrow a =  - 2$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Phép chia hết có số dư bằng 0. Từ đó, ta giải phương trình để tìm $a$

Lời giải chi tiết:

Để $2{x^3} + 6{x^2} - 3x + a$ chia hết cho $x - 2$ thì $a + 34 = 0 \Leftrightarrow a =  - 34$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Lời giải chi tiết:

Hay ${x^3} - {x^2} - x - 2 = \left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)$

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Đặt phép chia.

- Để thỏa mãn điều kiện của đề bài thì số dư cuối cùng phải chia hết cho số chia. Suy ra, số chia là ước của số dư cuối cùng.

- Lập bảng thử chọn để chọn ra giá trị của thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

$2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1 = \left( {2{n^2} - n + 2} \right)\left( {n - 1} \right) + 1$

Để $2{n^3} - 3{n^2} + 3n – 1$ chia hết cho n - 1 thì 1  chia hết cho n - 1.

$\Rightarrow \left( {n - 1} \right) \in \left\{ {1, - 1} \right\}$

vậy  $n = \left\{ {0,2} \right\}$ để  $P \in Z$

Phương pháp giải:

Thực hiện phép chia đa thức một biến đã sắp xếp.

Phép chia hết có dư bằng 0. Từ đó, ta có 1 phương trình.

Phép chia có dư, đồng nhất hệ số với $- 2x + 1$ ta được 2 phương trình.

Giải hệ 3 phương trình 3 ẩn ta được $a,\,\,b,\,\,c.$

Lời giải chi tiết:

Để $a{x^3} + b{x^2} + c$ chia hết cho $x - 1$ thì $a + b + c = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Để $a{x^3} + b{x^2} + c$ chia cho ${x^2} + 2$ dư $- 2x + 1$ thì $- 2ax + 2b + c =  - 2x + 1\,$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a =  - 2\\2b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\2b + c = 1\end{array} \right.\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right);\,\,\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\1 + b + c = 0\\2b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c =  - 1 - b\\2b - 1 - b = 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c =  - 1 - b\\b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c =  - 3\end{array} \right.$

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c =  - 3\end{array} \right.$ hay đa thức bị chia là ${x^3} + 2{x^2} - 3.$

Chọn D.