• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi giữa kì 2 - Đề số 8

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: GK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

b) $ \\forall x < 0\\Rightarrow y > 2$.

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

d) (P) đi qua điểm $M\\left( {3;\\,\\dfrac{- 1}{4}} \\right)$.

a) (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

b) $ \\forall x < 0\\Rightarrow y > 2$.

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

d) (P) đi qua điểm $M\\left( {3;\\,\\dfrac{- 1}{4}} \\right)$.

a) (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

b) $ \\forall x < 0\\Rightarrow y > 2$.

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

d) (P) đi qua điểm $M\\left( {3;\\,\\dfrac{- 1}{4}} \\right)$.

Cho hàm số bậc hai $y = ax^{2} + bx + c$ (P) có đồ thị như hình vẽ. Biết thêm giao điểm của đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng 2.

a) (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

b) $ \\forall x < 0\\Rightarrow y > 2$.

c) (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

d) (P) đi qua điểm $M\\left( {3;\\,\\dfrac{- 1}{4}} \\right)$.

a) Sai. (P) có tung độ đỉnh bằng 2.

b) Đúng. $ \\forall x < 0\\Rightarrow y > 2$.

c) Sai. (P) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ trái dấu.

d) Đúng. (P) đi qua điểm có tọa độ (0; 2) và đỉnh có tọa độ (2; -1), ta có hệ:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}2 = a{.0^2} + b.0 + c\\\\ - 1 = a{.2^2} + b.2 + c\\\\ - \\frac{b}{{2a}} = 2\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a = \\frac{3}{4}\\\\b =  - 3\\\\c = 2\\end{array} \\right.\\)

\\( \\Rightarrow (P):y = \\frac{3}{4}{x^2} - 3x + 2\\).

Ta có \\(\\frac{3}{4}{.3^2} - 3.3 + 2 =  - \\frac{1}{4}\\). Vậy (P) đi qua M.

Quan sát đồ thị và trả lời. Từ các điểm thuộc đồ thị, tìm hệ số a, b, c. Thay tọa độ điểm M vào phương trình của (P), nếu thỏa mãn thì (P) đi qua M.

Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\\Delta_{1}:2x - y + 3 = 0$ và $\\Delta_{2}:5x + y - 1 = 0$.

Xét tính đúng - sai của các khẳng định sau:

a) $\\Delta_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n}\\left( {2; - 1} \\right)$.

b) $\\Delta_{2}$ có một véctơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{u}\\left( {5;1} \\right)$.

c) Côsin góc giữa hai đường thẳng $\\Delta_{1}\\ $và $\\Delta_{2}$ bằng $~\\dfrac{9\\sqrt{130}}{130}$.

d) Điểm $M\\left( {x_{0};y_{0}} \\right)$ (hoành độ là số nguyên) thuộc đường thẳng $\\Delta_{2}$. Biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\\Delta_{1}$ bằng $\\sqrt{5}$. Giá trị $x_{0} + y_{0} = - \\dfrac{5}{7}$.

a) $\\Delta_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n}\\left( {2; - 1} \\right)$.

b) $\\Delta_{2}$ có một véctơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{u}\\left( {5;1} \\right)$.

c) Côsin góc giữa hai đường thẳng $\\Delta_{1}\\ $và $\\Delta_{2}$ bằng $~\\dfrac{9\\sqrt{130}}{130}$.

d) Điểm $M\\left( {x_{0};y_{0}} \\right)$ (hoành độ là số nguyên) thuộc đường thẳng $\\Delta_{2}$. Biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\\Delta_{1}$ bằng $\\sqrt{5}$. Giá trị $x_{0} + y_{0} = - \\dfrac{5}{7}$.

a) $\\Delta_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n}\\left( {2; - 1} \\right)$.

b) $\\Delta_{2}$ có một véctơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{u}\\left( {5;1} \\right)$.

c) Côsin góc giữa hai đường thẳng $\\Delta_{1}\\ $và $\\Delta_{2}$ bằng $~\\dfrac{9\\sqrt{130}}{130}$.

d) Điểm $M\\left( {x_{0};y_{0}} \\right)$ (hoành độ là số nguyên) thuộc đường thẳng $\\Delta_{2}$. Biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\\Delta_{1}$ bằng $\\sqrt{5}$. Giá trị $x_{0} + y_{0} = - \\dfrac{5}{7}$.

Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\\Delta_{1}:2x - y + 3 = 0$ và $\\Delta_{2}:5x + y - 1 = 0$.

Xét tính đúng - sai của các khẳng định sau:

a) $\\Delta_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n}\\left( {2; - 1} \\right)$.

b) $\\Delta_{2}$ có một véctơ chỉ phương là $\\overset{\\rightarrow}{u}\\left( {5;1} \\right)$.

c) Côsin góc giữa hai đường thẳng $\\Delta_{1}\\ $và $\\Delta_{2}$ bằng $~\\dfrac{9\\sqrt{130}}{130}$.

d) Điểm $M\\left( {x_{0};y_{0}} \\right)$ (hoành độ là số nguyên) thuộc đường thẳng $\\Delta_{2}$. Biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\\Delta_{1}$ bằng $\\sqrt{5}$. Giá trị $x_{0} + y_{0} = - \\dfrac{5}{7}$.

a) Đúng. $\\Delta_{1}$ có một véctơ pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n}\\left( {2; - 1} \\right)$.

b) Sai. $\\overset{\\rightarrow}{u}\\left( {5;1} \\right)$ là một vecto pháp tuyến của $\\Delta_{2}$.

c) Đúng. \\(\\cos \\left( {{\\Delta _1},{\\Delta _2}} \\right) = \\left| {\\cos \\left( {{n_1},{n_2}} \\right)} \\right|\\)

\\( = \\frac{{\\left| {2.5 - 1.1} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} .\\sqrt {{5^2} + {1^2}} }} = \\frac{{9\\sqrt {130} }}{{130}}\\).

d) Sai. M thuộc \\({\\Delta _2}\\) nên ta có \\(M\\left( {{x_0};1 - 5{x_0}} \\right)\\).

\\(d\\left( {M,{\\Delta _1}} \\right) = \\sqrt 5  \\Leftrightarrow \\frac{{\\left| {2{x_0} - (1 - 5{x_0}) + 3} \\right|}}{{\\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \\sqrt 5 \\)

\\( \\Leftrightarrow \\left| {7{x_0} + 2} \\right| = 5 \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}{x_0} = \\frac{3}{7}\\\\{x_0} =  - 1\\end{array} \\right.\\)

Vì hoành độ M nguyên nên \\({x_0} =  - 1 \\Rightarrow {y_0} = 1 - 5.( - 1) = 6\\).

Vậy \\({x_0} + {y_0} =  - 1 + 6 = 5\\).

Áp dụng các công thức liên quan đến phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ.

Một cửa hàng nhập vào một loại máy tính xách tay với giá 15 triệu đồng và bán ra với giá 18 triệu đồng. Với giá bán này, một tháng cửa hàng đó bán được 20 cái máy tính xách tay. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi máy 500.000 đồng thì số máy tính bán được trong một tháng tăng thêm 5 cái. Xác định giá bán mỗi cái máy tính để lợi nhuận thu được là cao nhất (đơn vị: triệu đồng).

Gọi số lần giảm giá là \\(x\\) \\(\\left( {x \\in \\mathbb{N}} \\right)\\).

Biểu diễn lợi nhuận f(x) của cửa hàng theo \\(x\\).

Tìm \\(x\\) để f(x) đạt giá trị lớn nhất.

Gọi số lần giảm giá là \\(x\\) \\(\\left( {x \\in \\mathbb{N}} \\right)\\).

Giá bán một máy tính khi đó là \\(18 - 0,5x\\) (triệu đồng).

Số máy tính bán được là \\(20 + 5x\\) (chiếc).

Doanh thu trong một tháng là:

\\(\\left( {18 - 0,5x} \\right)\\left( {20 + 5x} \\right) =  - 2,5{x^2} + 80x + 360\\) (triệu đồng).

Chi phí nhập máy tính là:

\\(15\\left( {20 + 5x} \\right) = 75x + 300\\) (triệu đồng).

Lợi nhuận của cửa hàng là:

\\(\\left( { - 2,5{x^2} + 80x + 360} \\right) - \\left( {75x + 300} \\right)\\)

\\( =  - 2,5{x^2} + 5x + 60 = f(x)\\).

Lợi nhuận lớn là là giá trị lớn nhất của f(x).

Đồ thị f(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (vì a = -2,5 < 0), do đó giá trị lớn nhất của f(x) là tung độ đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh parabol là:

\\(x =  - \\frac{b}{{2a}} =  - \\frac{5}{{2.( - 2,5)}} = 1\\).

Vậy khi x = 1 hay giá bán mỗi máy tính là 17,5 triệu đồng thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng cách AB = 6 km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 15 km. Để nhận lương thực và các nhu yếu phẩm mỗi tháng người canh hải đăng phải đi xuống máy từ A đến bến tàu M trên bờ biển với vận tốc 10 km/h rồi đi xe gắn máy đến C với vận tốc 30 km/h (xem hình vẽ).

Tính tổng quãng đường (km) người đó phải đi, biết rằng thời gian đi từ A đến C là 1 giờ 14 phút.

Gọi AM = x. Tính thời gian người đó đi theo x và ứng dụng giải phương trình quy về phương trình bậc hai để giải.

Ta có 1 giờ 14 phút = $\\frac{37}{30}$ giờ. Gọi AM = x (km; x > 6).

Suy ra thời gian đi từ A đến M là $\\frac{x}{10}$ (giờ).

Khi đó $BM = \\sqrt{x^2 - 36}$ và $CM = 15 - \\sqrt{x^2 - 36}$ (km).

Thời gian đi từ M đến C là $\\frac{15 - \\sqrt{x^2 - 36}}{30}$ (giờ).

Theo giả thiết ta có phương trình:

$\\frac{x}{10} + \\frac{15 - \\sqrt{x^2 - 36}}{30} = \\frac{37}{30}$.

Giải phương trình ta được x = 10 (km).

Do đó tổng quãng đường phải đi là:

$AM + MC = 10 + \\left(15 - \\sqrt{10^2 - 36}\\right) = 17$ (km).

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\\Delta: \\begin{cases} x = 3 + 2t \\\\ y = -t \\end{cases}$ và điểm A(3; 10). Điểm M(a; b) thuộc đường thẳng $\\Delta$ sao cho đoạn thẳng AM ngắn nhất. Tính S = a + b.

Biểu diễn tọa độ điểm M và độ dài AM theo t. Tìm t để AM nhỏ nhất.

$M \\in \\Delta \\Rightarrow M(3+2t;-t)$

$\\Rightarrow \\overrightarrow{AM} = (2t;-t-10)$.

$AM = \\sqrt{(2t)^2 + (-t-10)^2}$

$= \\sqrt{5t^2 + 20t + 100}$

$= \\sqrt{5(t+2)^2 + 80} \\geq \\sqrt{80} = 4\\sqrt{5}$.

Vậy AM ngắn nhất là $4\\sqrt{5}$ khi $t = -2 $

$\\Rightarrow M(-1;2) \\Rightarrow S = 1$.

Một chiếc Phà chở khách qua sông từ điểm A(3; 4) đến điểm B(3; 50) bên kia sông. Nhưng vì có gió và nước chảy mạnh nên chiếc Phà qua bên kia sông tại điểm C(38; 50). Góc lệch của con thuyền với lúc dự tính ban đầu là bao nhiêu độ? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Tìm vectơ pháp tuyến của AB, AC và áp dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng.

$\\overrightarrow{AB} = (0;46)$, suy ra vectơ pháp tuyến của AB là $n_{AB} = (1;0)$.

$\\overrightarrow{AC} = (35;46)$, suy ra vectơ pháp tuyến của AC là: $n_{AC} = (46;-35)$.

$\\cos A = \\cos(AB, AC) = \\frac{|1.46 + 0.(-35)|}{\\sqrt{1^2 + 0^2} . \\sqrt{46^2 + (-35)^2}} = \\frac{46}{\\sqrt{3341}} $

$\\Rightarrow \\widehat{A} \\approx 37^o$.

Xét dấu tam thức $3x^{2} - 2x - 8$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai.

Ta có $\\left. 3x^{2} - 2x - 8 = 0\\Leftrightarrow\\left\\lbrack \\begin{array}{l}\n{x = - \\dfrac{4}{3}} \\\\\n{x = 2}\n\\end{array} \\right. \\right.$

Bảng xét dấu:

Suy ra $\\left. 3x^{2} - 2x - 8 > 0\\Leftrightarrow x \\in \\left( {- \\infty; - \\dfrac{4}{3}} \\right) \\cup \\left( {2; + \\infty} \\right) \\right.$ và $\\left. 3x^{2} - 2x - 8 < 0\\Leftrightarrow x \\in \\left( {- \\dfrac{4}{3};2} \\right) \\right.$.

Tìm m sao cho: $- x^{2} + 2(m + 1)x - m^{2} + m < 0$ với mọi $x \\in {\\mathbb{R}}$.

Xét tam thức bậc hai $f(x) = -x^2 + 2(m+1)x - m^2 + m$ có:

$\\Delta' = (m+1)^2 - (-1) \\cdot (-m^2 + m) = 3m + 1$ và $a = -1 < 0$.

Để $f(x) < 0$ với mọi $x \\in \\mathbb{R}$ thì $\\Delta' = 3m + 1 < 0$ suy ra $m < \\frac{-1}{3}$.

Áp dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai để giải.

Trong mặt phẳng \\(Oxy\\), cho đường thẳng d có phương trình \\(y =  - 2x + 3\\). Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d.

+ Phương trình \\(y =  - 2x + 3 \\Rightarrow \\) phương trình tổng quát \\(2x + y - 3 = 0\\)

+ Phương trình \\(2x + y - 3 = 0\\) có vetor pháp tuyến là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {2;1} \\right) \\Rightarrow \\overrightarrow u  = \\left( {1; - 2} \\right)\\)

Phương trình d có \\(\\overrightarrow u (1; - 2)\\) và đi qua điểm \\(A\\left( {0;3} \\right)\\)

Suy ra, phương trình tham số của đường thẳng d: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = t\\\\y = 3 - 2t\\end{array} \\right.\\)

+ Phương trình tổng quát đường thẳng đi qua \\(M\\left( {{x_1},{y_1}} \\right)\\) nhận \\(\\overrightarrow {{a_1}}  = \\left( {a;b} \\right)\\) là vecto pháp tuyến là: \\(a\\left( {x - {x_1}} \\right) + b\\left( {y - {y_1}} \\right) = 0\\)

+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \\(A\\left( {a,b} \\right)\\), nhận \\(\\overrightarrow v  = \\left( {c,d} \\right)\\) là vecto chỉ phương: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = a + ct\\\\y = b + dt\\end{array} \\right.\\)