• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi giữa kì 2 - Đề số 5

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: GK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Hàm số đã cho là $y = 2x^{2} - 2x + 6$.

b) Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng x = -2.

c) Đỉnh I của đồ thị hàm số có tọa độ là (2; -2).

d) Đồ thị hàm số đi qua A(0; 6).

a) Hàm số đã cho là $y = 2x^{2} - 2x + 6$.

b) Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng x = -2.

c) Đỉnh I của đồ thị hàm số có tọa độ là (2; -2).

d) Đồ thị hàm số đi qua A(0; 6).

a) Hàm số đã cho là $y = 2x^{2} - 2x + 6$.

b) Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng x = -2.

c) Đỉnh I của đồ thị hàm số có tọa độ là (2; -2).

d) Đồ thị hàm số đi qua A(0; 6).

Cho đồ thị hàm số bậc hai y = f(x) có dạng như hình sau:

Khi đó:

a) Hàm số đã cho là $y = 2x^{2} - 2x + 6$.

b) Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng x = -2.

c) Đỉnh I của đồ thị hàm số có tọa độ là (2; -2).

d) Đồ thị hàm số đi qua A(0; 6).

Giả sử hàm số có phương trình \\(y = a{x^2} + bx + c\\).

a) Sai. Đồ thị có đỉnh I(2; -2) và đi qua A(0; 6) nên ta có hệ:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l} - \\frac{b}{{2a}} = 2\\\\ - 2 = a{.2^2} + b.2 + c\\\\6 = a{.0^2} + b.0 + c\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a = 2\\\\b =  - 8\\\\c = 6\\end{array} \\right.\\).

Vậy hàm số đã cho là \\(y = 2{x^2} - 8x + 6\\).

b) Sai. Quan sát hình vẽ thấy trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng x = 2.

c) Đúng. Quan sát hình vẽ thấy đồ thị có đỉnh I(2; -2).

d) Đúng. Quan sát hình vẽ thấy đồ thị hàm số đi qua A(0; 6).

Quan sát hình vẽ, nhận dạng các đặc điểm của đồ thị, từ đó tìm hàm số đã cho.

Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường thẳng $d_{1}:\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = - 3 + 9t} \\\\ {y = 7 - 4t} \\end{array} \\right.$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

a) $d_{1}$ có một véctơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{u} = (9; - 4)$.

b) $d_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n} = (9; - 4)$.

c) PTTQ của đường thẳng: $d_{1}:4x + 9y - 51 = 0$.

d) Điểm D(-30; 19) thuộc đường thẳng $d_{1}$.

a) $d_{1}$ có một véctơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{u} = (9; - 4)$.

b) $d_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n} = (9; - 4)$.

c) PTTQ của đường thẳng: $d_{1}:4x + 9y - 51 = 0$.

d) Điểm D(-30; 19) thuộc đường thẳng $d_{1}$.

a) $d_{1}$ có một véctơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{u} = (9; - 4)$.

b) $d_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n} = (9; - 4)$.

c) PTTQ của đường thẳng: $d_{1}:4x + 9y - 51 = 0$.

d) Điểm D(-30; 19) thuộc đường thẳng $d_{1}$.

Trong mặt phẳng (Oxy), cho đường thẳng $d_{1}:\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = - 3 + 9t} \\\\ {y = 7 - 4t} \\end{array} \\right.$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

a) $d_{1}$ có một véctơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{u} = (9; - 4)$.

b) $d_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n} = (9; - 4)$.

c) PTTQ của đường thẳng: $d_{1}:4x + 9y - 51 = 0$.

d) Điểm D(-30; 19) thuộc đường thẳng $d_{1}$.

a) Đúng. $d_{1}$ có một véctơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{u} = (9; - 4)$ là khẳng định đúng vì $d_{1}$ có một véctơ chỉ phương là $(9; - 4)$.

b) Sai. $d_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n} = (9; - 4)$ là khẳng định sai vì $\\overset{\\rightarrow}{u} = (9; - 4)$ là tọa độ véctơ chỉ phương của $d_{1}$.

c) Đúng. PTTQ đường thẳng $d_{1}$ có vtpt $\\overset{\\rightarrow}{n}\\left( {4;9} \\right)$ và đi qua điểm M(-3; 7) là: $\\left. 4\\left( {x + 3} \\right) + 9\\left( {y - 7} \\right) = 0\\Leftrightarrow 4x + 9y - 51 = 0 \\right.$.

d) Đúng. Điểm D(-30; 19) thuộc đường thẳng $d_{1}$ là khẳng định đúng vì có t = -3 vào phương trình thì x = -30, y = 19.

a) Từ phương trình tham số $\\left\\{ \\begin{array}{l}x = {x_0} + mt\\\\y = {y_0} + nt\\end{array} \\right.$, ta xác định được vecto chỉ phương $\\overrightarrow u  = (m;n)$.

b) Cách tìm vecto chỉ phương biết vecto pháp tuyến và ngược lại: $\\overrightarrow n  = (p;q) \\leftrightarrow \\overrightarrow u  = ( - q;p)$.

c) Cho đường thẳng d có phương trình tham số $\\left\\{ \\begin{array}{l}x = {x_0} + at\\\\y = {y_0} + bt\\end{array} \\right.$ $(t \\in \\mathbb{R})$. Để lập phương trình tổng quát của d, ta thực hiện:

B1: Xác định 1 điểm thuộc d: $M({x_0};{y_0})$.

B2: Xác định vecto chỉ phương của d: $\\overrightarrow u  = (a;b)$.

B3: Tìm vecto pháp tuyến của d: $\\overrightarrow n  = ( - b;a)$ hoặc $k\\overrightarrow n  = ( - nb;na)$.

B4: Lập phương trình tổng quát của d: $ - b(x - {x_0}) + a(y - {y_0}) = 0$.

d) Thay tọa độ điểm D vào phương trình tham số, nếu tìm được số t thỏa mãn hệ thì D thuộc đường thẳng.

Cánh cổng của gia đình bạn An như hình vẽ. Bạn An muốn đo chiều cao của cái cổng (đơn vị: mét), biết rằng bạn An chỉ được nhà sản xuất công bố một vài dữ liệu: Chiều rộng của cổng là 5 m, vị trí thấp nhất của phần trên cổng cách mặt đất 3 m và từ một điểm cách chân cổng 1 m, người ta dùng thước đo được chiều cao là $\\frac{91}{25} $ m.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình của parabol, từ đó tính được chiều cao cổng.

Xem phần phía trên của cái cổng là một parabol, vậy để tìm được độ cao của cổng ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với góc tọa độ O nằm ở vị trí chân của cổng.

Gọi hàm số bậc 2 là $P: y = f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \\neq 0$)

Do vị trí thấp nhất của phần trên cổng cách mặt đất 3 m nên $A(0;3) \\in (P) \\Leftrightarrow 3 = c$ (1)

Từ một điểm cách chân cổng 1m, ngta dùng thước đo được chiều cao là $\\frac{91}{25}$ m nên: $B\\left(1; \\frac{91}{25}\\right) \\in (P) \\Leftrightarrow \\frac{91}{25} = a + b + c$ (2)

Chiều rộng của cổng là 5 m nên $C(5;3) \\in (P) \\Leftrightarrow 3 = 25a + 5b + c$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình: $\\begin{cases} c = 3 \\\\ a + b + c = \\frac{91}{25} \\\\ 25a + 5b + c = 3 \\end{cases} \\Leftrightarrow \\begin{cases} a = -\\frac{4}{25} \\\\ b = \\frac{4}{5} \\\\ c = 3 \\end{cases}$.

Suy ra phương trình: $y = f(x) = -\\frac{4}{25}x^2 + \\frac{4}{5}x + 3$.

Khi đó độ cao của cổng chính là tung độ đỉnh $y_0 = -\\frac{\\Delta}{4a} = 4$ m.

Vậy cổng cao 4 m.

Lúc 8 giờ sáng, hai ô tô cùng xuất phát tại vị trí A và vị trí B cách nhau 100 km chạy về thành phố T. Vận tốc của hai ô tô chạy từ vị trí A và vị trí B lần lượt là 55 km/h và 45 km/h. Biết rằng tại thời điểm ô tô đi từ vị trí A đến địa điểm D cách thành phố T 14 km thì ô tô đi từ vị trí B đến địa điểm C cách thành phố T là 6 km. Hỏi thời điểm đó là bao nhiêu giờ sau khi hai xe xuất phát?

Gọi x (giờ) là khoảng thời gian cần tìm. Biểu diễn khoảng cách giữa A và B theo x, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để tìm x.

Gọi x (giờ) là thời gian ô tô đi từ vị trí A đến địa điểm D (x > 0).

Vì hai ô tô xuất phát cùng một lúc nên thời gian ô tô đi từ vị trí B đến địa điểm C cũng là x giờ. Do đó, quãng đường AD và BC lần lượt là 55x (km) và 45x (km).

Suy ra khoảng cách từ vị trí A và vị trí B đến thành phố T lần lượt là 55x + 14 (km) và 45x + 6 (km).

Vì khoảng cách giữa hai vị trí A và B là 100 km nên ta có phương trình:

$\\sqrt{(55x+14)^2 + (45x+6)^2} = 100 $

$\\Rightarrow 5050x^2 + 2080x + 232 = 10000$.

Giải phương trình trên, được nghiệm $x = \\dfrac{6}{5} = 1,2 $.

Vậy thời điểm đó là 1,2 giờ sau khi hai xe xuất phát.

Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm của cạnh AB. Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình là 7x - 2y - 3 = 0 và 6x - y - 4 = 0. Phương trình của đường thẳng AB có dạng ax + by - 4 = 0 ($a, b \\in \\mathbb{N}$). Tính a + b.

Tìm tọa độ điểm A (là giao điểm của đường trung tuyến và đường cao), từ đó tìm vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của AB và lập phương trình đường thẳng.

Tọa độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình $\\begin{cases} 7x - 2y - 3 = 0 \\\\ 6x - y - 4 = 0 \\end{cases} \\Leftrightarrow \\begin{cases} x = 1 \\\\ y = 2 \\end{cases}$.

Do đó, điểm A có tọa độ (1;2).

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\\overrightarrow{AM} = (1; -2)$ nên nhận $\\vec{n} = (2;1)$ là một vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng AB là:

$2(x - 1) + (y - 2) = 0 \\Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0$.

Khi đó $\\begin{cases} a = 2 \\\\ b = 1 \\end{cases} \\Rightarrow a + b = 3$.

Nhà Nam có một ao cá dạng hình chữ nhật MNPQ với chiều dài MQ = 30m, chiều rộng MN = 24m. Phần tam giác QST là nơi nuôi ếch, MS = 10m, PT = 12m (với S, T lần lượt là các điểm nằm trên cạnh MQ, PQ) (xem hình bên dưới).

Nam đứng ở vị trí N câu cá và cần tính toán khoảng cách đến nơi nuôi ếch để làm lưỡi câu. Hỏi khoảng cách từ N đến nơi nuôi ếch là bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp, tìm tọa độ các điểm, lập phương trình đường thẳng ST và áp dụng công thức tính khoảng cách từ N đến ST.

MN = 24 m và N(0; 0) nên M(0; 24). NP = MQ = 30 m nên P(30; 0).

Q và M có cùng tung độ, Q và P có cùng hoành độ nên Q(30; 24).

S và M có cùng tung độ, MS = 10 m nên S(10; 24).

T và P có cùng hoành độ, PT = 12 m nên T(30; 12).

Đường thẳng ST có vectơ chỉ phương $\\overrightarrow{ST} = (20; -12)$ nên nhận $\\vec{n} = (3; 5)$ làm vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình đường thẳng ST là:

$3(x-10)+5(y-24)=0 \\Leftrightarrow 3x+5y-150=0$.

Khoảng cách từ điểm N(0; 0) đến đường thẳng ST là:

$\\frac{|3 . 0 + 5 . 0 - 150|}{\\sqrt{3^2 + 5^2}} \\approx 25,7$.

Xét dấu tam thức $4x^{2} + 4x + 1$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\\Delta = 0$, nghiệm kép $x_{0} = - \\dfrac{1}{2}$ và hệ số a = 4 > 0 nên $4x^{2} + 4x + 1 > 0$ $\\forall x \\in {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ {- \\dfrac{1}{2}} \\right\\}$.

Tìm điều kiện của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi $x \\in {\\mathbb{R}}$:

$f(x) = x^{2} + \\left( {m + 1} \\right)x + 2 - m$.

\\(f(x) = {x^2} + (m + 1)x + 2 - m > 0\\), \\(\\forall x \\in \\mathbb{R}\\)

\\( \\Leftrightarrow \\Delta  = {(m + 1)^2} - 4(2 - m) < 0\\)

\\( \\Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 < 0\\)

\\( \\Leftrightarrow  - 7 < m < 1\\).

Sử dụng điều kiện: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}a > 0\\\\\\Delta  < 0\\end{array} \\right.\\).

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(-1; 0) và B(1; 4). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $\\Delta$ đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng AB.

Ta có: $A(-1;0) \\in \\Delta$.

Do $\\Delta \\perp AB$, nên vectơ pháp tuyến của $\\Delta$ có dạng: $\\vec{n} = \\overrightarrow{AB} = (2;4)$.

Vậy phương trình tổng quát của $\\Delta$ là $2(x+1)+4(y-0)=0$.

Phương trình $\\Delta : x+2y+1=0$.

Lập phương trình đường thẳng $\\Delta$ đi qua điểm A(-1; 0) và nhận $\\overrightarrow{AB}$ làm vecto pháp tuyến.