• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi giữa kì 2 - Đề số 4

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: GK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) (P) có bề lõm quay lên trên.

b) (P) có đỉnh (2; 4).

c) (P) có trục đối xứng x = 2.

d) (P) có hình vẽ như hình bên:

a) (P) có bề lõm quay lên trên.

b) (P) có đỉnh (2; 4).

c) (P) có trục đối xứng x = 2.

d) (P) có hình vẽ như hình bên:

a) (P) có bề lõm quay lên trên.

b) (P) có đỉnh (2; 4).

c) (P) có trục đối xứng x = 2.

d) (P) có hình vẽ như hình bên:

Cho hàm số $y = - x^{2} + 4x$ có đồ thị là Parabol (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) (P) có bề lõm quay lên trên.

b) (P) có đỉnh (2; 4).

c) (P) có trục đối xứng x = 2.

d) (P) có hình vẽ như hình bên:

a) Sai. Hệ số của \\({x^2}\\) là -1 < 0 nên bề lõm của (P) quay xuống dưới.

b) Đúng. Giả sử I là đỉnh của (P), khi đó \\({x_I} =  - \\frac{4}{{2.( - 1)}} = 2\\), \\({y_I} =  - {2^2} + 4.2 = 4\\).

Vậy (P) có đỉnh I(2; 4).

c) Đúng. (P) có trục đối xứng \\(x =  - \\frac{4}{{2.( - 1)}} = 2\\).

d) Đúng. Quan sát hình vẽ, thấy đồ thị có đỉnh I(2; 4) và trục đối xứng x = -2 và bề lõm quay xuống dưới (đúng).

Mặt khác, đồ thị đi qua điểm (0; 0) và (4; 0).

Thay x = 0 vào phương trình \\(y =  - {x^2} + 4x\\) được y = 0. Do đó (0; 0) thuộc (P).

Thay x = 4 vào phương trình \\(y =  - {x^2} + 4x\\) được y = 0. Do đó (4; 0) thuộc (P).

Vậy hình vẽ trên đúng là đồ thị của (P).

Xét hàm số \\(y = a{x^2} + bx + c\\) có đồ thị (P):

a) Xét dấu hệ số của \\({x^2}\\).

b) Giả sử I là đỉnh của (P), khi đó \\(I\\left( { - \\frac{b}{{2a}};f\\left( { - \\frac{b}{{2a}}} \\right)} \\right)\\).

c) Trục đối xứng của (P) là \\(x =  - \\frac{b}{{2a}}\\).

d) Xét các đặc điểm của đồ thị có đúng khi khảo sát hàm số \\(y =  - {x^2} + 4x\\) không.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\\Delta$ đi qua hai điểm A(1; -1), B(2; 1). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $\\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{AB}(1;2)$ .

b) Đường thẳng $\\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n}(2;1)$.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\\Delta$ là 2x – y + 1 = 0.

d) Khoảng cách từ M(-3; 1) đến $\\Delta$ bằng $2\\sqrt{5}$.

a) Đường thẳng $\\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{AB}(1;2)$ .

b) Đường thẳng $\\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n}(2;1)$.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\\Delta$ là 2x – y + 1 = 0.

d) Khoảng cách từ M(-3; 1) đến $\\Delta$ bằng $2\\sqrt{5}$.

a) Đường thẳng $\\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{AB}(1;2)$ .

b) Đường thẳng $\\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n}(2;1)$.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\\Delta$ là 2x – y + 1 = 0.

d) Khoảng cách từ M(-3; 1) đến $\\Delta$ bằng $2\\sqrt{5}$.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng $\\Delta$ đi qua hai điểm A(1; -1), B(2; 1). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đường thẳng $\\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{AB}(1;2)$ .

b) Đường thẳng $\\Delta$ có vectơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n}(2;1)$.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\\Delta$ là 2x – y + 1 = 0.

d) Khoảng cách từ M(-3; 1) đến $\\Delta$ bằng $2\\sqrt{5}$.

a) Đúng. \\(\\Delta \\) đi qua A, B nên \\(\\overrightarrow {AB}  = (2 - 1;1 + 1) = (1;2)\\) là một vecto chỉ phương của \\(\\Delta \\).

b) Sai. Một vecto pháp tuyến của \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow u  = (2; - 1)\\). Ta thấy \\(\\vec n(2;1)\\) không cùng phương với \\(\\overrightarrow u  = (2; - 1)\\) nên \\(\\vec n(2;1)\\) không phải vecto pháp tuyến của \\(\\Delta \\).

c) Sai. Phương trình tổng quát của \\(\\Delta \\):

\\(2(x - 1) - 1(y + 1) = 0 \\Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0\\).

d) Đúng. \\(d\\left( {M,\\Delta } \\right) = \\frac{{\\left| {2.( - 3) - 1.1 - 3} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = 2\\sqrt 5 \\).

a) \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \\right)\\).

b) Giả sử đường thẳng d có vecto chỉ phương là \\(\\overrightarrow u  = (a;b)\\). Khi đó, d có một vecto pháp tuyến là \\(\\overrightarrow n  = (b; - a)\\). Đồng thời, \\(k\\overrightarrow n  = (kb; - ka)\\) cũng là các vecto pháp tuyến của d.

c) Đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\({M_0}({x_0};{y_0})\\) và nhận \\(\\overrightarrow n = (a;b)\\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \\(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\\).

d) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng \\(\\Delta \\) có phương trình \\(ax + by + c = 0\\) (\\({a^2} + {b^2} > 0\\)) và điểm \\(M({x_0};{y_0})\\). Khoảng cách từ điểm \\(M\\) đến đường thẳng \\(\\Delta \\), kí hiệu là \\(d(M,\\Delta )\\), được tính bởi công thức sau:

\\(d(M,\\Delta ) = \\frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\).

Tại một buổi khai trương, người ta làm một cổng chào có đường viền trong của mặt cắt là đường parabol. Người ta đo khoảng cách giữa hai chân cổng là 4,5 m. Từ một điểm trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất (điểm H) là 1,8 m và khoảng cách từ điểm H tới chân cổng gần nhất là 1 m. Hãy tính chiều cao của cổng chào đó (tính theo đường viền trong) theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình của parabol, từ đó tính được chiều cao cổng.

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc toạ độ O trùng một chân của cổng, trục hoành nằm trên đường nối hai chân cổng (đơn vị trên các trục tính theo mét).

Gọi hàm số bậc hai có đồ thị chứa đường viền trong của cổng chào trên là $y = ax^2 + bx + c$.

Từ giả thiết bài toán ta có đồ thị hàm số đi qua các điểm O(0; 0), A(4,5; 0), B(1; 1,8).

Thay toạ độ các điểm trên vào hàm số, ta được c = 0 và hệ phương trình:

$\\begin{cases} 4,5^2a + 4,5b = 0 \\\\ 1^2a + 1b = 1,8 \\end{cases} \\Leftrightarrow \\begin{cases} a = \\frac{-18}{35} \\\\ b = \\frac{81}{35} \\end{cases}$.

Suy ra ta có hàm số: $y = \\frac{-18}{35}x^2 + \\frac{81}{35}x$.

Từ đó, đỉnh của đồ thị hàm số trên có tung độ là $\\frac{-18}{35}\\left(\\frac{9}{4}\\right)^2 + \\frac{81}{35}.\\frac{9}{4} \\approx 2,6$.

Vậy chiều cao của cổng là khoảng 2,6 m.

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 6 cm. Điểm D nằm trên tia AB sao cho DB = 3 cm, DC = 8 cm (xem hình vẽ). Đặt AC = x. Tính diện tích tam giác BCD (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Áp dụng định lí Pytago, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai.

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A, ta được:

$AC^2 + AB^2 = BC^2$.

Suy ra $AB = \\sqrt{BC^2 - AC^2} = \\sqrt{6^2 - x^2} = \\sqrt{36 - x^2}$ (cm).

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ACD vuông tại A, ta được:

$AC^2 + AD^2 = CD^2$.

Suy ra $AD = \\sqrt{CD^2 - AC^2} = \\sqrt{8^2 - x^2} = \\sqrt{64 - x^2}$ (cm).

Mà AB + BD = AD nên $\\sqrt{36 - x^2} + 3 = \\sqrt{64 - x^2} $ (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

$36 - x^2 + 6\\sqrt{36 - x^2} + 9 = 64 - x^2$

$\\Rightarrow \\sqrt{36 - x^2} = \\frac{19}{6} $

$\\Rightarrow x^2 = \\frac{935}{36} \\Rightarrow x \\approx 5,1$.

Diện tích của tam giác BCD là:

$\\frac{1}{2} . 5,1 . 3 = 7,65$ $(cm^2)$.

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(3; -3), B(5; -1) và đường thẳng $\\Delta : 2x - y - 1 = 0$. Tính tổng hoành độ và tung độ của điểm M biết M thuộc $\\Delta$ sao cho tam giác MAB cân tại M.

Lập phương trình tham số của $\\Delta$, biểu diễn tọa độ điểm M theo t. Dựa vào điều kiện MA = MB để tìm t và kết luận.

Đường thẳng $\\Delta$ có phương trình tham số là: $\\begin{cases} x = t \\\\ y = -1 + 2t \\end{cases}$

Vì $M \\in \\Delta$ nên $M(t; -1 + 2t)$.

Tam giác MAB cân tại M nên MA = MB

$\\Leftrightarrow (3 - t)^2 + (-2 - 2t)^2 = (5 - t)^2 + (-2t)^2 $

$\\Leftrightarrow 13 + 2t = 25 - 10t \\Leftrightarrow t = 1$.

Vậy điểm M cần tìm là $M(1; 1) \\Rightarrow 1 + 1 = 2$.

Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-met), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\\begin{cases} x = 3 - 33t \\\\ y = -4 + 25t \\end{cases}$; vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Giả sử a là côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A, B. Tính 100a (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tìm cặp vectơ chỉ phương của hai đường đi của tàu và áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

Hai đường đi (giả sử là hai đường thẳng $d_1$, $d_2$) của hai tàu có cặp vectơ chỉ phương $\\vec{u_1} = (-33; 25)$, $ \\vec{u_2} = (-30; -40)$; côsin góc tạo bởi hai đường thẳng là:

$a = \\cos(d_1, d_2) = \\frac{|\\vec{u_1} . \\vec{u_2}|}{|\\vec{u_1}| . |\\vec{u_2}|} $

$= \\frac{| -33 . (-30) + 25(-40) |}{\\sqrt{(-33)^2 + 25^2} . \\sqrt{(-30)^2 + (-40)^2}} \\approx 0,00483$.

Vậy $100a \\approx 0,48$.

Xét dấu tam thức $3x^{2} - 2x + 1$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\\Delta' = - 2 < 0$ và a = 3 > 0. Suy ra $3x^{2} - 2x + 1 > 0$ $\\forall x \\in {\\mathbb{R}}$.

Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có \\(9{m^2} + 2m >  - 3\\).

Yêu cầu bài toán tương đương chứng minh \\(f\\left( x \\right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0\\) với mọi m.

Tam thức có \\(\\Delta  = {2^2} - 4.9.3 =  - 104 < 0\\).

Áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai ta có:

\\(\\Delta  < 0\\) và \\(a = 9 > 0\\) nên \\(f\\left( x \\right)\\) cùng dấu với a với mọi m.

Vậy \\(f\\left( x \\right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0\\) với mọi m \\( \\Leftrightarrow 9{m^2} + 2m >  - 3\\) với mọi m.

Bước 1: Chuyển bất phương trình tương đương với \\(f\\left( x \\right) = 9{m^2} + 2m + 3 > 0\\).

Bước 2: Tính \\(\\Delta \\) và chỉ ra dấu của \\(\\Delta \\) âm.

Bước 3: Áp dụng tính chất của tam thức bậc hai.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(-2; 4) và B(-6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua 2 điểm A và B.

Vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là: $\\overrightarrow{AB} = (-4; -3)$.

Vecto pháp tuyến của đường thẳng $AB$ là: $\\overrightarrow{n_{AB}} = (-3, 4)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là:

$-3(x + 2) + 4(y - 4) = 0$

$\\Leftrightarrow -3x + 4y - 22 = 0$.

Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng và lập phương trình tổng quát.