Phương pháp giải:

Phương pháp: 

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:

Cho hai điểm $A({a_1};{a_2};{a_3})$ và $B({b_1};{b_2};{b_3})$ ta có: $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}}$ 

Lời giải chi tiết:

 $M$ nằm trên trục $Ox$, giả sử $M(m;0;0)$.

Vì $M$ cách đều hai điểm $A$ và $B$ nên ta có $MA = MB$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{(m - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(0 + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(0 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(m - 1)}^2} + 4 + 1} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 1 + 4} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(m - 1)}^2} + 5} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + 5} \\ \Leftrightarrow {(m - 1)^2} = {(m - 2)^2}\\ \Leftrightarrow m - 1 = 2 - m\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\end{array}$

Vậy $M\left( {\dfrac{3}{2};0;0} \right)$

Chọn D

Phương pháp giải:

Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}M \in {d_1}\\M \in {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {{x_1}(t);{y_1}(t);{z_1}(t)} \right)\\M\left( {{x_2}(t');{y_2}(t');{z_2}(t')} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1}(t) = {x_2}(t')\\{y_1}(t) = {y_2}(t')\\{z_1}(t) = {z_2}(t')\end{array} \right.(*)$

Từ hệ (*) ta tìm được t, t’. Từ đó tìm được M. 

Lời giải chi tiết:

Phương trình tham số của d₁ và d₂ là:

$\begin{array}{l}{d_1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{3/2}} = \frac{{z - 6}}{2} \Rightarrow {d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y =  - 2 + \frac{3}{2}t\\z = 6 + 2t\end{array} \right.\\{d_2}:\frac{{x - 5}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{8} \Rightarrow {d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t'\\y =  - 1 + 4t'\\z = 2 + 8t'\end{array} \right.\end{array}$

 Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂. Ta có

$\left\{ \begin{array}{l}M \in {d_1}\\M \in {d_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( { - 3 + t; - 2 + \frac{3}{2}t;6 + 2t} \right)\\M\left( {5 - t'; - 1 + 4t';2 + 8t'} \right)\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 + t = 5 - t'\\ - 2 + \frac{3}{2}t =  - 1 + 4t'\\6 + 2t = 2 + 8t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 8\\\frac{3}{2}t - 4t' = 1\\2t - 8t' =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 6\\t' = 2\end{array} \right.$

Vậy $M(3;7;18)$

Chọn A

Phương pháp giải:

Đường thẳng d đi qua M và nhận $\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$ là 1 VTCP.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua $M\left( 1;2;3 \right)$ và nhận $\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right)$ là 1 VTCP nên có phương trình tham số $d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Gọi $B=d\cap {{d}_{1}}\Rightarrow$ Tham số hóa tọa độ điểm B.

+) $\Rightarrow \overrightarrow{AB}$ là 1 VTCP của đường thẳng d₁.

+) ${{d}_{1}}\bot d\Rightarrow {{\overrightarrow{u}}_{{{d}_{1}}}}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=0\Rightarrow \overrightarrow{AB}.{{\overrightarrow{u}}_{d}}=0$

Lời giải chi tiết:

${{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( 2;-1;1 \right)$

Gọi $B=\left( d \right)\cap \left( {{d}_{1}} \right)\Rightarrow B\left( 2t+4;1-t;t \right)$ suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( 2t+4;-\,t;t-2 \right).$

Vì $\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( d \right)$ suy ra $\overrightarrow{AB}.{{\vec{u}}_{d}}=0$$\Leftrightarrow 2\left( 2t+4 \right)+t+t-2=0\Leftrightarrow t=-\,1.$

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;-\,3 \right).$ Vậy phương trình đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right)$ là $\left( {{d}_{1}} \right):\frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-\,3}.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

$\left( P \right)\bot \left( d \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=k{{\overrightarrow{u}}_{\left( d \right)}}$.

Lời giải chi tiết:

Vì $\left( P \right)\bot \left( d \right)\,\,\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=k\,{{\vec{u}}_{\left( d \right)}}=k\left( 1;-\,1;3 \right)=\left( -\,2;2;-\,6 \right).$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xác định 1 VTCP của d₁ và d₂, kiểm tra d₁, d₂ có không cùng phương.

Lấy $A \in {d_1};B \in {d_2},$ xét tích $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}$ và so sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;3; - 2} \right);\,\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3;2;2} \right)$ lần lượt là 1 VTCP của d₁ và d_2­. Dễ thấy $\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương, do đó lại C và D.

Lấy $A\left( {1; - 1;1} \right) \in {d_1};\,\,B\left( {1; - 2; - 1} \right) \in {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {0; - 1; - 2} \right)$

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {10; - 10; - 5} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = 10.0 - 10.\left( { - 1} \right) - 5\left( { - 2} \right) = 20 \ne 0 \Rightarrow {d_1}$ và d₂ chéo nhau.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Xác định 1 VTCP của d₁ và d₂, kiểm tra d₁, d₂ có không cùng phương.

Lấy điểm A bất kì thuộc d₁, kiểm tra A có thuộc d₂ hay không và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có : $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2; - 2; - 2} \right) = 2\left( {1; - 1; - 1} \right) = 2\overrightarrow {{u_1}}  \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương $\Rightarrow$ loại B và C.

Lấy $A\left( {1;2;3} \right) \in {d_1}$ ta có : $\left\{ \begin{array}{l}1 = 2t'\\2 = - 1 - 2t'\\3 = 5 - 2t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = \frac{1}{2}\\t' = \frac{{ - 3}}{2}\\t' = 1\end{array} \right. \Rightarrow$ Hệ phương trình vô nghiệm $\Rightarrow A \notin {d_2}$.

Vậy d₁ // d­₂.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Để $d//\Delta  \Rightarrow {\overrightarrow u _d}$ và ${\overrightarrow u _\Delta }$ cùng phương với nhau.

Lời giải chi tiết:

${\overrightarrow u _d} = \left( {{m^2}; - n;4} \right)$ và ${\overrightarrow u _\Delta } = \left( {1; - 2;1} \right)$ lần lượt là VTCP của d và $\Delta$.

Để $d//\Delta  \Rightarrow {\overrightarrow u _d}$ và ${\overrightarrow u _\Delta }$ cùng phương với nhau $\Rightarrow {{{m^2}} \over 1} = {{ - n} \over { - 2}} = {4 \over 1} \Rightarrow \left\{ \matrix{  {m^2} = 4 \hfill \cr   n = 8 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left[ \matrix{  m = 2;n = 8 \hfill \cr   m =  - 2;n = 8 \hfill \cr}  \right.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 5}}{3}$có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {1; - 2;3} \right)$.

Chọn D

Phương pháp giải:

$\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  \bot \overrightarrow a \\\overrightarrow n  \bot \overrightarrow b \end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $\overrightarrow u$ là vecto chỉ phương của đường thẳng $\left( d \right)$.

Gọi $\overrightarrow n \left( {1;1;1} \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng $\left( P \right)$, $\overrightarrow {u'} \left( {1;3; - 1} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $\left( {d'} \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}d \subset \left( P \right)\\d \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  \bot \overrightarrow n \\\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {u'} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow n ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 4;2;2} \right)$.

Vì $\left( { - 4;2;2} \right)$ và $\left( { - 2;1;1} \right)$ là 2 vectơ cùng phương nên $\left( { - 2;1;1} \right)$ cũng là 1 VTCP của đường thẳng $d$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua ${M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right),\,\,\left( {a,b,c \ne 0} \right)$ là:

$\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d : $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 2 - t\end{array} \right.$ đi qua điểm $M\left( { - 1;1;2} \right)$và có 1 VTCP $\overrightarrow u  = \left( {1;2; - 1} \right)$, có phương trình chính tắc là:

$\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$.

- Mọi vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow u$ đều là VTCP của đường thẳng $d$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y =  - 2 + 3t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\left( { - 1;3;1} \right)$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {0; - 1;4} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {3; - 1;5} \right)$ có phương trình tham số là$\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y =  - 1 - t\\z = 5 + 4t\end{array} \right..$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ có 1 VTPT là $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$.

- Mọi vectơ cùng phương với $\overrightarrow u$ đều là VTCP của đường thẳng trên.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u  = \left( {2;3; - 4} \right)$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng. Hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ được đó thuộc đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm $\left( {0;6;8} \right)$ vào phương trình đường thẳng ta có: $\left\{ \begin{array}{l}0 = 1 + t\\6 = 2 - 4t\\8 = 3 - 5t\end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - 1$. Vậy điểm $\left( {0;6;8} \right)$ thuộc đường thẳng d.

Chọn D.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là: $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua $A\left( {1;2;3} \right)$ và có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1; - 2} \right)$ có dạng: $\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 2}}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

- Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng: $d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {{n_P}}$.

- Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là: $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi đường thẳng d là đường thẳng đi qua $M\left( {0;1;0} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z = 0$

Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng d chính là vecto pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z = 0$

Nên $\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)$

Đường thẳng d đi qua $M\left( {0;1;0} \right)$ và có vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1; - 2;1} \right)$ có phương trình là $\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{z}{1}$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Thử tọa độ các điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.$ đi qua điểm $N\left( { - 3; - 4;5} \right)$ khi $t =  - 2$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d. Giải hệ phương trình tìm t và m.

Lời giải chi tiết:

Điểm $M\left( {1;2;m} \right)$ thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = 1\\2 - t = 2\\ - 2 + 2t = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 0\\m =  - 2\end{array} \right.$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng đi qua M, N nhận $\overrightarrow {MN}$ là 1 VTCP.

- Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là: $\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua $M\left( {2; - 1;4} \right);N\left( {1; - 3;2} \right)$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)$

Nên phương trình đường thẳng d  là $\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + bt\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua $A\left( {2; - 1;1} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;3} \right)$ có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y =  - 1 - 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Từ phương trình tham số, rút ẩn t để suy ra phương trình chính tắc.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 3t\\z = 2 + t\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}}\\t = \dfrac{y}{3}\\t = \dfrac{{z - 2}}{1}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{1}$  là phương trình tham số của đường thẳng d.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ đi qua $M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right).$

Ta có: $\overrightarrow u  = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$ là 1 VTCP của đường thẳng $\Delta$ thì vecto $k\overrightarrow u$ cũng là 1 VTCP của $\Delta .$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 2t\\z = 1 - 3t\end{array} \right.$ có VTCP là: $\overrightarrow u  = \left( {0;\,\,2; - 3} \right).$  

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ đi qua $M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right).$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d:\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + t\\y = 1 - 2t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.$  đi qua điểm $M\left( { - 3;\,\,1;\,\,2} \right).$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có 1 VTCP $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$ có phương trình $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$.

Lời giải chi tiết:

Trong không gian tọa độ $Oxyz,$ đường thẳng đi qua điểm $A\left( {3; - 2;4} \right)$và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;6} \right)$ có phương trình là: $\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 4}}{6}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm thỏa mãn phương trình đường thẳng bằng cách thay trực tiếp tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\dfrac{{ - 3 + 3}}{1} = \dfrac{{2 - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{1 - 1}}{2} = 0$ nên $M\left( { - 3;2;1} \right) \in d$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình đường thẳng, nếu có hệ thức đúng thì đó là điểm cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm M(3;-2;-1) vào phương trình đường thẳng ta được:

$\dfrac{{3 - 3}}{1} = \dfrac{{ - 2 + 2}}{{ - 1}}$$= \dfrac{{ - 1 + 1}}{2} = 0$ nên đường thẳng đã cho đi qua $M\left( {3; - 2; - 1} \right)$

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Đường thẳng $\dfrac{{x - a}}{m} = \dfrac{{y - b}}{n} = \dfrac{{z - c}}{p}$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u \left( {m;n;p} \right)$.

- Mọi vectơ cùng phương với $\overrightarrow u$ đều là 1 VTCP của đường thẳng.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{4}$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1;4} \right)$ nên $- \overrightarrow u  = \left( { - 2;1; - 4} \right)$ cũng là 1 VTCP của đường thẳng $d$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$: Đường thẳng $d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$.

- $d \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}}  = k\overrightarrow {{u_d}} \,\,\left( {k \ne 0} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {1; - 1;3} \right)$.

Vì $d \bot \left( P \right)$ nên mặt phẳng $\left( P \right)$ có 1 VTPT là $\overrightarrow {{n_P}}  =  - 2\overrightarrow {{u_d}}  = \left( { - 2;2; - 6} \right)$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng: ${d_1}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_1}}$ và đi qua điểm ${M_1};$ ${d_2}$ có VTCP $\overrightarrow {{u_2}}$ và đi qua điểm ${M_2}.$

+) ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  \ne 0\end{array} \right..$

+) ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\end{array} \right..$

+) ${d_1}$ và ${d_2}$ song song $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\{M_1} \notin {d_2}\end{array} \right..$

+) ${d_1}$ và ${d_2}$ trùng nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\{M_1} \in {d_2}\end{array} \right..$

+) ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc $\Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\,\,\overrightarrow {{u_2}}  = 0.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left( {{d_1}} \right):\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 4 - 3t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$ có VTCP là: $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; - 3;\,\,2} \right)$ và đi qua ${M_1}\left( {1; - 4;\,\,3} \right)$

$\left( {{d_2}} \right):\,\,\,\dfrac{{x - 5}}{3} = \dfrac{{y + 1}}{2} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 3}}$ có VTCP là: $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {3;\,\,2; - 3} \right)$ và đi qua ${M_2}\left( {5; - 1;\,\,2} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {5;\,\,12;\,\,13} \right) \ne \overrightarrow 0$ $\Rightarrow$ ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ta có: $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {4;\,\,3;\, - 1} \right)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 4.5 + 3.12 - 13 = 43 \ne 0$

$\Rightarrow {d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng $d \bot \left( P \right)$ $\Rightarrow d$ nhận CTVPT của $\left( P \right)$ làm VTCP.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right)$ là: $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}.$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left( P \right):\,\,2x - 3y + 4z - 2 = 0$ có VTPT là: $\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 3;\,\,4} \right).$

Đường thẳng $d \bot \left( P \right)$ $\Rightarrow d$ nhận CTVPT của $\left( P \right)$ làm VTCP $\Rightarrow \overrightarrow {{u_d}}  = \left( {2; - 3;\,\,4} \right)$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $d$  qua $M\left( { - 3;\,\,5;\,\,6} \right)$ và vuông góc với $\left( P \right)$  là:

$\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{{y - 5}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 6}}{4}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào phương trình đường thẳng $d$.

Lời giải chi tiết:

Thay tọa độ điểm $P\left( {3;1;1} \right)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta có: $\dfrac{{3 - 1}}{2} = \dfrac{1}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2} = 1 \Rightarrow P \in d$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Đường thẳng $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$ đi qua $M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right).$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d:\,\,\dfrac{{x + 3}}{2} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 1}}{1}$ có VTCP là: $\left( {2; - 3;\,\,1} \right).$ 

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}$ đi qua $M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right).$ 

$\Rightarrow \overrightarrow {u'}  = k\overrightarrow u \,\,\left( {k \ne 0} \right)$ cũng là VTCP của $\Delta .$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{y + 2}}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}$  có VTCP là $\left( { - 2;\,\,3;\, - 1} \right).$

$\Rightarrow \left( { 2;\,\,-3;\,\,1} \right)$ cũng là 1 VTCP của $\Delta .$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right)$ trên trục $Oz$ là điểm $M'\left( {0;\,\,0;\,\,c} \right).$

Lời giải chi tiết:

Hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)$ trên trục $Oz$ là điểm $M'\left( {0;\,\,0;\,\,3} \right).$ 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;\,b;\,c} \right)$ là: $\dfrac{{x - {x_0}}}{a} = \dfrac{{y - {y_0}}}{b} = \dfrac{{z - {z_0}}}{c}.$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M\left( {1;\,\,2; - 3} \right)$ nhận vecto $\overrightarrow u  = \left( { - 1;\,\,2;\,\,1} \right)$ làm vecto chỉ phương có phương trình là:

$\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{1}.$

Chọn C. 

Phương pháp giải:

Đường thẳng $d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ có 1 VTCP là $\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 2 + t\\z = 3t\end{array} \right.$ có 1 vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u  = \left( {2;1;3} \right).$

Chọn A.