• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi giữa kì 2 - Đề số 6

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: GK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) f(0) = -1.

b) Tập xác định $D = {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ {- 1} \\right\\}$.

c) Phương trình f(x) = x – 1 có 1 nghiệm duy nhất.

d) Tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.

a) f(0) = -1.

b) Tập xác định $D = {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ {- 1} \\right\\}$.

c) Phương trình f(x) = x – 1 có 1 nghiệm duy nhất.

d) Tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.

a) f(0) = -1.

b) Tập xác định $D = {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ {- 1} \\right\\}$.

c) Phương trình f(x) = x – 1 có 1 nghiệm duy nhất.

d) Tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.

Cho hàm số $f(x) = \\dfrac{x - 1}{x + 1}$. Mỗi kết quả dưới đây đúng hay sai?

a) f(0) = -1.

b) Tập xác định $D = {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ {- 1} \\right\\}$.

c) Phương trình f(x) = x – 1 có 1 nghiệm duy nhất.

d) Tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.

a) Đúng. \\(f\\left( 0 \\right) = \\frac{{0 - 1}}{{0 + 1}} =  - 1\\).

b) Đúng. ĐKXĐ: \\(x + 1 \\ne 0 \\Leftrightarrow x \\ne  - 1\\). Vậy \\(D = \\mathbb{R}\\backslash \\left\\{ { - 1} \\right\\}\\).

c) Sai. \\(\\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = x - 1\\)

\\({x^2} - 1 = x - 1\\)

\\({x^2} - x = 0\\)

Suy ra x = 0 (TM) hoặc x = 1 (TM).

Vậy phương trình f(x) = x – 1 có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1.

d) Đúng. \\(f\\left( x \\right) = \\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \\frac{{x + 1 - 2}}{{x + 1}} = \\frac{{x + 1}}{{x + 1}} - \\frac{2}{{x + 1}} = 1 - \\frac{2}{{x + 1}}\\).

f(x) nguyên khi và chỉ khi \\(\\frac{2}{{x + 1}}\\) nguyên, hay x + 1 là ước của 2.

Khi đó \\(x + 1 \\in \\{  \\pm 1; \\pm 2\\}  \\Rightarrow x \\in \\{  - 3; - 2;0;1\\} \\).

Vậy tồn tại 4 số nguyên x để f(x) là nguyên.

a) Thay x = 0 vào hàm số rồi tính.

b) Tìm ĐKXĐ của hàm số.

c) Giải phương trình.

d) Biến đổi f(x) về dạng \\(f\\left( x \\right) = a + \\frac{b}{{x + 1}}\\) với a, b nguyên.

f(x) nguyên khi \\(\\frac{b}{{x + 1}}\\) nguyên, hay x + 1 là ước của b. Tìm các giá trị x nguyên thỏa mãn.

Trong hệ toạ độ Oxy cho vectơ $\\overset{\\rightarrow}{OA} = (1;2)$ và đường thẳng $\\Delta:\\,\\, 2x - y + 3 = 0$. Các mệnh đề sau đây là đúng hay sai?

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\\Delta$ là $d(A;\\Delta) = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{5}$.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng $\\Delta$ là: x + 2y – 5 = 0.

c) Toạ độ của điểm A là A(1; 2).

d) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\\Delta$ có toạ độ là (2; -1).

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\\Delta$ là $d(A;\\Delta) = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{5}$.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng $\\Delta$ là: x + 2y – 5 = 0.

c) Toạ độ của điểm A là A(1; 2).

d) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\\Delta$ có toạ độ là (2; -1).

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\\Delta$ là $d(A;\\Delta) = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{5}$.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng $\\Delta$ là: x + 2y – 5 = 0.

c) Toạ độ của điểm A là A(1; 2).

d) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\\Delta$ có toạ độ là (2; -1).

Trong hệ toạ độ Oxy cho vectơ $\\overset{\\rightarrow}{OA} = (1;2)$ và đường thẳng $\\Delta:\\,\\, 2x - y + 3 = 0$. Các mệnh đề sau đây là đúng hay sai?

a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng $\\Delta$ là $d(A;\\Delta) = \\dfrac{3\\sqrt{5}}{5}$.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng $\\Delta$ là: x + 2y – 5 = 0.

c) Toạ độ của điểm A là A(1; 2).

d) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\\Delta$ có toạ độ là (2; -1).

a) Đúng. \\(\\overrightarrow {OA}  = (1;2) \\Rightarrow A = (1;2)\\).

\\(d\\left( {A,\\Delta } \\right) = \\frac{{\\left| {2.1 - 1.2 + 3} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \\frac{{3\\sqrt 5 }}{5}\\).

b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \\(\\Delta \\) có toạ độ là (2; -1), do đó vecto pháp tuyến của đường thẳng vuông góc với \\(\\Delta \\) có tọa độ là (1; 2). Phương trình đường thẳng cần tìm là:

\\(1(x - 1) + 2(y - 2) = 0 \\Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0\\).

c) Đúng. Toạ độ của điểm A là A(1; 2).

d) Đúng. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \\(\\Delta \\) có toạ độ là (2; -1).

a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng \\(\\Delta \\) có phương trình \\(ax + by + c = 0\\) (\\({a^2} + {b^2} > 0\\)) và điểm \\(M({x_0};{y_0})\\). Khoảng cách từ điểm \\(M\\) đến đường thẳng \\(\\Delta \\), kí hiệu là \\(d(M,\\Delta )\\), được tính bởi công thức sau:

\\(d(M,\\Delta ) = \\frac{{|a{x_0} + b{y_0} + c|}}{{\\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\).

b) Vecto pháp tuyến của đường thẳng cần tìm vuông góc với vecto pháp tuyến của .

c) Toạ độ của vecto \\(\\overrightarrow {OM} \\) là toạ độ của điểm M.

d) Từ phương trình tổng quát \\(ax + by + c = 0\\), ta xác định được vecto pháp tuyến \\(\\overrightarrow n  = (a;b)\\).

Một người cao 1,7 m đang chơi cầu lông. Trái cầu được đánh lên ở vị trí ngang đầu của người đánh. Giả sử quỹ đạo bay của quả cầu là một parabol. Tìm vị trí cao nhất của quả cầu (đơn vị: mét; kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) biết rằng, sau khoảng thời gian 7,5 giây thì quả cầu ở vị trí ngang đầu của người đánh và sau 8,9 giây thì trái cầu chạm đất.

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình của parabol, từ đó tính được vị trí cao nhất của quả cầu.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với góc tọa độ O là vị trí đứng của người chơi.

Gọi $(P) : h(t) = at^2 + bt + c$.

Trái cầu ban đầu được đánh lên ở vị trí ngang đầu của người đánh cao 1,7 m nên:

$A(0; 1,7) \\in (P) \\Leftrightarrow c = 1,7$ (1)

Sau khoảng thời gian 7,5 giây thì quả cầu ở vị trí ngang đầu của người đánh nên:

$B(7,5; 1,7) \\in (P) \\Leftrightarrow \\frac{225}{4}a + \\frac{15}{2}b + c = 1,7$ (2)

Sau 8,9 giây thì trái cầu chạm đất nên:

$C(8,9; 0) \\in (P) \\Leftrightarrow 8,9^2a + 8,9b + c = 0 $ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

$\\begin{cases} c = 1,7 \\\\ \\frac{225}{4}a + \\frac{15}{2}b + c = 1,7 \\\\ 8,9^2a + 8,9b + c = 0 \\end{cases} \\Leftrightarrow \\begin{cases} c = 1,7 \\\\ b = \\frac{1275}{1246} \\\\ a = -\\frac{85}{623} \\end{cases}$

Suy ra: $(P) : h(t) = -\\frac{85}{623}t^2 + \\frac{1275}{1246}t + 1,7$.

Khi đó điểm cao nhất mà quả cầu có thể đạt tới chính là tung độ của đỉnh $y_0 = -\\frac{\\Delta}{4a} \\approx 3,62$ m.

Một chú thỏ ngày nào cũng ra bờ suối ở vị trí A, cách cửa hang của mình tại vị trí B là 370 m để uống nước, sau đó chú thỏ sẽ đến vị trí C cách vị trí A 120 m để ăn cỏ rồi trở về hang. Tuy nhiên, hôm nay sau khi uống nước ở bờ suối, chú thỏ không đến vị trí C như mọi ngày mà chạy đến vị trí D để tìm cà rốt rồi mới trở về hang (xem hình bên dưới). Biết rằng, tổng thời gian chú thỏ chạy từ vị trí A đến vị trí D rồi về hang là 30 giây (không kể thời gian tìm cà rốt), trên đoạn AD chú thỏ chạy với vận tốc là 13 m/s, trên đoạn BD chú thỏ chạy với vận tốc là 15 m/s. Tính khoảng cách giữa hai vị trí C và D (đơn vị: mét).

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn AD là x. Biểu diễn độ dài CD theo x, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để tìm x.

Gọi thời gian chú thỏ chạy trên đoạn AD là x (0 < x < 30) (giây), khi đó thời gian chú thỏ chạy trên đoạn BD là 30 - x (giây). Do đó, quãng đường AD và BD lần lượt là 13x (m) và 15(30 - x) (m).

Độ dài quãng đường BC là:

$\\sqrt{370^2 - 120^2} = 350$ (m).

Tam giác ACD vuông tại C nên:

$CD = \\sqrt{(13x)^2 - 120^2}$ (m).

Mặt khác, CD = BC - BD = 350 - 15(30 - x) (m).

Do đó, ta có: $\\sqrt{(13x)^2 - 120^2} = 350 - 15(30-x)$.

Giải phương trình này và kết hợp với điều kiện 0 < x < 30, ta nhận x = 10 (giây).

Vậy khoảng cách giữa vị trí C và vị trí D là: 350 - 15(30 - 10) = 50 (m).

Cho tam giác ABC có A(2; -1), B(4; 5), C(-3; 2). Giả sử phương trình tổng quát đường cao AH của tam giác ABC là ax + 3y + b = 0. Tính a – b.

Lập phương trình đường thẳng AH đi qua A và nhận $\\overrightarrow{CB}$ làm vectơ pháp tuyến.

AH đi qua A(2; -1) và nhận $\\overrightarrow{CB} = (7; 3)$ làm vectơ pháp tuyến, vì vậy phương trình tổng quát của AH là: 7(x - 2) + 3(y + 1) = 0 hay 7x + 3y - 11 = 0.

Vậy a – b = 7 – (-11) = 18.

Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-mét), tại thời điểm $t$ (giờ), vị trí của tàu $A$ có tọa độ được xác định bởi công thức $\\begin{cases} x = 3 - 33t \\\\ y = -4 + 25t \\end{cases}$ vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát, hai tàu gần nhau nhất (đơn vị: giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Xác định vị trí của hai tàu và tính khoảng cách giữa hai tàu theo t. Tìm t để khoảng cách đó nhỏ nhất.

Tại thời điểm t, vị trí tàu A là M(3 - 33t; -4 + 25t), vị trí của tàu B là N(4 - 30t; 3 - 40t).

Ta có $MN = \\sqrt{(1 + 3t)^2 + (7 - 65t)^2}$

$= \\sqrt{4234t^2 - 904t + 50}$.

MN nhỏ nhất khi hàm bậc hai $f(t) = 4234t^2 - 904t + 50$ đạt giá trị nhỏ nhất, lúc đó:

$x = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{-904}{2 . 4234} = \\frac{226}{2117} \\approx 0,11$ (giờ).

Xét dấu tam thức $- x^{2} + 4x + 5$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\\left. - x^{2} + 4x + 5 = 0\\Leftrightarrow\\left\\lbrack \\begin{array}{l}\n{x = - 1} \\\\\n{x = 5}\n\\end{array} \\right. \\right.$

Bảng xét dấu:

Suy ra $\\left. - x^{2} + 4x + 5 > 0\\Leftrightarrow x \\in ( - 1;5) \\right.$ và $\\left. - x^{2} + 4x + 5 < 0\\Leftrightarrow x \\in ( - \\infty; - 1) \\cup (5; + \\infty) \\right.$.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để $f(x) = x^{2} + (m + 1)x + 2m + 7 > 0$, $\\forall x \\in {\\mathbb{R}}$.

$f(x) = x^2 + (m+1)x + 2m + 7 > 0, \\forall x \\in \\mathbb{R}$.

Ta có: $f(x) > 0$, $\\forall x \\in \\mathbb{R} \\Leftrightarrow \\begin{cases} a > 0 \\\\ \\Delta < 0 \\end{cases}$

$ \\Leftrightarrow \\begin{cases} 1 > 0 \\\\ (m+1)^2 - 4(2m+7) < 0 \\end{cases}$

$\\Leftrightarrow m^2 - 6m - 27 < 0 \\Leftrightarrow -3 < m < 9$.

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(1; 2) và B(3; 1).

Ta có $\\overrightarrow{AB} = (2; -1)$.

Vecto pháp tuyến của đường thẳng đi qua A(1; 2) và B(3; 1) là $\\vec{n} = (1; 2)$

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng là: (x - 1) + 2(y - 2) = 0 hay x + 2y - 5 = 0.

Đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\({M_0}({x_0};{y_0})\\) và nhận \\(\\overrightarrow n = (a;b)\\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \\(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\\).