Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tách cấu tạo số theo các chữ số trong hệ thập phân để tìm ra mối quan hệ của các chữ số, ta xác định được cụ thể từng chữ số.

Lời giải chi tiết:

Gọi số có hai chữ số cần tìm là $\overline {ab} \left( {0 < a \le 9;0 \le b \le 9} \right)$ .

Khi viết thêm chữ số $0$  vào giữa hai chữ số ta được số mới là $\overline {a0b}$ .

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}\overline {a0b}  = 7.\overline {ab} \\100.a + b = 7.\left( {10.a + b} \right)\\100.a + b = 70.a + 7.b\\100.a - 70.a = 7.b - b\\30.a = 6.b\\5.a = b\end{array}$

Vì $a,b$ là các chữ số và $a \ne 0$ nên  $a = 1;\,b = 5$ .

Vậy số cần tìm là $15.$

Phương pháp giải:

Chia số trang thành các nhóm để dễ dàng tính được số chữ số cần dùng trong mỗi nhóm, từ đó tính được tổng số chữ số cần dùng.

Lời giải chi tiết:

Ta chia các số trang của cuốn sách thành 4 nhóm:

-          Nhóm các số có $1$  chữ số (từ trang $1$  đến trang $9$): số chữ số cần dùng là $9$.

-          Nhóm các số có hai chữ số (từ trang $10$  đến trang $99$): số trang sách là: $\left( {99 - 10} \right):1 + 1 = 90$, số chữ số cần dùng là: $90.2 = 180$ .

-          Nhóm các số có $3$  chữ số (từ trang $100$  đến trang $999$): số trang sách là: $\left( {999 - 100} \right):1 + 1 = 900$ , số chữ số cần dùng để đánh số trang nhóm này là: $900.3 = 2700$.

-          Nhóm các số có $4$  chữ số (từ trang $1000$  đến trang $1031$): số trang sách là: $\left( {1031 - 1000} \right):1 + 1 = 32$; số chữ số cần dùng là $32.4 = 128$ .

Vậy tổng số chữ số cần dùng để đánh số trang cuốn sách đó là: $9 + 180 + 2700 + 128 = 3017$ .

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức về số nguyên tố: số nguyên tố là số chỉ có ước là 1 và chính nó.

- Thực hiện phép toán để tìm ra kết quả cuối cùng, từ kết quả đó có thể áp dụng các dấu hiệu chia hết để chỉ ra ngoài ước là 1 và chính nó thì còn có ước số khác, vậy nên đó không phải là số nguyên tố.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{& a)\,\,a = 5.7.11 + 13.17;\,\,\,a\,....\,\,\,P  \cr & \,\,\,\,\,\,a = 5.7.11 + 13.17  \cr & \,\,\,\,\,\,a = 385 + 221  \cr & \,\,\,\,\,\,a = 606 \cr}$

$a \vdots 3$ vì $(6 + 0 + 6 = 12 \vdots 3)$

Vậy $a\,\,\notin\,\,P$

$\eqalign{ & b,b = 5.7.9 + 15.13;\,\,b\,\,\,\,P  \cr & b = 5.7.9 + 15.13  \cr & b = 5.7.9 + 5.3.13  \cr & b = 5.(7.9 + 3.13)  \cr &  \Rightarrow b\,\, \vdots \,\,5 \cr}$

Vậy $b\,\,\notin\,\,\,P$

$\eqalign{ & c)\,\,c = 456.789 - 123;c\,\,\,\,P  \cr  & c = 456.789 - 123  \cr & 456 \vdots 3(4 + 5 + 6 = 15 \vdots 3)  \cr  &  \Rightarrow 456.789 \vdots 3  \cr  & 123 \vdots (1 + 2 + 3 = 6 \vdots 3)  \cr &  \Rightarrow (456.789 - 123) \vdots 3 \cr}$

Vậy $c\,\,\notin\,\,P$

Phương pháp giải:

Áp dụng kiến thức về bội chung, nếu $a \vdots b;a \vdots c;a \vdots d$ thì $a$ là bội chung của $b,c,d$.

Lời giải chi tiết:

Gọi số học sinh khối 6 là $x\left( {x \in {N^*}} \right)$ (học sinh)

Theo bài ra ta có:

$x \vdots 10,x \vdots 12;x \vdots 15 \Rightarrow x \in BC\left( {10;12;15} \right)$ và $100 \le x \le 150$.

Ta có

$\begin{array}{l}10 = 2.5;12 = {2^2}.3;15 = 3.5\\ \Rightarrow BCNN(10;12;15) = {2^2}.3.5 = 60\\ \Rightarrow BC\left( {10;12;15}\right) = \left\{ {0;60;120;180;...} \right\}\end{array}$

Mà $100 \le x \le 150$ nên $x = 120$.

Vậy số học sinh khổi 6 là $120$ bạn.

Phương pháp giải:

a)  Phân tích các số ra thừa số nguyên tố sau đó chọn ta các thừa số nguyên tố chung.  UCLN bằng tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của số đó.

b) Phân tích các số ra thừa số nguyên tố sau đó chọn ta các thừa số nguyên tố chung và riêng. BCNN bằng tích của tất cả các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất.

c) Gọi $x$  là số học sinh khối $6$ $\left( {200 < x < 300} \right).$  Từ đề bài ta có  $x\,\, \vdots \,\,30\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,40\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,48$  suy ra $x \in BC\,(30;\,\,40;\,\,48)$

Tìm $BCNN\left( {30;\,\,40;\,\,48} \right)$ bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố, sau đó tìm $BC\left( {30;\,\,40;\,\,48} \right)$.

Kết hợp với điều kiện $200 < x < 300$ để tìm $x$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $60 = {2^2}.3.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,70 = 2.5.7\,\,\,;\,\,\,\,\,\,90 = {2.3^2}.5$

Do đó $UCLN(60;\,\,70;\,\,90) = 2.5 = 10$.

b) Ta có: $56 = {2^3}.7\,\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,126 = {2.3^2}.7$

 Do đó $BCNN(56\,;\,\,126) = {2^3}{.3^2}.7 = 504$.

c) Gọi $x$  là số học sinh khối $6$, $x$ là số tự nhiên và $\left( {200 < x < 300} \right).$

Vì nếu chia số học sinh này thành các nhóm có cùng sở thích, mỗi nhóm có $30$ em, $40$ em, $48$ em thì vừa đủ nên ta có  $x\,\, \vdots \,\,30\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,40\,\,;\,\,x\,\, \vdots \,\,48$.

Suy ra $x \in BC\,(30;\,\,40;\,\,48)$ .

Ta có: $30\, = 2.3.5\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,40 = {2^3}.5\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,48 = {2^4}.3$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow BCNN(30\,;\,\,40\,;\,\,48) = {2^4}.3.5 = 240\\ \Rightarrow BC{\rm{ }}(30\,;\,\,40\,;\,\,48) = B\left( {240} \right) = \left\{ {0;{\rm{ 24}}0;{\rm{ 48}}0;{\rm{ 72}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}\end{array}$.

Do đó: $x \in \left\{ {0;{\rm{ 24}}0;{\rm{ 48}}0;{\rm{ 72}}0;{\rm{ }} \ldots } \right\}$

Lại có $200 < x < 300$ nên $x = 240$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy khối $6$ có $240$ học sinh.

Chọn D.

Phương pháp giải:

a) A là tập các số nguyên lớn hơn $- 3$ và nhỏ hơn 2

b) Sử dụng lý thuyết số đối

c) Áp dụng dấu hiệu chia hết cho 5 để tìm y từ đó sử dụng dấu hiệu chia hết cho 9 để tìm x

Lời giải chi tiết:

a) Cho tập hợp: $A = \left\{ {x \in Z/ - 3 \le x < 2} \right\}$. Viết tập hợp A bằng cách liệt kê các phần tử.

$A = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}$

b) Tìm số đối của $- 7$ và của 15.

Số đối của $- 7$ là 7

Số đối của 15 là $- 15$

c) Thay x, y bằng các chữ số thích hợp để $\overline {21x7y}$ chia hết cho cả 5 và 9.

$\overline {21x7y}$ chia hết cho 5 $\Rightarrow y \in \left\{ {0;5} \right\}$

TH1: $y = 0$

$\overline {21x70}$ chia hết cho 9 $\Rightarrow \left( {2 + 1 + x + 7 + 0} \right) \vdots 9 \Rightarrow \left( {10 + x} \right) \vdots 9 \Rightarrow x = 8$

TH2: $y = 5$

$\overline {21x75}$ chia hết cho 9 $\Rightarrow \left( {2 + 1 + x + 7 + 9} \right) \vdots 9 \Rightarrow \left( {19 + x} \right) \vdots 9 \Rightarrow x = 8$

Vậy với $x = 8$ và $y \in \left\{ {0;5} \right\}$ thì $\overline {21x7y}$ chia hết cho cả 5 và 9.

Chọn đáp án D

Phương pháp giải:

Rút a và c từ hai phương trình đầu theo b thay vào phương trình cuối để tính b từ đó tính a và c

Lời giải chi tiết:

Tìm 3 số nguyên a, b, c thỏa mãn: $a + b =  - 4\,\,;\,\,b + c =  - 6\,\,;\,\,a + c = 12$

Ta có:  $a + b =  - 4 \Rightarrow a =  - 4 - b$

           $b + c =  - 6 \Rightarrow c =  - 6 - b$

           $a + c = 12 \Rightarrow \left( { - 4 - b} \right) + \left( { - 6 - b} \right) = 12 \Leftrightarrow  - 10 - 2b = 12 \Leftrightarrow 2b =  - 22 \Leftrightarrow b =  - 11$

$\Rightarrow a =  - 4 - b =  - 4 - \left( { - 11} \right) =  - 4 + 11 = 7$

    $c =  - 6 - b =  - 6 - \left( { - 11} \right) =  - 6 + 11 = 5$

Vậy $a = 7;\,\,\,\,\,b =  - 11;\,\,\,\,\,\,c = 5$

Chọn đáp án C

Phương pháp giải:

Đối với dãy lũy thừa cùng cơ số như ở câu này, ta nhân hai vế với cơ số rồi xét hiệu.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: $1 = {5^0},\,\,\,5 = {5^1},\,\,\,......,\,\,{5^{2019}} = {5^{2019}}.$

$\Rightarrow B$  là tổng của dãy lũy thừa cùng cơ số $5,$ số mũ tăng dần từ $0$  đến $2019.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,B = 1 + 5 + {5^2} + ..... + {5^{2019}}\\ \Rightarrow 5B = 5 + {5^2} + {5^3} + ...... + {5^{2019}} + {5^{2020}}\\ \Rightarrow 5B - B = {5^{2020}} - 1\\ \Rightarrow 4B = {5^{2020}} - 1\\ \Rightarrow B = \frac{{{5^{2020}} - 1}}{4}.\end{array}$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng dãy số cách đều $S = \frac{{(SHC + SHD) \times SSH}}{2}$ (SHC: số hạng cuối, SHD: số hạng đầu, SSH: số số hạng)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,100 + 98 - 97 + 96 - 95 + ........ + 2 - 1\\ = 100 + 98 + 96 + ... + 2 - 97 - 95 - ... - 1\\ = \left( {100 + 98 + 96 + ... + 2} \right) - \left( {97 + 95 + ... + 1} \right)\end{array}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}A = 100 + 98 + 96 + .... + 2\\B = 97 + 95 + ....... + 1\end{array} \right..$ 

+) Tính $A = 100 + 98 + 96 + .... + 2$

Ta có $A$ có số số hạng là: $\frac{{100 - 2}}{2} + 1 = 50$ số hạng.

$\Rightarrow A = 100 + 98 + 96 + ...... + 2 = \frac{{\left( {100 + 2} \right).50}}{2} = 2550.$

+) Tính $B = 97 + 95 + ..... + 1$

$B$ có số số hạng là: $\frac{{97 - 1}}{2} + 1 = 49$ số hạng.

$\Rightarrow B = 97 + 95 + .... + 1 = \frac{{\left( {97 + 1} \right).49}}{2} = 2401.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {100 + 98 + 96 + ... + 2} \right) - \left( {97 + 95 + ... + 1} \right)\\ = A - B = 2550 - 2401 = 149.\end{array}$

Vậy $\,100 + 98 - 97 + 96 - 95 + ........ + 2 - 1 = 149.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích $3$  số tự nhiên liên tiếp, để tính tổng trên ta nhân $2$  vế của $D$  với $3 + 1 = 4,$  sau đó viết $4 = 5 - 1 = 6 - 2 = ....$  để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $D = 1.2.3 + 2.3.4 + ....... + 98.99.100$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 4D = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + ... + 98.99.100.4\\ = 1.2.3.4 + 2.3.4.\left( {5 - 1} \right) + 3.4.5.\left( {6 - 2} \right) + ... + 98.99.100.\left( {101 - 97} \right)\\ = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + ... + 98.99.100.101 - 97.98.99.100\\ = 98.99.100.101\\ \Rightarrow D = \frac{{98.99.100.101}}{4} = 24479550.\end{array}$ 

Chọn A.

Phương pháp giải:

Trước tiên ta tính tổng $C$  rồi kiểm tra xem $C$  có chia hết cho $100$  hay không.

Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của $2$ số tự nhiên liên tiếp, để tính tổng trên ta nhân cả $2$  vế với  $2 + 1 = 3$ sau đó viết $3 = 4 - 1 = 5 - 2 = ....$  để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $C = 1.2 + 2.3 + .... + 3.4 + ..... + 98.99$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 98.99.3\\ = 1.2.3 + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + 3.4.\left( {5 - 2} \right) + ... + 98.99.\left( {100 - 97} \right)\\ = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + 98.99.100 - 97.98.99\\ = 98.99.100\\ \Rightarrow C = \frac{{98.99.100}}{3} = 98.33.100.\end{array}$

Vì  $98.33.100\,\,\, \vdots \,\,100 \Rightarrow C\,\,\, \vdots \,\,\,100.$ (đpcm)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tách.

Tách $1 = 2 - 1;\,\,\,2 = 3 - 1;\,\,\,3 = 4 - 1;\,\,........;\,\,\,99 = 100 - 1.$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}A = {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {99^2}\\\,\,\,\,\, = 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 99.99\\\,\,\,\,\, = 1.\left( {2 - 1} \right) + 2.\left( {3 - 1} \right) + 3.\left( {4 - 1} \right) + ... + 99.\left( {100 - 1} \right)\\\,\,\,\,\, = 1.2 - 1 + 2.3 - 2 + 3.4 - 3 + ... + 99.100 - 99\\\,\,\,\,\, = \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100} \right) - \left( {1 + 2 + 3 + ... + 99} \right)\end{array}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 99.100\\N = 1 + 2 + 3 + ..... + 99\end{array} \right..$

+)  Tính $M = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + 99.100$

Ta có:

$\begin{array}{l}3M = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 99.100.3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1.2.3 + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + 3.4.\left( {5 - 2} \right) + ... + 99.100.\left( {101 - 98} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + 99.100.101 - 98.99.100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 99.100.101\\ \Rightarrow M = \frac{{99.100.101}}{3} = 333300.\end{array}$

+) Tính $N = 1 + 2 + 3 + .... + 99$

$N$ có số số hạng là: $\frac{{99 - 1}}{1} + 1 = 99$ số hạng.

$\begin{array}{l} \Rightarrow N = \frac{{\left( {99 + 1} \right).99}}{2} = 4950.\\ \Rightarrow A = M - N = 333300 - 4950 = 328350.\end{array}$

Vậy $A = 328350.$ 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Ta nhân $2$ vế của $E$  với ${2^3}$  rồi cộng vế với vế.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $E = 1 - {2^3} + {2^6} - {2^9} + ..... + {2^{96}} - {2^{99}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {2^3}.E = {2^3} - {2^6} + {2^9} - {2^{12}} + ... + {2^{99}} - {2^{102}}\\ \Rightarrow {2^3}.E + E = \left( {{2^3} - {2^6} + {2^9} - {2^{12}} + ... + {2^{99}} - {2^{102}}} \right) + \left( {1 - {2^3} + {2^6} - {2^9} + ... + {2^{96}} - {2^{99}}} \right)\\ \Rightarrow 9E = 1 - {2^{102}}\\ \Rightarrow 1 - 9E = {2^x}\\ \Rightarrow 1 - \left( {1 - {2^{102}}} \right) = {2^x}\\ \Rightarrow 1 - 2 + {2^{102}} = {2^x}\\ \Rightarrow {2^x} = {2^{102}}\\ \Rightarrow x = 102.\end{array}$

Vậy $x = 102.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

1) - Áp dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.

2) Áp dụng dấu hiệu chia hết cho $9$: Các số có tổng các chữ số chia hết cho $9$ thì chia hết cho $9$.

Lời giải chi tiết:

1) Tìm $x \in \mathbb{N}$ biết:

$\begin{array}{l}a)\,\,\,5 - 3x =  - 16\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3x = 5 - \left( { - 16} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3x = 21\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 21:3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 7\end{array}$

Vậy $x = 7.$

$\begin{array}{l}b)\,\,\,\,2.\left( {32 - x} \right) - 4 = 78\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.\left( {32 - x} \right) = 78 + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,2.\left( {32 - x} \right) = 82\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,32 - x = 82:2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,32 - x = 41\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 32 - 41\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x =  - 9\,\,\, \notin \mathbb{N}\end{array}$

Vậy không có giá trị của $x \in \mathbb{N}$ thỏa mãn bài toán.

2)  Ta có: ${10^{13}} - 1 = \underbrace {100...00}_{13\,chu\,so\,0} - 1 = \underbrace {99...99}_{12\,chu\,so\,9}$

Số $\underbrace {99...99}_{12\,chu\,so\,9}$ gồm toàn các chữ số $9$ nên chia hết cho $9$.

Vậy ${10^{13}} - 1$ chia hết cho $9$.

Phương pháp giải:

a) Gọi $a,b$ lần lượt là tháng sinh và ngày sinh của học sinh $\left( {a = \overline {1;12} ;\,\,b = \overline {1;31} ;\,\,\,a,b \in {\mathbb{N}^*}} \right)$

Lập biểu thức mối quan hệ $a,b$.

Sử dụng tính chất chia hết của một tổng để suy ra kết luận.

b) Lần lượt thay $a \in \left\{ {2;4;6;8;10;12} \right\}$ vào biểu thức $a.31 + b.12$ và kiểm tra.

Lời giải chi tiết:

a) Tháng sinh của bạn đó có là số tự nhiên chẵn không? Giải thích.

Gọi $a,b$ lần lượt là tháng sinh và ngày sinh của học sinh $\left( {a = \overline {1;12} ;\,\,b = \overline {1;31} ;\,\,\,a,b \in {N^*}} \right)$

Theo bài ra ta có :

$\begin{array}{l}a.31 + b.12 = 284\\ \Rightarrow a.31 = 284 - b.12\end{array}$

Vì $284$ chẵn, $b.12$ chẵn nên $a.31$ chẵn. Suy ra $a$ là số tự nhiên chẵn.

Vậy tháng sinh của bạn đó có là số tự nhiên chẵn.

b) Hãy tìm ngày sinh và tháng sinh của bạn học sinh đó.

+) Với $a = 2$ thì

$\begin{array}{l}2.31 + b.12 = 284\\62 + b.12\,\,\,\,\,\, = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12\,\,\,\,\,\, = 284 - 62\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12\,\,\,\,\, = 222\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 222:12\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

+) Với $a = 4$ thì:

$\begin{array}{l}4.31 + b.12 = 284\\124 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 124\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 160\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\, = 160:12\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

+) Với $a = 6$ thì:

$\begin{array}{l}6.31 + b.12 = 284\\186 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 186\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 98\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\,\, = 98:12\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

+) Với $a = 8$ thì:

$\begin{array}{l}8.31 + b.12 = 284\\248 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 248\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 36\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 36:12\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Do đó $a = 8,b = 3$.

+) Với $a = 10$ thì:

$\begin{array}{l}10.31 + b.12 = 284\\310 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 310\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

+) Với $a = 12$ thì:

$\begin{array}{l}12.31 + b.12 = 284\\372 + b.12 = 284\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,b.12 = 284 - 372\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}$

Vậy bạn học sinh đó sinh ngày $3$ tháng $8$.

Phương pháp giải:

Ta phân tích được $3 = 4.2 - 5.1$.

Như vậy muốn có 3 lít nước ta có thể lấy 2 bình 4 lít bớt đi 1 bình 5 lít.

Lời giải chi tiết:

Phân tích: $3 = 4.2 - 5.1$.

Muốn có 3 lít nước ta có thể lấy 2 bình 4 lít bớt đi 1 bình 5 lít.

Cụ thể, đầu tiên ta đong đầy bình 4 lít. Đổ hết nước từ bình 4 lít ra bình 5 lít.

Đong đầy bình 4 lít (lần thứ 2). Sau đó đổ nước từ bình 4 lít sang bình 5 lít.

Như vậy bình 4 lít còn lại đúng 3 lít nước.

Phương pháp giải:

Nhân thêm vào hai vế của biểu thức $P$ với ${5^3}$ để được biểu thức mới, sau đó lấy biểu thức mới trừ đi biểu thức ban đầu, biến đổi để được biểu thức rút gọn của $P$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}P = 1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}\\{5^3}.P = {5^3}.\left( {1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}} \right) = {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}} + {5^{102}}\\125.P = {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}} + {5^{102}}\\ \Rightarrow 125.P - P = \left( {{5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}} + {5^{102}}} \right) - \left( {1 + {5^3} + {5^6} + {5^9} + ... + {5^{99}}} \right)\\124.P = {5^{102}} - 1\\P = \frac{{{5^{102}} - 1}}{{124}}\end{array}.$

Phương pháp giải:

Chia nhóm các số từ $1$ đến $99999$ thành các cặp có tổng bằng $99999$, tổng này có tổng các chữ số là $45$ và có $49999$ cặp như thế. Từ đó tính được tổng các chữ số của số cần tính.

Lời giải chi tiết:

Tổng các chữ số của số 123…..99999 là:

$S = 1 + 2 + 3 + 4 + ............... + \left( {9 + 9 + 9 + 9 + 8} \right) + \left( {9 + 9 + 9 + 9 + 9} \right)$

Từ 1 đến 99999 gồm có 99999 số, từ 1 đến 99998 có 99998 số.

Như vậy từ $1$ đến $99998$ ta có thể nhóm được thành $49999$ nhóm, mỗi nhóm gồm 2 số.

Trước hết ta có nhận xét rằng nếu hai số A và B có tổng bằng $99999$ thì tổng các chữ số của A cộng tổng các chữ số của B bằng tổng các chữ số của 99999, tức là bằng $9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 45$ .

Sử dụng kết quả này ta sẽ nhóm 1 với $99998$ thành cặp, 2 với $99997$ thành cặp, 3 với $99996$ thành cặp và tiếp tục như vậy ta sẽ nhận được tổng cộng $49999$ cặp tất cả. Mỗi cặp như vậy có tổng các chữ số là $45$.

Tức là: $S = \underbrace {\left( {1 + 9 + 9 + 9 + 9 + 8} \right) + \left( {2 + 9 + 9 + 9 + 9 + 7} \right) + .................}_{49999\,\,\,n\hom } + \left( {9 + 9 + 9 + 9 + 9} \right) = 49999.45 + 45 = 2250000.$

Vậy tổng các chữ số của số 123…99999 là: $(49999 + 1).45 = 2250000$.

Phương pháp giải:

- Áp dụng kiến thức về dấu hiệu chia hết cho 3 và cho 5.

- Áp dụng kiến thức nếu X là số chính phương thì X có tận cùng là {1; 4; 5; 6; 9}.

Lời giải chi tiết:

Gọi số cây ban đầu lớp An cần trồng là $X = \overline {abc}$, ta biết rằng số cây lớp An có chữ số hàng trăm là 2, vậy a = 2 suy ra số cây là  $X = \overline {2bc}$

Theo bài ra ta có: số cây là số chia hết cho 5.$\Rightarrow c = {\rm{\{ 0;}}\,\,{\rm{5\} }}$ Nhưng X là số chính phương  nên  c = 5

Vậy $X = \overline {2b5}$ ta lại có

$\eqalign{& X \vdots 3 \Rightarrow (2 + b + 5) \vdots 3 \Rightarrow (7 + b) \vdots 3  \cr &  \Rightarrow b = {\rm{\{ 2;}}\,\,{\rm{5;}}\,\,{\rm{8\} }} \cr}$

*Với $b = 2 \Rightarrow X = 225$, thỏa mãn vì ${\rm{225 = 1}}{{\rm{5}}^2}$

*Với $b = 5 \Rightarrow X = 225$, vì 255 không là số chính phương.

*Với $b = 8 \Rightarrow X = 285$, vì 285 không là số chính phương.

Vậy X = 225  hay số cây lớp An cần trồng đó là 225 (cây).

Phương pháp giải:

Dựa vào kiến thức 2 số nguyên tố cùng nhau là 2 số nguyên tố có ước chung lớn nhất là 1.

Từ đó đi chứng minh $UCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right) = 1$

Áp dụng tính chất chia hết của 1 hiệu: Nếu $a \vdots c;b \vdots c \Rightarrow \left( {a - b} \right) \vdots c$

Lời giải chi tiết:

Gọi $d = UCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}14n + 3 \vdots d\\21n + 4 \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}3\left( {14n + 3} \right) \vdots d\\2\left( {21n + 4} \right) \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l}42n + 9 \vdots d\\42n + 8 \vdots d\end{array} \right\}\\\left( {42n + 9} \right) - \left( {42n + 8} \right) \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d \Rightarrow d = 1\end{array}$

Vậy $UCLN\left( {14n + 3;21n + 4} \right) = 1$ hay hai số đó là hai số nguyên tố.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các tính chất chia hết để làm bài toán.

+) Sử dụng các quy tắc tính tổng và nhân thêm để có thể tính được biểu thức của bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Theo đề bài ta có:

a chia cho 5 dư 4 nên $\left( {a - 4} \right)\; \vdots \;5 \Rightarrow 4\left( {a - 4} \right)\; \vdots \;5 \Leftrightarrow \left( {4a - 16} \right)\; \vdots \;5 \Rightarrow \left( {4a - 1} \right)\; \vdots \;5$

a chia cho 7 dư 2 nên $\left( {a - 2} \right)\; \vdots \;7 \Rightarrow 4\left( {a - 2} \right)\; \vdots \;7 \Leftrightarrow \left( {4a - 8} \right)\; \vdots \;7 \Rightarrow \left( {4a - 1} \right)\; \vdots \;7$

a chia cho 9  dư 7 nên $\left( {a - 7} \right)\; \vdots \;9 \Rightarrow 4\left( {a - 7} \right)\; \vdots \;9 \Leftrightarrow \left( {4a - 28} \right)\; \vdots \;9 \Rightarrow \left( {4a - 1} \right)\; \vdots \;9$

$\Rightarrow \left( {4a - 1} \right)$ chia hết cho $5,\;7,\;9.$

Hay $\left( {4a - 1} \right) = BC\left( {5;\;7;\;9} \right)$

Mà $a$ nhỏ nhất $\Rightarrow \left( {4a - 1} \right) = BCNN\left( {5;\;7;\;9} \right) = 5.7.9 = 315.$

$\Rightarrow 4a - 1 = 315 \Leftrightarrow 4a = 316 \Leftrightarrow a = 79.$

Vậy $a = 79$ là số cần tìm.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}A = {1.2^2} + {2.3^2} + {3.4^2} + ..... + {2017.2018^2}\\ = 1.2.\left( {3 - 1} \right) + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + 3.4.\left( {5 - 1} \right) + ....... + 2017.2018.\left( {2019 - 1} \right)\\ = \left( {1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 2017.2018.2019} \right) - \left( {1.2 + 2.3 + 3.4 + .....2017.2018} \right)\end{array}$

Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}M = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ..... + 2017.2018.2019\\N = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...... + 2017.2018\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}4M = 1.2.3.4 + 2.3.4.\left( {5 - 1} \right) + 3.4.5.\left( {6 - 2} \right) + ..... + 2017.2018.2019.\left( {2020 - 2016} \right)\\\;\;\;\;\;\; = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.1 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + ........ + 2017.2018.2019.2020 - 2016.2017.2018.2019\\\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019.2020\\ \Rightarrow M = \frac{{2017.2018.2019.2020}}{4} = 505.2017.2018.2019.\end{array}$

$\begin{array}{l}3N = 1.2.3 + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + 3.4.\left( {5 - 2} \right) + ...... + 2017.2018.\left( {2019 - 2016} \right)\\\;\;\;\;\; = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ....... + 2017.2018.2019 - 2016.2017.2018\\\;\;\;\;\; = 2017.2018.2019\\ \Rightarrow N = \frac{{2017.2018.2019}}{3} = 673.2017.2018.\end{array}$ 

$\begin{array}{l} \Rightarrow A = M - N = 505.2017.2018.2019 - 673.2017.2018\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018\left( {505.2019 - 673} \right)\\\;\;\;\;\;\;\; = 2017.2018.1019528.\end{array}$

Chọn B.

Phương pháp giải:

a) Đặt $64a = 80b = 96c = d$ vì a, b, c nhỏ nhất khác 0 nên $d = BCNN\left( {64;80;96} \right)$ từ đó suy ra a, b, c.

b) a và b là hai số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ƯCLN$\left( {a;b} \right) = 1$

Lời giải chi tiết:

a) Tìm ba số tự nhiên a, b, c nhỏ nhất khác 0 sao cho $64a = 80b = 96c$.

Đặt $64a = 80b = 96c = d$

$\Rightarrow d = BCNN\left( {64;80;96} \right) = 960$

$\Rightarrow a = 960:64 = 15\,\,;\,\,b = 960:80 = 12\,\,;\,\,c = 960:96 = 10$ 

b) Chứng tỏ rằng: $\left( {7n + 10} \right)$ và $\left( {5n + 7} \right)$ là hai số nguyên tố cùng nhau ($n \in N$).

Gọi $e =$ ƯCLN$\left( {7n + 10;5n + 7} \right)$. Nên suy ra:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}7n + 1\,0\,\, \vdots \,\,e\\5n + 7\,\, \vdots \,\,e\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\left( {7n + 10} \right)\,\, \vdots \,\,e\\7\left( {5n + 7} \right)\,\, \vdots \,\,e\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}35n + 50\,\, \vdots \,\,e\\35n + 49\,\, \vdots \,\,e\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {35n + 50} \right) - \left( {35n + 49} \right)\,\, \vdots \,\,e\\ \Rightarrow 35n + 50 - 35n - 49\,\, \vdots \,\,e \Rightarrow 1\,\, \vdots \,\,e \Rightarrow e = 1\end{array}$

$\Rightarrow$ ƯCLN$\left( {7n + 10;5n + 7} \right)\,\, = 1$

$\Rightarrow$ $\left( {7n + 10} \right)$ và $\left( {5n + 7} \right)$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Phương pháp giải:

a) Hai số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Gọi d là ước chung lớn nhất của $2n + 3$ và $4n + 8$  sau đó chứng minh $d = 1$ .

b) Nhân thêm 2 vào cả hai vế của A, rồi thực hiện phép trừ $2A - A$ để tìm ra A.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi d là ước chung lớn nhất của $2n + 3$ và $4n + 8$ $\Rightarrow 2n + 3 \vdots d$ và $4n + 8 \vdots d$

$\begin{array}{l}2n + 3 \vdots d \Rightarrow 2\left( {2n + 3} \right) \vdots d \Rightarrow 4n + 6 \vdots d\\\left. \begin{array}{l}4n + 8 \vdots d\\4n + 6 \vdots d\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {4n + 8} \right) - \left( {4n + 6} \right) \vdots d\\ \Rightarrow 4n + 8 - 4n - 6 \vdots d \Rightarrow 2 \vdots d\end{array}$         

$\Rightarrow d = 1$  hoặc $d = 2$

Ta lại có: $2n + 3$ là số lẻ, mà $2n + 3 \vdots d$ nên $d = 2\,$ (vô lí). Do đó: $d = 1$

Vậy với mọi số tự nhiên $n$ hai số $2n + 3$ và $4n + 8$ nguyên tố cùng nhau.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}2A = 1.2 + 2.2 + {2^2}.2 + ... + {2^{30}}.2 \Leftrightarrow 2A = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{31}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{31}}} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + ... + {2^{30}}} \right)\\ \Rightarrow A = {2^{31}} - 1\\ \Rightarrow A + 1 = {2^{31}} - 1 + 1 = {2^{31}}\end{array}$

Vậy $A + 1 = {2^{31}}$

Phương pháp giải:

Câu này thuộc dạng bài toán ngược của bài toán tính tổng dãy lũy thừa cùng cơ số nên ta sẽ dựa vào bài toán tính tổng dãy lũy thừa có cùng cơ số để giải.

Lời giải chi tiết:

Xét tổng $S = 1 + 2009 + {2009^2} + {2009^3} + ... + {2009^{2008}}\,\,\,\,\left( {S \in \mathbb{N}} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2009.S = 2009 + {2009^2} + {2009^3} + ... + {2009^{2008}} + 2009{}^{2009}\\ \Rightarrow 2009.S - S = {2009^{2009}} - 1\\ \Rightarrow S = \frac{{{{2009}^{2009}} - 1}}{{2008}}\end{array}$

Vì $S \in \mathbb{N} \Rightarrow \frac{{{{2009}^{2009}} - 1}}{{2008}} \in \mathbb{N} \Rightarrow {2009^{2009}} - 1\,\, \vdots \,\,2008$

Vậy ${2009^{2009}} - 1\,\, \vdots \,\,2008.$

Phương pháp giải:

- Tính số buổi trời mưa: $15$ ngày trời mưa cũng có nghĩa là $15$ buổi trời mưa (sáng hoặc chiều)

- Tính số buổi không mưa $= \,\,12$ buổi sáng $+ \,\,13$ buổi chiều

- Tính tổng số buổi $=$  số buổi trời mưa $+$ số buổi không mưa.

- Số ngày ở quê $=$ tổng số buổi $:\,\,2$ (vì một ngày có $2$ buổi).

Lời giải chi tiết:

Ta có $15$ ngày trời mưa cũng có nghĩa là $15$ buổi trời mưa (sáng hoặc chiếu).

Theo đề bài có $12$ buổi sáng và $13$ buổi chiều trời quang mây tạnh.

Vậy số buổi không mưa là :    $12 + 13 = 25$ (buổi)

Số buổi ở quê là :                    $25 + 15 = 40$  (buổi)

Số ngày ở quê là :                               $40:2 = 20$  (ngày)

Vậy kì nghỉ hè ở quê kéo dài $20$ ngày.

Chọn B.