• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề khảo sát chất lượng môn Toán sở GD&ĐT Thanh Hóa 2025 - 2026 - Lần 2

Số câu: 22 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: Toán THPT

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) C(0; 3; 0); D(-3; 0; 0).

b) Phương trình mặt cầu đường kính SC là $x^2 + (y - \\frac{3}{2})^2 + (z - 2)^2 = 25$.

c) Gọi $M$ là trung điểm cạnh SD thì $BM = 2\\sqrt{6}$.

d) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Nếu chi đoàn muốn treo hệ thống đèn led trang trí nối từ một điểm E trên mặt phẳng (SBD) đến hai điểm G, A sao cho |EG - EA| là lớn nhất thì $E(-\\frac{3}{2};0;2)$.

a) C(0; 3; 0); D(-3; 0; 0).

b) Phương trình mặt cầu đường kính SC là $x^2 + (y - \\frac{3}{2})^2 + (z - 2)^2 = 25$.

c) Gọi $M$ là trung điểm cạnh SD thì $BM = 2\\sqrt{6}$.

d) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Nếu chi đoàn muốn treo hệ thống đèn led trang trí nối từ một điểm E trên mặt phẳng (SBD) đến hai điểm G, A sao cho |EG - EA| là lớn nhất thì $E(-\\frac{3}{2};0;2)$.

a) C(0; 3; 0); D(-3; 0; 0).

b) Phương trình mặt cầu đường kính SC là $x^2 + (y - \\frac{3}{2})^2 + (z - 2)^2 = 25$.

c) Gọi $M$ là trung điểm cạnh SD thì $BM = 2\\sqrt{6}$.

d) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Nếu chi đoàn muốn treo hệ thống đèn led trang trí nối từ một điểm E trên mặt phẳng (SBD) đến hai điểm G, A sao cho |EG - EA| là lớn nhất thì $E(-\\frac{3}{2};0;2)$.

Chi đoàn X dự định dựng một lều trại đã ngoại hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh $SB = 5$, $CD = 3\\sqrt{2}$. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

a) C(0; 3; 0); D(-3; 0; 0).

b) Phương trình mặt cầu đường kính SC là $x^2 + (y - \\frac{3}{2})^2 + (z - 2)^2 = 25$.

c) Gọi $M$ là trung điểm cạnh SD thì $BM = 2\\sqrt{6}$.

d) Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Nếu chi đoàn muốn treo hệ thống đèn led trang trí nối từ một điểm E trên mặt phẳng (SBD) đến hai điểm G, A sao cho |EG - EA| là lớn nhất thì $E(-\\frac{3}{2};0;2)$.

a) Đúng. ABCD là hình vuông, cạnh bằng \\(3\\sqrt 2 \\) nên độ dài đường chéo là AC = BD = 6.

Khi đó OC = OD = 3. C thuộc tia Oy nên C(0; 3; 0), D thuộc tia đối của tia Ox nên D(-3; 0; 0).

b) Sai. \\(SO = \\sqrt {S{B^2} - O{B^2}}  = \\sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\\). S thuộc tia Oz nên S(0; 0; 4).

Mặt cầu đường kính SC có tâm I là trung điểm của SC. Khi đó \\(I\\left( {0;\\frac{3}{2};2} \\right)\\).

Bán kính mặt cầu là: \\(R = \\frac{{SC}}{2} = \\frac{{SB}}{2} = \\frac{5}{2}\\).

Phương trình mặt cầu: \\({x^2} + {\\left( {y - \\frac{3}{2}} \\right)^2} + {(z - 2)^2} = \\frac{{25}}{4}\\).

c) Sai. B(3; 0; 0), M là trung điểm của SD nên \\(M\\left( { - \\frac{3}{2};0;2} \\right)\\).

\\(\\overrightarrow {BM}  = \\left( { - \\frac{9}{2};0;2} \\right) \\Rightarrow BM = \\sqrt {{{\\left( { - \\frac{9}{2}} \\right)}^2} + {0^2} + {2^2}}  = \\frac{{\\sqrt {97} }}{2}\\).

d) Đúng. G là trọng tâm tam giác SCD nên \\(G\\left( { - 1;1;\\frac{4}{3}} \\right)\\).

(SBD) chứa cả hai trục Ox và Oz nên có phương trình y = 0.

G và A có tung độ trái dấu nên nằm ở hai phía của mặt phẳng (SBD).

Gọi A’ đối xứng với A qua (SBD). Khi đó \\(\\left| {EG - EA} \\right| = \\left| {EG - EA'} \\right| \\le A'G\\), dấu “=” xảy ra khi A’, E, G thẳng hàng hay E là giao điểm của A’G cắt (SBD).

A(0; -3; 0), suy ra A’ (0; 3; 0).

Đường thẳng A’G đi qua A’(0; 3; 0) và nhận \\(\\overrightarrow {A'G}  = \\left( { - 1; - 2;\\frac{4}{3}} \\right)\\) làm vecto chỉ phương có phương trình: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - t\\\\y = 3 - 2t\\\\z = \\frac{4}{3}t\\end{array} \\right.\\) \\((t \\in \\mathbb{R})\\).

Tìm giao điểm E: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - t\\\\0 = 3 - 2t\\\\z = \\frac{4}{3}t\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}x =  - \\frac{3}{2}\\\\y = 0\\\\z = 2\\end{array} \\right. \\Rightarrow E = \\left( { - \\frac{3}{2};0;2} \\right)\\).

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán trong không gian.

Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x$.

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\\mathbb{R}$.

b) Hàm số f(x) có đạo hàm là $f'(x) = 3x^2 - 3$.

c) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 1).

d) Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-3; 2] tại x = 1.

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\\mathbb{R}$.

b) Hàm số f(x) có đạo hàm là $f'(x) = 3x^2 - 3$.

c) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 1).

d) Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-3; 2] tại x = 1.

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\\mathbb{R}$.

b) Hàm số f(x) có đạo hàm là $f'(x) = 3x^2 - 3$.

c) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 1).

d) Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-3; 2] tại x = 1.

Cho hàm số $f(x) = x^3 - 3x$.

a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\\mathbb{R}$.

b) Hàm số f(x) có đạo hàm là $f'(x) = 3x^2 - 3$.

c) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 1).

d) Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-3; 2] tại x = 1.

a) Đúng. \\(D = \\mathbb{R}\\).

b) Đúng. \\(f'(x) = 3{x^2} - 3\\).

c) Sai. \\(f'(x) = 3{x^2} - 3 = 0 \\Leftrightarrow x =  \\pm 1\\).

Trên khoảng (-1; 1) thì f’(x) < 0 nên hàm số nghịch biến.

d) Sai. f(-3) = -18, f(-1) = 2, f(1) = -2, f(2) = 2.

Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-3; 2] tại x = -3.

Đạo hàm khảo sát hàm số.

Một vận động viên điền kinh đang chạy trên một đoạn đường thẳng thì thấy một vận động viên đua xe đạp ở phía trước với khoảng cách $40m$. Từ thời điểm này, vận động viên điền kinh và vận động viên đua xe đạp chuyển động cùng chiều với hàm vận tốc theo thời gian lần lượt là $v_1(t) = 8e^{-0,1t} $ m/s và $v_2(t) = 12 - 12e^{-0,1t} $ m/s (t được tính bằng giây với $0 \\leq t \\leq 60$).

a) Tại thời điểm ban đầu t = 0 giây, vận tốc vận động viên đua xe đạp là 12 m/s.

b) Tốc độ của vận động viên điền kinh giảm dần theo thời gian, trong khi tốc độ của vận động viên đua xe đạp tăng dần theo thời gian.

c) Hai vận động viên gần nhau nhất ở thời điểm 8 giây kể từ thời điểm ban đầu t = 0 giây.

d) Vận động viên điền kinh sẽ không bắt kịp được vận động viên đua xe đạp và khoảng cách ngắn nhất giữa họ là 21,3 m (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

a) Tại thời điểm ban đầu t = 0 giây, vận tốc vận động viên đua xe đạp là 12 m/s.

b) Tốc độ của vận động viên điền kinh giảm dần theo thời gian, trong khi tốc độ của vận động viên đua xe đạp tăng dần theo thời gian.

c) Hai vận động viên gần nhau nhất ở thời điểm 8 giây kể từ thời điểm ban đầu t = 0 giây.

d) Vận động viên điền kinh sẽ không bắt kịp được vận động viên đua xe đạp và khoảng cách ngắn nhất giữa họ là 21,3 m (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

a) Tại thời điểm ban đầu t = 0 giây, vận tốc vận động viên đua xe đạp là 12 m/s.

b) Tốc độ của vận động viên điền kinh giảm dần theo thời gian, trong khi tốc độ của vận động viên đua xe đạp tăng dần theo thời gian.

c) Hai vận động viên gần nhau nhất ở thời điểm 8 giây kể từ thời điểm ban đầu t = 0 giây.

d) Vận động viên điền kinh sẽ không bắt kịp được vận động viên đua xe đạp và khoảng cách ngắn nhất giữa họ là 21,3 m (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

Một vận động viên điền kinh đang chạy trên một đoạn đường thẳng thì thấy một vận động viên đua xe đạp ở phía trước với khoảng cách $40m$. Từ thời điểm này, vận động viên điền kinh và vận động viên đua xe đạp chuyển động cùng chiều với hàm vận tốc theo thời gian lần lượt là $v_1(t) = 8e^{-0,1t} $ m/s và $v_2(t) = 12 - 12e^{-0,1t} $ m/s (t được tính bằng giây với $0 \\leq t \\leq 60$).

a) Tại thời điểm ban đầu t = 0 giây, vận tốc vận động viên đua xe đạp là 12 m/s.

b) Tốc độ của vận động viên điền kinh giảm dần theo thời gian, trong khi tốc độ của vận động viên đua xe đạp tăng dần theo thời gian.

c) Hai vận động viên gần nhau nhất ở thời điểm 8 giây kể từ thời điểm ban đầu t = 0 giây.

d) Vận động viên điền kinh sẽ không bắt kịp được vận động viên đua xe đạp và khoảng cách ngắn nhất giữa họ là 21,3 m (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị mét).

a) Sai. Vận tốc VĐV đua xe đạp thời điểm ban đầu: \\({v_2}(0) = 12 - 12{e^{ - 0,1.0}} = 0\\) (m/s).

b) Đúng. Xét đạo hàm của các hàm vận tốc:

VĐV điền kinh: \\({v'_1}(t) = 8.( - 0,1){e^{ - 0,1t}} =  - 0,8{e^{ - 0,1t}} < 0\\) với mọi \\(t \\ge 0\\). Do đó, \\({v_1}(t)\\) nghịch biến (tốc độ giảm dần).

VĐV đua xe đạp: \\({v'_2}(t) =  - 12.( - 0,1){e^{ - 0,1t}} = 1,2{e^{ - 0,1t}} > 0\\) với mọi \\(t \\ge 0\\). Do đó, \\({v_2}(t)\\) đồng biến (tốc độ tăng dần).

c) Sai. Khoảng cách giữa hai VĐV sau t giây là: \\(d(t) = \\int\\limits_0^t {{v_2}(u)du}  - \\int\\limits_0^t {{v_1}(u)du}  + 40\\) (m).

\\(d'(t) = {v_2}(t) - {v_1}(t) + 40 = 12 - 12{e^{ - 0,1t}} - 8{e^{ - 0,1t}} = 12 - 20{e^{ - 0,1t}}\\).

\\(d'(t) = 0 \\Leftrightarrow 12 - 20{e^{ - 0,1t}} = 0 \\Leftrightarrow {e^{ - 0,1t}} = 0,6 \\Leftrightarrow t = \\frac{{\\ln 0,6}}{{ - 0,1}} \\approx 5,11\\).

Vậy hai VĐV gần nhau nhất ở thời điểm 5,11 giây kể từ thời điểm 0 giây.

d) Đúng. Thời điểm hai VĐV gần nhau nhất, khoảng cách giữa họ là:

\\(d(t) = \\int\\limits_0^{5,11} {\\left( {12 - 20{e^{ - 0,1t}}} \\right)dt}  + 40 \\approx 21,3\\) (m).

Vậy VĐV điền kinh sẽ không bắt kịp được VĐV đua xe đạp và khoảng cách ngắn nhất giữa họ là 21,3 m.

Ứng dụng tích phân để giải bài toán.

Khi điều tra sức khoẻ nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có 40% người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, tỉ lệ người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu đường là 70% và trong những người không bị bệnh tiểu đường là 25%. Chọn ngẫu nhiên một người cao tuổi để kiểm tra sức khỏe.

a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4.

b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường là 0,7.

c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường là 0,75.

d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8.

a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4.

b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường là 0,7.

c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường là 0,75.

d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8.

a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4.

b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường là 0,7.

c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường là 0,75.

d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8.

Khi điều tra sức khoẻ nhiều người cao tuổi ở một địa phương, người ta thấy rằng có 40% người cao tuổi bị bệnh tiểu đường. Bên cạnh đó, tỉ lệ người bị bệnh huyết áp cao trong những người bị bệnh tiểu đường là 70% và trong những người không bị bệnh tiểu đường là 25%. Chọn ngẫu nhiên một người cao tuổi để kiểm tra sức khỏe.

a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4.

b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường là 0,7.

c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường là 0,75.

d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là 0,8.

Gọi các biến cố: A: “Chọn được người bị bệnh tiểu đường”;

B: “Chọn được người bị huyết áp cao”.

a) Đúng. P(A) = 40% = 0,4.

b) Đúng. P(B|A) = 70% = 0,7.

c) Sai. \\(P(B|\\overline A ) = 25\\%  = 0,25\\).

d) Sai. \\(P(\\overline A ) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6\\).

\\(P(B) = P(A).P(B|A) + P(\\overline A ).P(B|\\overline A )\\)

\\( = 0,4.0,7 + 0,6.0,25 = 0,43\\).

Áp dụng định nghĩa xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần.

Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = \\dfrac{1}{3}t^{3} - \\dfrac{3}{2}t^{2} + 10t$; với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là vị trí của vật tại thời điểm t. Tính quãng đường mà vật đi được từ khi bắt đầu chuyển động đến thời điểm vận tốc của nó đạt 20 m/s (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Tìm nghiệm $t_{0}$ của phương trình v(t) = s’(t) = 20. Từ đó tính $s(t_{0})$.

$v(t) = s'(t) = t^{2} - 3t + 10$;

$\\left. v(t) = 20\\Leftrightarrow t^{2} - 3t + 10 = 20\\Leftrightarrow\\left\\lbrack \\begin{array}{l} {t = 5} \\\\ {t = - 2} \\end{array} \\right. \\right.$.

Vì t > 0 nên ta nhận giá trị t = 5. Quãng đường cần tính là:

$s(5) = \\dfrac{1}{3}.5^{3} - \\dfrac{3}{2}.5^{2} + 10.5 \\approx 54,2$ (m).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 6, $AD = 4\\sqrt{3}$, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và SC bằng 6. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Xác định khoảng cách từ AB đến SC trên hình vẽ, từ đó tính chiều cao và thể tích khối chóp.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. H là hình chiếu vuông góc của M lên SN.

Ta có MN // BC // AD nên $CD\\bot MN$ (1)

$ \\left. \\begin{array}{l} {(SAB)\\bot(ABCD)} \\\\ {(SAB) \\cap (ABCD) = AB} \\\\ {SM\\bot AB,SM \\subset (SAB)} \\end{array} \\right\\}$

$\\Rightarrow SM\\bot(ABCD)\\Rightarrow SM\\bot CD $ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\\left. CD\\bot(SMN)\\Rightarrow CD\\bot MH \\right.$.

$\\left. \\left. \\begin{array}{l} {MH\\bot CD} \\\\ {MH\\bot SN} \\end{array} \\right\\}\\Rightarrow MH\\bot(SCD) \\right.$.

$ \\left. \\begin{array}{l} \\left. AB//CD\\Rightarrow AB//(SCD) \\right. \\\\ {MH\\bot(SCD)} \\end{array} \\right\\}$

$\\Rightarrow d\\left( {AB,SC} \\right) = MH = 6 $.

$\\left. SM\\bot(ABCD)\\Rightarrow SM\\bot MN \\right.$.

Xét tam giác SMN vuông tại M, đường cao MH:

$\\dfrac{1}{MH^{2}} = \\dfrac{1}{SM^{2}} + \\dfrac{1}{MN^{2}}$

$\\Leftrightarrow\\dfrac{1}{6^{2}} = \\dfrac{1}{SM^{2}} + \\dfrac{1}{\\left( {4\\sqrt{3}} \\right)^{2}}\\Rightarrow SM = 12$.

$V_{S.ABCD} = \\dfrac{1}{3}.SM.S_{ABCD} $

$= \\dfrac{1}{3}.12.6.4\\sqrt{3} \\approx 166$.

Một doanh nghiệp chuyên sản xuất ô tô hạng sang, biết nhu cầu của thị trường và chi phí của loại sản phẩm này lần lượt là $Q = 5000 - \\dfrac{P}{3}$, $C(Q) = Q^{2} + 2200Q + 500$, trong đó Q là số sản phẩm và P là giá bán của một sản phẩm. Giả sử Nhà nước đánh thuế đặc biệt t (triệu đồng) trên mỗi đơn vị sản phẩm. Với mỗi mức thuế t, doanh nghiệp lựa chọn sản lượng Q để lợi nhuận đạt lớn nhất. Hãy xác định mức sản lượng Q mà doanh nghiệp sẽ sản xuất nếu Nhà nước chọn mức thuế t sao cho số tiền thuế thu được là lớn nhất.

Lập hàm lợi nhuận theo Q. Ứng dụng kiến thức về hàm số bậc hai để giải.

Ta có P = 15000 – 3Q.

Lợi nhuận: L = Q.P – C(Q) - tQ

$= (15000Q - 3Q^{2}) - (Q^{2} + 2200Q + 500) - tQ $

$= - 4Q^{2} + (12800 - t)Q - 500$.

Lợi nhuận đạt cực đại tại $Q = - \\dfrac{12800 - t}{2.( - 4)} = \\dfrac{12800 - t}{8}$.

Số tiền thuế nhà nước thu khi đó là $Qt = \\dfrac{12800t - t^{2}}{8}$.

Số tiền thuế lớn nhất khi $t = - \\dfrac{12800}{2( - 1)} = 6400$.

Vậy sản lượng là $Q = \\dfrac{12800 - 6400}{8} = 800$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2; 2), B(2; -2; 0). Gọi $I_{1}(1;1; - 1)$ và $I_{2}(3;1;1)$ lần lượt là tâm của hai đường tròn thuộc hai mặt phẳng phân biệt và cùng nhận AB làm dây cung. Biết rằng tồn tại một mặt cầu (S) qua cả hai đường tròn đó. Tính bán kính R của mặt cầu (S) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Gọi M là tâm mặt cầu (S). Vì hai đường tròn tâm $I_{1}$, $I_{2}$ thuộc (S) nên $\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{MI_{1}\\bot\\left( {I_{1}AB} \\right)} \\\\\n{MI_{2}\\bot\\left( {I_{2}AB} \\right)}\n\\end{array} \\right.$.

Lập phương trình hai đường thẳng $MI_{1}$, $MI_{2}$ và tìm giao điểm M, từ đó tính bán kính của (S).

Gọi M là tâm mặt cầu (S). Vì hai đường tròn tâm $I_{1}$, $I_{2}$ thuộc (S) nên $\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{MI_{1}\\bot\\left( {I_{1}AB} \\right)} \\\\\n{MI_{2}\\bot\\left( {I_{2}AB} \\right)}\n\\end{array} \\right.$.

Ta có $\\overset{\\rightarrow}{I_{1}A} = ( - 1;1;3)$, $\\overset{\\rightarrow}{I_{1}B} = (1; - 3;1)$, $\\overset{\\rightarrow}{I_{2}A} = ( - 3;1;1)$, $\\overset{\\rightarrow}{I_{2}B} = ( - 1; - 3; - 1)$.

Gọi $\\overset{\\rightarrow}{u}$, $\\overset{\\rightarrow}{v}$ lần lượt là vecto chỉ phương của $MI_{1}$, $MI_{2}$. Ta có:

$\\overset{\\rightarrow}{u} = \\left\\lbrack {\\overset{\\rightarrow}{I_{1}A},\\overset{\\rightarrow}{I_{1}B}} \\right\\rbrack = (10;4;2)$; $\\overset{\\rightarrow}{v} = \\left\\lbrack {\\overset{\\rightarrow}{I_{2}A},\\overset{\\rightarrow}{I_{2}B}} \\right\\rbrack = (2; - 4;10)$.

Phương trình tham số của $MI_{1}$: $\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{x = 1 + 10t} \\\\\n{y = 1 + 4t} \\\\\n{z = - 1 + 2t}\n\\end{array} \\right.$ $(t \\in {\\mathbb{R}})$.

Phương trình tham số của $MI_{2}$: $\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{x = 3 + 2s} \\\\\n{y = 1 - 4s} \\\\\n{z = 1 + 10s}\n\\end{array} \\right.$ $(s \\in {\\mathbb{R}})$.

Tìm giao điểm M: $\\left. \\left\\{ \\begin{array}{l}\n{1 + 10t = 3 + 2s} \\\\\n{1 + 4t = 1 - 4s} \\\\\n{- 1 + 2t = 1 + 10s}\n\\end{array} \\right.\\Leftrightarrow t = - s = \\dfrac{1}{6} \\right.$.

Khi đó $M\\left( {\\dfrac{8}{3};\\dfrac{5}{3}; - \\dfrac{2}{3}} \\right)$ và $\\overset{\\rightarrow}{MA} = \\left( {- \\dfrac{8}{3};\\dfrac{1}{3};\\dfrac{8}{3}} \\right)$.

Vậy $R = MA = \\sqrt{\\left( {- \\dfrac{8}{3}} \\right)^{2} + \\left( \\dfrac{1}{3} \\right)^{2} + \\left( \\dfrac{8}{3} \\right)^{2}} = \\dfrac{\\sqrt{129}}{3} \\approx 3,79$.

Ông nội của bạn Kiên là cựu chiến binh, ông từng trực tiếp tham gia trận đánh 30/4/1975 và tiếp quân Dinh Độc Lập. Năm nay ông được đơn vị tặng quà lưu niệm là một chiếc đồng hồ treo tường rất đẹp.

- Phần trong của mặt đồng hồ là hình vuông có tâm O cạnh bằng 2 dm, nơi đây lưu giữ hình ảnh chiếc xe tăng 390 của bộ đội Việt Nam tiến vào Dinh Độc Lập.

- Phần ngoài của mặt đồng hồ là đường tròn có bán kính bằng 2 dm.

- Đường cong trung gian có tên (L) là tập hợp tất cả điểm P sao cho nếu kẻ tia Ot bất kỳ cắt hình vuông và đường tròn lần lượt tại M, N thì P là trung điểm MN (O là tâm đường tròn). Phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (L) và hình vuông bên trong mặt đồng hồ được mạ vàng 18K. Bạn Kiên rất muốn biết xem diện tích của phần này là bao nhiêu theo đơn vị $dm^{2}$. Em hãy tính giúp bạn. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xác định phương trình đường cong (L) chứa điểm P từ đó tính diện tích bằng tích phân.

Xét hình vẽ sau với O là tâm hình vuông và tia Ox đi qua trung điểm H của một cạnh hình vuông, gọi $\\varphi$ là góc hợp bởi tia Ox và tia Ot với $\\varphi \\in \\left\\lbrack {0;\\dfrac{\\pi}{4}} \\right\\rbrack$.

Ta có $M(1;\\tan\\varphi)$, $ N(2\\cos\\varphi;2\\sin\\varphi)$

$\\Rightarrow P\\left( {\\dfrac{1 + 2\\cos\\varphi}{2};\\dfrac{\\tan\\varphi + 2\\sin\\varphi}{2}} \\right) $.

Đặt $\\left. x = \\dfrac{1 + 2\\cos\\varphi}{2}\\Leftrightarrow\\cos\\varphi = \\dfrac{2x - 1}{2} \\right.$.

Với $\\varphi \\in \\left\\lbrack {0;\\dfrac{\\pi}{4}} \\right\\rbrack$ thì $x \\in \\left( {\\dfrac{1 + \\sqrt{2}}{2};\\dfrac{3}{2}} \\right)$.

$\\Rightarrow\\tan\\varphi + 2\\sin\\varphi = \\dfrac{\\sin\\varphi + 2\\sin\\varphi.\\cos\\varphi}{2\\cos\\varphi} $

$= \\dfrac{\\sin\\varphi.2x}{2x - 1} = \\dfrac{2x}{2x - 1}.\\sqrt{1 - \\left( \\dfrac{2x - 1}{2} \\right)^{2}}$.

Vậy P luôn thuộc đường cong $y = \\dfrac{2x}{2x - 1}.\\sqrt{1 - \\left( \\dfrac{2x - 1}{2} \\right)^{2}}$ với $x \\in \\left( {\\dfrac{1 + \\sqrt{2}}{2};\\dfrac{3}{2}} \\right)$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (L) và hình vuông:

$S = 8\\left\\lbrack {{\\int\\limits_{0}^{\\dfrac{1 + \\sqrt{2}}{2}}{xdx}} + {\\int\\limits_{\\dfrac{1 + \\sqrt{2}}{2}}^{\\dfrac{3}{2}}{\\dfrac{2x}{2x - 1}.\\sqrt{1 - \\left( \\dfrac{2x - 1}{2} \\right)^{2}}dx}}} \\right\\rbrack - 2^{2} \\approx 3,67$.

Một công ty tổ chức sự kiện tổng kết cuối năm. Trong buổi dự tiệc có 4320 người tham gia. Để làm tăng tính thú vị hấp dẫn của buổi tiệc, người ta đã tạo ra các lá thăm ghi các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng $\\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$ được lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. Mỗi người tham gia dự tiệc sẽ chọn cho mình một lá thăm và tất cả các lá thăm được bốc hết. Gần cuối buổi tiệc, ban tổ chức công bố những người chọn được số thỏa mãn điều kiện $a_{1} + a_{2} = a_{3} + a_{4} = a_{5} + a_{6}$ sẽ được nhận phần thưởng đặc biệt từ công ty. Anh Huy là nhân viên công ty có tham gia dự tiệc và bốc thăm trúng thưởng. Hỏi anh Huy có xác suất trúng thưởng là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Kết hợp phương pháp liệt kê và phương pháp tổ hợp.

Đặt $k = a_{1} + a_{2} = a_{3} + a_{4} = a_{5} + a_{6}$.

TH1: k = 5. Bộ ba cặp số là (0; 5), (1; 4), (2; 3).

- Hoán vị 3 cặp số vào 3 vị trí: 3! = 6 cách.

- Hoán vị 2 số trong mỗi cặp: ${(2!)}^{3} = 8$ cách.

- Loại các trường hợp chữ số 0 đứng đầu: $1.1.2!.{(2!)}^{2} = 8$ cách.

Do đó TH1 có $3!{(2!)}^{3} - 8 = 40$ cách xếp.

TH2: k = 6. Bộ ba cặp số là (0; 6), (1; 5), (2; 4).

Tương tự TH1, TH2 có 40 cách xếp.

TH3: k = 7. Bộ ba cặp số là (1; 6), (2; 5), (3; 4).

- Hoán vị 3 cặp số vào 3 vị trí: 3! = 6 cách.

- Hoán vị 2 số trong mỗi cặp: ${(2!)}^{3} = 8$ cách.

Do đó TH3 có $3!{(2!)}^{3} = 48$ cách xếp.

Xác suất trúng thưởng của anh Huy: $\\dfrac{40.2 + 48}{4320} = \\dfrac{4}{135} \\approx 0,03$.