• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi giữa kì 2 - Đề số 7

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: GK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

b) Khi $x \\in ( - \\infty;1) \\cup (3; + \\infty)$ thì f(x) > 0.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \\infty;2)$; nghịch biến trên khoảng $(2; + \\infty)$.

d) Hệ số a > 0.

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

b) Khi $x \\in ( - \\infty;1) \\cup (3; + \\infty)$ thì f(x) > 0.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \\infty;2)$; nghịch biến trên khoảng $(2; + \\infty)$.

d) Hệ số a > 0.

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

b) Khi $x \\in ( - \\infty;1) \\cup (3; + \\infty)$ thì f(x) > 0.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \\infty;2)$; nghịch biến trên khoảng $(2; + \\infty)$.

d) Hệ số a > 0.

Quan sát đồ thị hàm số bậc hai $y = f(x) = ax^{2} + bx + c$ ở hình vẽ sau:

Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

b) Khi $x \\in ( - \\infty;1) \\cup (3; + \\infty)$ thì f(x) > 0.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \\infty;2)$; nghịch biến trên khoảng $(2; + \\infty)$.

d) Hệ số a > 0.

a) Đúng. Parabol có toạ độ đỉnh I(2; -1), trục đối xứng x = 2.

b) Đúng. Khi $x \\in ( - \\infty;1) \\cup (3; + \\infty)$ thì đồ thị nằm phía trên của trục hoành, do đó f(x) > 0.

c) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( - \\infty;2)$; đồng biến trên khoảng $(2; + \\infty)$.

d) Đúng. Đồ thị có bề lõm hướng lên trên nên hệ số a > 0.

Quan sát đặc điểm của đồ thị và trả lời.

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\\Delta$ đi qua hai điểm A(5; 0), B(0; -2) và đường thẳng $d:\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 1 - 3t} \\\\ {y = 5 + 4t} \\end{array} \\right.$. Khi đó:

a) Phương trình tổng quát của $\\Delta$ là 2x – 5y – 10 = 0.

b) $\\Delta$ cắt d.

c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $\\Delta$ và d là $\\alpha$. Ta có $50^{o} < \\alpha < 70^{o}$.

d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\\dfrac{1}{5}$.

a) Phương trình tổng quát của $\\Delta$ là 2x – 5y – 10 = 0.

b) $\\Delta$ cắt d.

c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $\\Delta$ và d là $\\alpha$. Ta có $50^{o} < \\alpha < 70^{o}$.

d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\\dfrac{1}{5}$.

a) Phương trình tổng quát của $\\Delta$ là 2x – 5y – 10 = 0.

b) $\\Delta$ cắt d.

c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $\\Delta$ và d là $\\alpha$. Ta có $50^{o} < \\alpha < 70^{o}$.

d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\\dfrac{1}{5}$.

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $\\Delta$ đi qua hai điểm A(5; 0), B(0; -2) và đường thẳng $d:\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 1 - 3t} \\\\ {y = 5 + 4t} \\end{array} \\right.$. Khi đó:

a) Phương trình tổng quát của $\\Delta$ là 2x – 5y – 10 = 0.

b) $\\Delta$ cắt d.

c) Gọi góc giữa hai đường thẳng $\\Delta$ và d là $\\alpha$. Ta có $50^{o} < \\alpha < 70^{o}$.

d) Khoảng cách từ điểm A(5; 0) đến đường thẳng d bằng $\\dfrac{1}{5}$.

a) Đúng. \\(\\overrightarrow {AB}  = ( - 5; - 2)\\) là một VTCP của \\(\\Delta \\), từ đó ta có một VTPT của \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow {{n_\\Delta }}  = (2; - 5)\\).

\\(\\Delta \\): \\(2(x - 5) - 5(y - 0) = 0 \\Leftrightarrow 2x - 5y - 10 = 0\\).

b) Đúng. d có một VTCP là \\(\\overrightarrow u  = ( - 3;4)\\), từ đó suy ra một VTPT của d là \\(\\overrightarrow {{n_d}}  = (4;3)\\).

Vì \\(\\overrightarrow {{n_\\Delta }}  = (2; - 5)\\) và \\(\\overrightarrow {{n_d}}  = (4;3)\\) không cùng phương nên \\(\\Delta \\) và d cắt nhau.

c) Sai. \\(\\cos \\alpha  = \\frac{{\\left| {2.4 - 5.3} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{( - 5)}^2}} .\\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \\frac{7}{{5\\sqrt {29} }} \\Rightarrow \\alpha  \\approx {75^o} > {70^o}\\).

d) Đúng. Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

\\(4(x - 1) + 3(y - 5) = 0 \\Leftrightarrow 4x + 3y - 19 = 0\\).

\\(d\\left( {A,d} \\right) = \\frac{{\\left| {4.5 + 3.0 - 19} \\right|}}{{\\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \\frac{1}{5}\\).

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto trong mặt phẳng.

Trong một công trình, người ta xây dựng một cổng ra vào hình parabol (minh họa ở Hình 13) sao cho khoảng cách giữa hai chân cổng BC là 9 m. Từ một điểm M trên thân cổng người ta đo được khoảng cách tới mặt đất là MK = 1,6 m và khoảng cách từ K tới chân cổng gần nhất là BK = 0,5 m. Tính chiều cao của cổng theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Gắn hệ trục tọa độ cho cổng parabol, lập phương trình parabol thể hiện cổng, từ đó tính chiều cao cổng.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Tọa độ các điểm lần lượt là: B(– 4,5; 0); C(4,5; 0).

Vì BK = 0,5 m nên OK = 4,5 – 0,5 = 4 m. Do đó M(4; 1,6).

Cổng có hình parabol nên gọi phương trình hàm số là \\(y = a{x^2} + bx + c\\) (a ≠ 0) (1).

Điểm B thuộc parabol nên thay tọa độ điểm B vào (1) ta được:

\\(a{( - 4,5)^2} + b( - 4,5) + c = 0 \\Leftrightarrow 20,25a - 4,5b + c = 0\\) (2).

Điểm C thuộc parabol nên thay tọa độ điểm C vào (1) ta được:

\\(a{( 4,5)^2} + b( 4,5) + c = 0 \\Leftrightarrow 20,25a + 4,5b + c = 0\\) (3).

Điểm M thuộc parabol nên thay tọa độ điểm M vào (1) ta được:

\\(1,6 = a{.4^2} + b.4 + c \\Leftrightarrow 16a + 4b + c = 0\\) (4).

Từ (2), (3) và (4) ta có hệ:

\\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{c}}{20,25 - 4,5b + c = 0}\\\\{20,25 + 4,5b + c = 0}\\\\{16a + 4b + c = 1,6}\\end{array} \\Leftrightarrow \\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{c}}{a =  -  \\frac{{32}}{{85}}}\\\\{b = 0}\\\\{c = \\frac{{648}}{{85}}}\\end{array}} \\right.} \\right.\\)

Suy ra parabol cần tìm là \\(y = \\frac{{ - 32}}{{85}}{x^2} + \\frac{{648}}{{85}}\\).

Điểm N là điểm đỉnh của parabol thuộc vào trục tung Oy nên hoành độ điểm N bằng 0.

Thay x = 0 vào hàm số ta được \\(y = \\frac{{648}}{{85}}\\), đó cũng chính là chiều cao của cổng.

Vậy chiều cao của cổng khoảng 7,6 m.

Người ta làm ra một cái thang bắc lên tầng hai của một ngôi nhà (hình vẽ), muốn vậy họ cần làm một thanh đỡ BC có chiều dài bằng 4 m, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật thì tỉ số độ dài $\\frac{CE}{BD} = \\frac{5}{3}$. Hỏi vị trí A cách vị trí B bao nhiêu mét?

Áp dụng định lí Thales, ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để tính.

Đặt AB = x > 0. Xét tam giác ABC vuông tại B có:

$AC = \\sqrt{x^2 + 4^2} = \\sqrt{x^2 + 16}$.

Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có:

$\\frac{AC}{AB} = \\frac{CE}{BD} \\Leftrightarrow \\frac{\\sqrt{x^2 + 16}}{x} = \\frac{5}{3}$

$\\Leftrightarrow 3\\sqrt{x^2 + 16} = 5x$

$\\Leftrightarrow \\begin{cases} 5x \\geq 0 \\\\ 9(x^2 + 16) = 25x^2 \\end{cases}$

$\\Leftrightarrow \\begin{cases} x \\geq 0 \\\\ 16x^2 = 144 \\end{cases}$

$\\Leftrightarrow x = 3$.

Vậy hai vị trí A, B cách nhau 3 m.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(0; 2), B(4; 3), giao điểm hai đường chéo nằm trên đường thẳng $\\Delta : x - 3y = 0$. Khi đó có bao nhiêu điểm C có tọa độ nguyên?

Biểu diễn tọa độ điểm I, $\\vec{IA}$, $\\vec{IA}$ theo t. Vì ABCD là hình thoi nên $\\vec{IA}.\\vec{IB} = 0$, tìm t và kết luận tọa độ điểm C.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo. Vì I thuộc $\\Delta$ nên giả sử I(3t; t).

Khi đó IA = (-3t; 2 - t), IB = (4 - 3t; 3 - t).

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên $\\overrightarrow{IA} . \\overrightarrow{IB} = 0$

$\\Leftrightarrow (-3t)(4 - 3t) + (2 - t)(3 - t) = 0$

$\\Leftrightarrow 10t^2 - 17t + 6 = 0$.

Suy ra $t = \\frac{1}{2}$ hoặc $t = \\frac{6}{5}$.

Với $t = \\frac{1}{2}$ ta có:

$I\\left(\\frac{3}{2}; \\frac{1}{2}\\right) \\Rightarrow C(3; -1)$ (nhận).

Với $t = \\frac{6}{5}$ ta có:

$I\\left(\\frac{18}{5}; \\frac{6}{5}\\right) \\Rightarrow C\\left(\\frac{36}{5}; \\frac{2}{5}\\right)$ (loại).

Vậy có 1 điểm C có tọa độ nguyên.

Có hai con tàu A, B xuất phát từ hai bến, chuyển động theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra-đa của trạm điều khiển (xem như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính bằng ki-lô-met), tại thời điểm t (giờ), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức $\\begin{cases} x = 3 - 33t \\\\ y = -4 + 25t \\end{cases}$; vị trí tàu B có tọa độ là (4 - 30t; 3 - 40t). Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu kilômét?

Biểu diễn vị trí tàu B và tính khoảng cách giữa hai tàu theo t. Tìm t để khoảng cách đó nhỏ nhất.

Khi tàu A đứng yên, vị trí ban đầu của nó có tọa độ P(3; -4); vị trí tàu B ứng với thời gian t là Q(4 - 30t; 3 - 40t).

$PQ = \\sqrt{(1 - 30t)^2 + (7 - 40t)^2} $

$= \\sqrt{2500t^2 - 620t + 50}$.

Đoạn PQ ngắn nhất ứng với:

$t = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{620}{2 . 2500} = -\\frac{31}{500} = 0,124$ (giờ).

$PQ_{\\text{min}} = \\sqrt{2500 . (0,124)^2 - 620 . (0,124) + 50}$

$= \\frac{17}{5} = 3,4$ (km).

Xét dấu tam thức $2x^{2} - 6x + \\dfrac{9}{2}$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\\Delta = 0$, nghiệm kép $x_{0} = \\dfrac{3}{2}$ và hệ số a = 2 > 0 nên $2x^{2} - 6x + \\dfrac{9}{2} > 0$ $\\forall x \\in {\\mathbb{R}}\\backslash\\left\\{ \\dfrac{3}{2} \\right\\}$.

Tìm m để $f(x) = - x^{2} + 2\\left( {m - 3} \\right)x - 9 < 0$ với mọi x.

YCĐB \\( \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}\\Delta ' < 0\\\\a < 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{(m - 3)^2} - 9\\\\a =  - 1 < 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow {m^2} - 6m < 0 \\Leftrightarrow 0 < m < 6\\).

Áp dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm M(-2; 3), N(4; -1). Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN và sau đó viết phương trình đường trung trục của đoạn MN.

I là trung điểm MN $\\Rightarrow I(1;1)$.

Phương trình đường trung trực của đoạn $MN$ qua $I(1;1)$ nhận $\\overrightarrow{MN} = (6;-4)$ là vectơ pháp tuyến có dạng:

$6(x-1) - 4(y-1) = 0 \\Leftrightarrow 3x - 2y - 1 = 0$.

Nếu \\(M({x_M};{y_M})\\) là trung điểm đoạn thẳng AB thì \\({x_M} = \\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\); \\({y_M} = \\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\).

Đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\({M_0}({x_0};{y_0})\\) và nhận \\(\\overrightarrow n = (a;b)\\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \\(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0\\).