• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề khảo sát chất lượng môn Toán cụm 9 Hà Nội 2025 - 2026 - Đợt 2

Số câu: 22 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: Toán THPT

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) A và B là 2 biến cố độc lập với nhau.

b) Xác suất để đồng thời cả hai hộp đều lấy được 2 viên bi màu xanh bằng $\\frac{1}{140}$.

c) Xác suất để chọn được ít nhất 1 viên bi màu đỏ ở hộp thứ nhất bằng $\\frac{25}{28}$.

d) Tổng số viên bi màu đỏ ở hai hộp bằng 8.

a) A và B là 2 biến cố độc lập với nhau.

b) Xác suất để đồng thời cả hai hộp đều lấy được 2 viên bi màu xanh bằng $\\frac{1}{140}$.

c) Xác suất để chọn được ít nhất 1 viên bi màu đỏ ở hộp thứ nhất bằng $\\frac{25}{28}$.

d) Tổng số viên bi màu đỏ ở hai hộp bằng 8.

a) A và B là 2 biến cố độc lập với nhau.

b) Xác suất để đồng thời cả hai hộp đều lấy được 2 viên bi màu xanh bằng $\\frac{1}{140}$.

c) Xác suất để chọn được ít nhất 1 viên bi màu đỏ ở hộp thứ nhất bằng $\\frac{25}{28}$.

d) Tổng số viên bi màu đỏ ở hai hộp bằng 8.

Hộp thứ nhất có 8 viên bi gồm màu xanh và màu đỏ, hộp thứ hai có 2 viên bi màu xanh và một số viên bi màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 viên bi. Gọi A là biến cố \"Chọn được 2 viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất\" và B là biến cố \"Chọn được 2 viên bi màu xanh ở hộp thứ hai\". Biết $P(A) = \\frac{3}{28}$ và $P(B) = \\frac{1}{15}$. Khi đó:

a) A và B là 2 biến cố độc lập với nhau.

b) Xác suất để đồng thời cả hai hộp đều lấy được 2 viên bi màu xanh bằng $\\frac{1}{140}$.

c) Xác suất để chọn được ít nhất 1 viên bi màu đỏ ở hộp thứ nhất bằng $\\frac{25}{28}$.

d) Tổng số viên bi màu đỏ ở hai hộp bằng 8.

a) Đúng. A và B là 2 biến cố độc lập với nhau.

b) Đúng. AB là biến cố \"Cả hai hộp đều lấy được 2 viên bi xanh\".

Ta có: $P(AB) = P(A)P(B) = \\frac{1}{140}$.

c) Đúng. $A$ là biến cố \"Chọn được 2 viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất\"

$\\Rightarrow \\overline{A}$ là biến cố \"Chọn được ít nhất 1 viên bi màu đỏ ở hộp thứ nhất\".

Xác suất cần tìm là $P(\\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \\frac{3}{28} = \\frac{25}{28}$.

d) Sai. Giả sử ở hộp thứ nhất có x viên bi xanh, điều kiện x < 8 và $x \\in \\mathbb{N}^*$;

Phép thử: \"Chọn 2 viên bi từ hộp thứ nhất\".

$n(\\Omega) = C_8^2$ và $n(A) = C_x^2 = \\frac{x!}{2!(x-2)!} = \\frac{x(x-1)}{2}$.

Mặt khác $P(A) = \\frac{3}{28} \\Leftrightarrow \\frac{x(x-1)}{56} = \\frac{3}{28} \\Leftrightarrow x = 3$;

Do đó trong hộp thứ nhất có 3 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu đỏ.

Giả sử ở hộp thứ hai có y viên bi, điều kiện y > 2 và $y \\in \\mathbb{N}$.

Phép thử: \"Chọn 2 viên bi từ hộp thứ hai\".

Ta có $n(\\Omega) = C_y^2 = \\frac{y(y-1)}{2}$ và $n(B) = C_2^2 = 1$.

Mặt khác $P(B) = \\frac{1}{15} \\Leftrightarrow \\frac{2}{y(y-1)} = \\frac{1}{15} \\Leftrightarrow y = 6$.

Do đó trong hộp thứ hai có 2 viên bi màu xanh và 4 viên bi màu đỏ.

Tổng số bi đỏ ở cả hai hộp là 9.

Áp dụng phương pháp tổ hợp.

Trong buổi tổng duyệt văn nghệ tại sân trường, một drone được sử dụng để ghi hình toàn cảnh. Trong 15 giây đầu kể từ khi cất cánh, do hệ thống tự động điều chỉnh lực đẩy để tiết kiệm pin, độ cao của drone (tính bằng mét) tại thời điểm t giây, được mô tả gần đúng bởi $h(t) = -0,05t^3 + 0,6t^2 + 3t$ ($0 \\leq t \\leq 15$). Cùng thời điểm đó, một thang nâng sân khấu bắt đầu nâng thẳng đứng từ mặt sân với vận tốc không đổi 1 m/s.

a) Vận tốc của drone tại thời điểm $t$ là $v(t) = -0,15t^2 + 1,2t + 3$.

b) Drone luôn bay lên trong 12 giây đầu.

c) Trong khoảng $0 < t \\leq 15$, drone và thang nâng ở cùng độ cao đúng 1 lần.

d) Độ cao lớn nhất mà drone đạt được trong 15 giây đầu không vượt quá 39 m.

a) Vận tốc của drone tại thời điểm $t$ là $v(t) = -0,15t^2 + 1,2t + 3$.

b) Drone luôn bay lên trong 12 giây đầu.

c) Trong khoảng $0 < t \\leq 15$, drone và thang nâng ở cùng độ cao đúng 1 lần.

d) Độ cao lớn nhất mà drone đạt được trong 15 giây đầu không vượt quá 39 m.

a) Vận tốc của drone tại thời điểm $t$ là $v(t) = -0,15t^2 + 1,2t + 3$.

b) Drone luôn bay lên trong 12 giây đầu.

c) Trong khoảng $0 < t \\leq 15$, drone và thang nâng ở cùng độ cao đúng 1 lần.

d) Độ cao lớn nhất mà drone đạt được trong 15 giây đầu không vượt quá 39 m.

Trong buổi tổng duyệt văn nghệ tại sân trường, một drone được sử dụng để ghi hình toàn cảnh. Trong 15 giây đầu kể từ khi cất cánh, do hệ thống tự động điều chỉnh lực đẩy để tiết kiệm pin, độ cao của drone (tính bằng mét) tại thời điểm t giây, được mô tả gần đúng bởi $h(t) = -0,05t^3 + 0,6t^2 + 3t$ ($0 \\leq t \\leq 15$). Cùng thời điểm đó, một thang nâng sân khấu bắt đầu nâng thẳng đứng từ mặt sân với vận tốc không đổi 1 m/s.

a) Vận tốc của drone tại thời điểm $t$ là $v(t) = -0,15t^2 + 1,2t + 3$.

b) Drone luôn bay lên trong 12 giây đầu.

c) Trong khoảng $0 < t \\leq 15$, drone và thang nâng ở cùng độ cao đúng 1 lần.

d) Độ cao lớn nhất mà drone đạt được trong 15 giây đầu không vượt quá 39 m.

a) Đúng. Vận tốc của drone là $v(t) = h'(t) = -0,15t^2 + 1,2t + 3$.

b) Sai. Drone luôn bay lên khi vận tốc dương: $v(t) > 0 $

$\\Leftrightarrow h'(t) > 0 \\Leftrightarrow -0,15t^2 + 1,2t + 3 > 0 \\Leftrightarrow -2 < t < 10$.

c) Đúng. Thang nâng từ mặt sân với vận tốc không đổi 1 m/s nên độ cao của thang nâng: $g(t) = t$

Drone và thang nâng cùng độ cao: $h(t) = g(t)$

$ \\Leftrightarrow -0,05t^3 + 0,6t^2 + 3t = t $

$\\Leftrightarrow -0,05t^3 + 0,6t^2 + 2t = 0$

$\\Leftrightarrow \\left[
\\begin{aligned}
t &= 0 \\ (l) \\\\
t &= 6 + \\sqrt{76} \\ (tm) \\\\
t &= 6 - \\sqrt{76} \\ (l)
\\end{aligned}
\\right.$

Drone và thang nâng cùng độ cao đúng 1 lần.

d) Sai. $h'(t) = 0 \\Leftrightarrow -0,15t^2 + 1,2t + 3 = 0 $

$\\Leftrightarrow \\left[
\\begin{aligned}
t &= 10 \\in (0;15) \\\\
t &= -2 \\notin (0;15)
\\end{aligned}
\\right.$

Ta có h(0) = 0; h(10) = 40; h(15) = 11,25.

Độ cao lớn nhất của drone là 40 m > 39 m.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1 m. Ô tô A đang chạy với vận tốc 15 m/s thì gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ phía trước. Người lái xe A đạp phanh và ô tô A chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 15 - 3t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu đạp phanh.

a) Quãng đường ô tô A đi được sau khi đạp phanh 2 giây là 24 m.

b) Kể từ lúc đạp phanh, sau thời gian t = 5 giây thì ô tô A dừng lại.

c) Quãng đường ô tô A đi được từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn được tính bởi công thức $s = \\int_{0}^{4} (15 - 3t)dt$.

d) Để đảm bảo khoảng cách an toàn tối thiểu 1 m với ô tô B khi dừng lại, ô tô A phải bắt đầu đạp phanh khi còn cách ô tô B một khoảng tối thiểu là 37,5 m.

a) Quãng đường ô tô A đi được sau khi đạp phanh 2 giây là 24 m.

b) Kể từ lúc đạp phanh, sau thời gian t = 5 giây thì ô tô A dừng lại.

c) Quãng đường ô tô A đi được từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn được tính bởi công thức $s = \\int_{0}^{4} (15 - 3t)dt$.

d) Để đảm bảo khoảng cách an toàn tối thiểu 1 m với ô tô B khi dừng lại, ô tô A phải bắt đầu đạp phanh khi còn cách ô tô B một khoảng tối thiểu là 37,5 m.

a) Quãng đường ô tô A đi được sau khi đạp phanh 2 giây là 24 m.

b) Kể từ lúc đạp phanh, sau thời gian t = 5 giây thì ô tô A dừng lại.

c) Quãng đường ô tô A đi được từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn được tính bởi công thức $s = \\int_{0}^{4} (15 - 3t)dt$.

d) Để đảm bảo khoảng cách an toàn tối thiểu 1 m với ô tô B khi dừng lại, ô tô A phải bắt đầu đạp phanh khi còn cách ô tô B một khoảng tối thiểu là 37,5 m.

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu 1 m. Ô tô A đang chạy với vận tốc 15 m/s thì gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ phía trước. Người lái xe A đạp phanh và ô tô A chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = 15 - 3t (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu đạp phanh.

a) Quãng đường ô tô A đi được sau khi đạp phanh 2 giây là 24 m.

b) Kể từ lúc đạp phanh, sau thời gian t = 5 giây thì ô tô A dừng lại.

c) Quãng đường ô tô A đi được từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng hẳn được tính bởi công thức $s = \\int_{0}^{4} (15 - 3t)dt$.

d) Để đảm bảo khoảng cách an toàn tối thiểu 1 m với ô tô B khi dừng lại, ô tô A phải bắt đầu đạp phanh khi còn cách ô tô B một khoảng tối thiểu là 37,5 m.

a) Đúng. $s = \\int_{0}^{2} v(t)dt = \\int_{0}^{2} (15 - 3t)dt = (15t - \\frac{3t^2}{2}) \\bigg|_{0}^{2} = 24$ (m).

b) Đúng. Để tìm thời điểm ô tô dừng lại, ta giải phương trình v(t) = 0.

Vậy ô tô dừng lại sau 5 giây kể từ lúc đạp phanh.

c) Sai. Quãng đường s là tích phân của vận tốc theo thời gian từ thời điểm bắt đầu (t = 0) đến thời điểm dừng lại (t = 5).

$s = \\int_{0}^{5} v(t)dt = \\int_{0}^{5} (15 - 3t) dt$.

d) Sai. Quãng đường ô tô A đi được từ lúc phanh đến khi dừng hẳn:

$s = \\int_{0}^{5} v(t)dt = \\int_{0}^{5} (15 - 3t) dt = (15t - \\frac{3t^2}{2}) \\bigg|_{0}^{5} = 37,5$ (m).

Theo quy định an toàn, khi dừng lại ô tô A phải cách ô tô B tối thiểu 1 m.

Khoảng cách tối thiểu từ xe A đến xe B tại thời điểm bắt đầu đạp phanh phải là: $d_{\\text{min}} = 37,5 + 1 = 38,5$ (m).

Ứng dụng tích phân để giải.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -3; 2), B(-2; 1; -3).

a) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z + 2 = 0.

b) Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

c) Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (P), khi đó độ dài đoạn thẳng AH bằng 6.

d) Xét hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của |AM - BN| bằng 7.

a) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z + 2 = 0.

b) Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

c) Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (P), khi đó độ dài đoạn thẳng AH bằng 6.

d) Xét hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của |AM - BN| bằng 7.

a) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z + 2 = 0.

b) Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

c) Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (P), khi đó độ dài đoạn thẳng AH bằng 6.

d) Xét hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của |AM - BN| bằng 7.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -3; 2), B(-2; 1; -3).

a) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z + 2 = 0.

b) Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

c) Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng (P), khi đó độ dài đoạn thẳng AH bằng 6.

d) Xét hai điểm M, N thay đổi thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MN = 1. Giá trị lớn nhất của |AM - BN| bằng 7.

a) Sai. (P) // (Oxy) $\\Rightarrow (P): z + d = 0$.

$A(1; -3; 2) \\in (P) \\Rightarrow d = -2$.

$\\Rightarrow (P): z - 2 = 0$.

b) Đúng. Điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (Oxy) là B'(-2; 1; 3).

c) Sai. $BH = d(B; (P)) = 5$, $AB = 5\\sqrt{2}$, $AH = \\sqrt{AB^2 - HB^2} = 5$.

d) Sai. Nhận xét: A, B khác phía đối với mặt phẳng (Oxy).

Gọi K là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho AMNK là hình bình hành.

$|AM - BN| = |AM - B'N| = |KN - B'N| \\leq KB'$.

Dấu bằng xảy ra $\\Leftrightarrow B'$ thuộc đoạn thẳng KN.

$KB' = \\sqrt{B'H^2 + HK^2} \\leq \\sqrt{B'H^2 + (HA + AK)^2}$.

Dấu bằng xảy ra $\\Leftrightarrow A$ thuộc đoạn thẳng KH.

$B'H = d(B'(P)) = 1$; HA = 5; AK = MN = 1

$\\Rightarrow |AM - BN| \\leq KB' \\leq \\sqrt{1^2 + (5+1)^2} = \\sqrt{37}$.

Dấu bằng xảy ra $\\Leftrightarrow$ A thuộc đoạn thẳng KH và B' thuộc đoạn thẳng KN. Tìm được K $\\Rightarrow$ xác định được M, N.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto, phương trình mặt phẳng trong không gian.

Lớp 10C có 45 học sinh trong đó có 25 em thích môn Văn, 20 em thích môn Toán, 18 em thích môn Sử, 6 em không thích môn nào, 5 em thích cả ba môn. Có bao nhiêu học sinh thích chỉ một trong ba môn học trên?

Sử dụng biểu đồ Venn.

Gọi a, b, c theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán.

x là số học sinh chỉ thích hai môn là Văn và Toán.

y là số học sinh chỉ thích hai môn là Sử và Toán.

z là số học sinh chỉ thích hai môn là Văn và Sử.

Ta có số học sinh thích ít nhất một môn là 45 – 6 = 39 (học sinh).

Ta có biểu đồ Venn:

Dựa vào biểu đồ Venn ta có hệ phương trình $\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{a + x + z + 5 = 25} \\\\\n{b + y + z + 5 = 18} \\\\\n{c + x + y + 5 = 20} \\\\\n{x + y + z + a + b + c + 5 = 39}\n\\end{array} \\right.\\begin{matrix}\n \\\\\n \\\\\n \\\\\n\n\\end{matrix}\\begin{matrix}\n{(1)} \\\\\n{(2)} \\\\\n{(3)} \\\\\n{(4)}\n\\end{matrix}$.

Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có: $a + b + c + 2(x + y + z) + 15 = 63$ (5).

Từ (4) và (5) ta có: $a + b + c + 2(39 - 5 - a - b - c) + 15 = 63$

$\\left. \\Leftrightarrow a + b + c = 20 \\right.$.

Vậy chỉ có 20 em thích chỉ một môn trong ba môn trên.

Một hộp chứa 100 cái thẻ được đánh số thứ tự liên tiếp từ 1 đến 100. Hai thẻ khác nhau thì đánh số thứ tự khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ trong hộp. Có bao nhiêu cách chọn 3 thẻ có số thứ tự lập thành cấp số cộng, đồng thời có tổng không vượt quá 150?

Sử dụng tính chất của cấp số cộng, liệt kê các trường hợp và áp dụng công thức tổng n số hạng đầu của cấp số cộng để tính số kết quả.

Giả sử các số trên 3 thẻ lập thành cấp số cộng với số hạng đầu là a, công sai d, với $a \\in {\\mathbb{N}}^{*}$, $d \\in {\\mathbb{N}}^{*}$.

Tổng các số trên 3 thẻ không vượt quá 150 nên ta có $a + a + d + a + 2d \\leq 150$ $\\left. \\Leftrightarrow a + d \\leq 50 \\right.$.

Vì $a \\in {\\mathbb{N}}^{*}$, $d \\in {\\mathbb{N}}^{*}$.

+) Với d = 1 thì $a \\leq 49$, với mỗi số tự nhiên $a \\in {\\mathbb{N}}^{*}$ ta có 1 cấp số cộng. Do đó trường hợp này ta thu được 49 cấp số cộng thỏa mãn.

+) Với d = 2 thì $a \\leq 48$, với mỗi số tự nhiên $a \\in {\\mathbb{N}}^{*}$ ta có 1 cấp số cộng. Do đó trường hợp này ta thu được 48 cấp số cộng thỏa mãn.

….

Cứ tiếp tục như vậy khi d = 49 thì $a \\leq 1$, trường hợp này có 1 cấp số cộng thỏa mãn.

Do đó số cách chọn thỏa mãn là:

$49 + 48 + \\ldots + 1 = \\dfrac{49.50}{2} = 1225$.

Hằng năm, trường THPT M tổ chức các đoàn đi thăm hỏi và chúc Tết tứ thân phụ mẫu cao tuổi của cán bộ, giáo viên và nhân viên trong trường. Đoàn số 1 có nhiệm vụ đến thăm 4 gia đình tại các địa điểm A, B, C, D. Đoàn xuất phát từ trường THPT M, đến thăm đủ 4 gia đình (mỗi gia đình đúng một lần). Sau khi thăm xong gia đình cuối cùng, đoàn kết thúc hành trình tại đó (không quay về trường). Do điều kiện giao thông dịp cuối năm, đoạn đường AB chỉ có thể đi theo chiều từ A đến B, không đi được theo chiều ngược lại (hình vẽ). Đoàn số 1 đã chọn được lộ trình di chuyển có tổng quãng đường di chuyển ngắn nhất. Tổng quãng đường ngắn nhất đó dài bao nhiêu km?

Áp dụng thuật toán Dijkstra.

Gán nhãn cho điểm xuất phát l(M) = 0 và coi đây là nhãn vĩnh viễn. Các đỉnh A,B,C,D lúc này có nhãn tạm thời dựa trên khoảng cách từ M: l(A) = 8, l(B) = 6, l(C) = 4, l(D) = 7.

So sánh các nhãn tạm thời, ta thấy l(C) = 4 là nhỏ nhất,. Ta chọn C làm điểm tiếp theo của hành trình.

Từ C, ta xem xét các gia đình chưa thăm (A, B, D).

- Khoảng cách đến A là l(C) + AC = 4 + 6 = 10.

- Khoảng cách đến B là l(C) + CB = 4 + 3 = 7.

- Khoảng cách đến D là l(C) + CD = 4 + 5 = 9.

Thấy hiện tại nhãn nhỏ nhất từ các lựa chọn là l(B) = 7. Ta chọn B là điểm tiếp theo.

Từ B, ta còn A và D. Do tuyến đường từ B đến A bị chặn, nên đi đến D trước, rồi tới A:

l(B) + BD + DA = 7 + 4 + 5 = 16.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh $2\\sqrt{2}$. Hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC và biết rằng góc nhị diện $\\lbrack C';BC;A\\rbrack = 135^{o}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và AC'. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Để tính khoảng cách giữa đường thẳng d và d’ chéo nhau, ta tính khoảng cách từ d đến mặt phẳng (P) chứa d’ và song song với d. Đưa về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Gọi M, M' lần lượt là trung điểm cạnh BC, B'C'.

$\\left. \\left\\{ \\begin{array}{l}\n{A'M\\bot(ABC)} \\\\\n{BC \\subset (ABC)}\n\\end{array} \\right.\\Rightarrow A'M\\bot BC \\right.$.

$\\left. \\left\\{ \\begin{array}{l}\n{BC\\bot A'M} \\\\\n{BC\\bot AM}\n\\end{array} \\right.\\Rightarrow BC\\bot(MAA')\\Rightarrow BC\\bot AA'\\Rightarrow BC\\bot MM' \\right.$.

$\\left. \\left\\{ \\begin{array}{l}\n{(C'BC) \\cap (ABC) = BC} \\\\\n{MM' \\subset (C'BC),MM'\\bot BC} \\\\\n{AM \\subset (ABC),AM\\bot BC}\n\\end{array} \\right.\\Rightarrow\\lbrack C';BC;A\\rbrack = AMM' \\right.$

$\\left. \\Rightarrow AMM' = 135^{o}\\Rightarrow MAA' = 45^{o} \\right.$.

Suy ra tam giác AMA' vuông cân tại $\\left. M\\Rightarrow MA' = MA = \\sqrt{6} \\right.$.

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ: $O \\equiv M$, các điểm A, B, A' lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz.

M(0; 0; 0), $A(\\sqrt{6};0;0)$, $B(0;\\sqrt{2};0)$, $C(0; - \\sqrt{2};0)$, $A'(0;0;\\sqrt{6})$.

$\\left. \\overset{\\rightarrow}{CC^{\\prime}} = \\overset{\\rightarrow}{AA^{\\prime}} = ( - \\sqrt{6};0;\\sqrt{6})\\Rightarrow C'( - \\sqrt{6}; - \\sqrt{2};\\sqrt{6}) \\right.$, $\\overset{\\rightarrow}{A^{\\prime}B} = (0;\\sqrt{2}; - \\sqrt{6})$, $AC' = ( - 2\\sqrt{6}; - \\sqrt{2};\\sqrt{6})$.

Gọi $(\\alpha)$ là mặt phẳng chứa AC' và song song A'B. $(\\alpha)$ có vecto pháp tuyến là $\\overset{\\rightarrow}{n} = \\lbrack A'B,AC'\\rbrack = (0;12;4\\sqrt{3})$.

Phương trình mặt phẳng $(\\alpha):\\sqrt{3}y + z = 0$.

$d(AC';A'B) = d(A'B;(\\alpha)) = d(A';(\\alpha)) = \\dfrac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1,22$.

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm ($0 < x \\leq 2500$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $f(x) = 2026x - x^{2}$ và tổng chi phí là $g(x) = x^{2} + 1438x - 1209$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) (0 < t < 320). Giá trị của t bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?

Lập hàm lợi nhuận và sử dụng kiến thức về hàm bậc hai để giải.

Ta có hàm lợi nhuận: $P(x) = f(x) - g(x) - xt$

$= 2026x - x^{2} - (x^{2} + 1438x - 1209) - xt$

$= - 2x^{2} + 588x - xt + 1209$

$= - 2x^{2} + (588 - t)x + 1209$.

Khi lợi nhuận P(x) lớn nhất thì $x = \\dfrac{- (588 - t)}{2( - 2)} = \\dfrac{588 - t}{4}$.

Khi đó, số tiền thuế thu được là $xt = \\dfrac{588 - t}{4}.t = \\dfrac{588t - t^{2}}{4}$.

Số tiền thuế lớn nhất khi $t = - \\dfrac{588}{2.( - 1)} = 294 \\in (0;320)$ (thỏa mãn).

Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng 0,5 m và cách chỗ Bình 4,5 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia Ox và mặt phẳng (Oxy) là mặt đất (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\\alpha)$: x + by + cz + d = 0 và $(\\alpha)$ vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2}$ bằng bao nhiêu?

Tìm tọa độ của Minh và vị trí bóng rơi A.

Lập phương trình mặt phẳng $\\left( {\\alpha\\ } \\right)$ đi qua gốc tọa độ, nhận $\\overset{\\rightarrow}{n}\\ = \\left\\lbrack {\\overset{\\rightarrow}{OA},\\overset{\\rightarrow}{k}} \\right\\rbrack$ làm vecto pháp tuyến.

Quả bóng rơi xuống tại điểm $A(\\sqrt{20};0,5;0)$.

Mặt phẳng $(\\alpha)$: x + by + cz + d = 0 đi qua O nên $d = 0$, điểm $A(\\sqrt{20};0,5;0)$ thuộc $(\\alpha)$ nên có $\\left. \\sqrt{20} + 0,5b = 0\\Leftrightarrow b = - \\dfrac{4}{\\sqrt{5}} \\right.$.

Mặt khác $(\\alpha)$ vuông góc với mặt đất nên:

$\\left. {\\overset{\\rightarrow}{n}}_{(\\alpha)}\\bot{\\overset{\\rightarrow}{n}}_{(Oxy)}\\Leftrightarrow{\\overset{\\rightarrow}{n}}_{(\\alpha)}.\\overset{\\rightarrow}{k} = 0\\Leftrightarrow c = 0 \\right.$.

Vậy mặt phẳng $(\\alpha)$ có phương trình là $(\\alpha)$: $x - 4\\sqrt{5}y = 0$.

Do đó: $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2} = - 240$.