• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề khảo sát chất lượng môn Toán THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa 2025 - 2026 - Lần 1

Số câu: 22 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: Toán THPT

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^{2} - 3$.

b) Giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $\\left( {- \\infty;0} \\right)$ bằng -1.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $\\left( {1; + \\infty} \\right)$.

d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C) bằng $2\\sqrt{5}$.

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^{2} - 3$.

b) Giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $\\left( {- \\infty;0} \\right)$ bằng -1.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $\\left( {1; + \\infty} \\right)$.

d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C) bằng $2\\sqrt{5}$.

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^{2} - 3$.

b) Giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $\\left( {- \\infty;0} \\right)$ bằng -1.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $\\left( {1; + \\infty} \\right)$.

d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C) bằng $2\\sqrt{5}$.

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x + 2$ có đồ thị là (C).

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 3x^{2} - 3$.

b) Giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $\\left( {- \\infty;0} \\right)$ bằng -1.

c) Hàm số đồng biến trên khoảng $\\left( {1; + \\infty} \\right)$.

d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị (C) bằng $2\\sqrt{5}$.

a) Đúng. $f'(x) = 3x^{2} - 3$.

b) Sai. $\\left. f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0\\Leftrightarrow x = \\pm 1 \\right.$. Bảng biến thiên:

Giá trị lớn nhất của f(x) trên khoảng $\\left( {- \\infty;0} \\right)$ bằng 4.

c) Đúng. Hàm số đồng biến trên khoảng $\\left( {1; + \\infty} \\right)$.

d) Đúng. Hai điểm cực trị là $\\left. A( - 1;4),B(1;0)\\Rightarrow AB = 2\\sqrt{5} \\right.$.

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên khảo sát hàm số.

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho trước, trong đó xem mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km, một ra đa được đặt tại vị trí gốc tọa độ O phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500; 200; 10) đến điểm N(300; 800; 10) trong 40 phút.

a) Máy bay chiến đấu khi bay từ M đến N luôn cách mặt đất là 10 km.

b) Khoảng cách $MN = 200\\sqrt{10}$ km.

c) Góc $\\widehat{MON}$ được gọi là góc quét của ra đa khi quan sát máy bay chiến đấu bay từ M đến N. Trong tình huống trên góc quét $\\widehat{MON}$ lớn hơn $45^{o}$.

d) Khi đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là Q(a; b; c) với a + b + c = 1030.

a) Máy bay chiến đấu khi bay từ M đến N luôn cách mặt đất là 10 km.

b) Khoảng cách $MN = 200\\sqrt{10}$ km.

c) Góc $\\widehat{MON}$ được gọi là góc quét của ra đa khi quan sát máy bay chiến đấu bay từ M đến N. Trong tình huống trên góc quét $\\widehat{MON}$ lớn hơn $45^{o}$.

d) Khi đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là Q(a; b; c) với a + b + c = 1030.

a) Máy bay chiến đấu khi bay từ M đến N luôn cách mặt đất là 10 km.

b) Khoảng cách $MN = 200\\sqrt{10}$ km.

c) Góc $\\widehat{MON}$ được gọi là góc quét của ra đa khi quan sát máy bay chiến đấu bay từ M đến N. Trong tình huống trên góc quét $\\widehat{MON}$ lớn hơn $45^{o}$.

d) Khi đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là Q(a; b; c) với a + b + c = 1030.

Trong không gian chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho trước, trong đó xem mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km, một ra đa được đặt tại vị trí gốc tọa độ O phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M(500; 200; 10) đến điểm N(300; 800; 10) trong 40 phút.

a) Máy bay chiến đấu khi bay từ M đến N luôn cách mặt đất là 10 km.

b) Khoảng cách $MN = 200\\sqrt{10}$ km.

c) Góc $\\widehat{MON}$ được gọi là góc quét của ra đa khi quan sát máy bay chiến đấu bay từ M đến N. Trong tình huống trên góc quét $\\widehat{MON}$ lớn hơn $45^{o}$.

d) Khi đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là Q(a; b; c) với a + b + c = 1030.

a) Đúng. Vì cao độ của M, N là z = 10.

b) Đúng. Ta có $\\overset{\\rightarrow}{MN}( - 200;600;0)$, nên $MN = \\sqrt{{( - 200)}^{2} + 600^{2}} = 200\\sqrt{10}$.

c) Đúng. Ta có: $\\cos\\widehat{MON} = \\dfrac{\\overset{\\rightarrow}{OM}.\\overset{\\rightarrow}{ON}}{OM.ON}$

$= \\dfrac{500.300 + 200.800 + 10.10}{\\sqrt{500^{2} + 200^{2} + 10^{2}}.\\sqrt{300^{2} + 800^{2} + 10^{2}}} \\approx 0,67 < \\cos 45^{o}$ do đó $\\widehat{MON} > 45^{o}$.

d) Sai. Nếu tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 4 phút tiếp theo là Q(a; b; c) và có tỉ lệ $\\left. \\dfrac{MN}{NQ} = \\dfrac{40}{8} = 5\\Rightarrow MN = 5NQ\\Rightarrow\\overset{\\rightarrow}{MN} = 5\\overset{\\rightarrow}{NQ} \\right.$.

$\\left. \\Rightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l} {a - 300 = \\dfrac{1}{5}.( - 200)} \\\\ {b - 800 = \\dfrac{1}{5}.600} \\\\ {c - 10 = \\dfrac{1}{5}.0} \\end{array} \\right.\\Leftrightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l} {a = 260} \\\\ {b = 920} \\\\ {c = 10} \\end{array} \\right.\\Rightarrow Q(260;920;10) \\right.$.

Vậy a + b + c = 260 + 920 + 10 = 1190.

Áp dụng biểu thức tọa độ các phép toán vecto.

Xét hàm số f(x) x + sinx trên $\\mathbb{R}$.

a) Đạo hàm của hàm số f(x) là $f'(x) = 1 - \\cos x$.

b) Hàm số $F(x) = \\dfrac{x^{2}}{2} - \\cos x - 2$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).

c) ${\\int{f(x)\\text{d}x = \\dfrac{x^{2}}{2}}} - \\cos x + C$.

d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn G(0) = 1. Khi đó $G(\\pi) = \\dfrac{\\pi^{2}}{2} + 3$.

a) Đạo hàm của hàm số f(x) là $f'(x) = 1 - \\cos x$.

b) Hàm số $F(x) = \\dfrac{x^{2}}{2} - \\cos x - 2$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).

c) ${\\int{f(x)\\text{d}x = \\dfrac{x^{2}}{2}}} - \\cos x + C$.

d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn G(0) = 1. Khi đó $G(\\pi) = \\dfrac{\\pi^{2}}{2} + 3$.

a) Đạo hàm của hàm số f(x) là $f'(x) = 1 - \\cos x$.

b) Hàm số $F(x) = \\dfrac{x^{2}}{2} - \\cos x - 2$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).

c) ${\\int{f(x)\\text{d}x = \\dfrac{x^{2}}{2}}} - \\cos x + C$.

d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn G(0) = 1. Khi đó $G(\\pi) = \\dfrac{\\pi^{2}}{2} + 3$.

Xét hàm số f(x) x + sinx trên $\\mathbb{R}$.

a) Đạo hàm của hàm số f(x) là $f'(x) = 1 - \\cos x$.

b) Hàm số $F(x) = \\dfrac{x^{2}}{2} - \\cos x - 2$ là một nguyên hàm của hàm số f(x).

c) ${\\int{f(x)\\text{d}x = \\dfrac{x^{2}}{2}}} - \\cos x + C$.

d) Gọi G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) và thỏa mãn G(0) = 1. Khi đó $G(\\pi) = \\dfrac{\\pi^{2}}{2} + 3$.

a) Sai. Ta có $f'(x) = 1 + \\cos x$.

b) Đúng. Ta $F'(x) = \\left( {\\dfrac{x^{2}}{2} - \\cos x - 2} \\right)' = x + \\sin x = f(x)$.

c) Đúng. Ta có: ${\\int{f(x)dx = {\\int\\left( {x + \\sin x} \\right)}dx = \\dfrac{x^{2}}{2}}} - \\cos x + C$.

d) Đúng. Gọi G(x) là một nguyên hàm của f(x) thì $G(x) = \\dfrac{x^{2}}{2} - \\cos x + C$.

Vì G(0) = 1 nên $\\left. 0 - \\cos 0 + C = 1\\Rightarrow C = 2 \\right.$. Vậy $G(\\pi) = \\dfrac{\\pi^{2}}{2} - \\cos\\pi + 2 = \\dfrac{\\pi^{2}}{2} + 3$.

Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, nguyên hàm.

Hai xạ thủ mỗi người một viên đạn bắn vào bia với xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,9 và của người thứ hai là 0,75. Biết rằng kết quả bắn trúng hoặc không trúng bia của hai xạ thủ là độc lập với nhau.

a) Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là 10%.

b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là 67%.

c) Xác suất có đúng 1 viên đạn bắn trúng bia là 0,3.

d) Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là 95,7%.

a) Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là 10%.

b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là 67%.

c) Xác suất có đúng 1 viên đạn bắn trúng bia là 0,3.

d) Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là 95,7%.

a) Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là 10%.

b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là 67%.

c) Xác suất có đúng 1 viên đạn bắn trúng bia là 0,3.

d) Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là 95,7%.

Hai xạ thủ mỗi người một viên đạn bắn vào bia với xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,9 và của người thứ hai là 0,75. Biết rằng kết quả bắn trúng hoặc không trúng bia của hai xạ thủ là độc lập với nhau.

a) Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là 10%.

b) Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là 67%.

c) Xác suất có đúng 1 viên đạn bắn trúng bia là 0,3.

d) Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là 95,7%.

a) Đúng. Khả năng xạ thủ thứ nhất không bắn trúng bia là 1 – 0,9 = 0,1 = 10%.

b) Sai. Khả năng cả hai viên đạn đều trúng bia là P = 0,9 . 0,75 = 0,675 = 67,5%

c) Đúng. Xác xuất có đúng một viên đạn trúng bia là 0,9 . 0,25 + 0,1 . 0,75 = 0,3.

d) Sai. Có ít nhất một viên đạn trúng bia thì xảy ra 2 trường hợp:

- Có đúng 1 viên đạn trúng bia, xác suất là 0,3.

- Cả hai viên đạn đều trúng bia, xác suất là 0,675.

$\\Rightarrow$ Khả năng có ít nhất 1 viên đạn bắn trúng bia là 0,3 + 0,675 = 0,975 = 97,5%.

Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất, công thức tính xác suất của biến cố đối.

Một ngôi nhà có cấu trúc và một số kích thước được mô tả như như hình bên: Phần dưới có dạng hình hộp chữ nhật với một mặt bên là BCHK phần trên có dạng hình lăng trụ đứng có một đáy là ABC, HE = 12 m, HK = 10 m, HC = 5 m. Biết rằng AB = AC và góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $120^{o}$. Thể tích của ngôi nhà, không tính phần mái đưa ra là bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét khối)?

Coi ngôi nhà là hình lăng trụ với một trong hai đáy là mặt phẳng (ABKHC). Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = Bh, trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của lăng trụ.

Góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $\\widehat{BAC} = 120^{o}$.

Gọi N là hình chiếu vuông góc của A trên mặt nền nhà, M là giao điểm của BC và AN.

Ta có $\\widehat{BAM} = 60^{o}$ và $\\left. BM = 5\\Rightarrow\\tan\\widehat{BAM} = \\dfrac{BM}{AM} \\right.$

$\\left. \\Rightarrow AM = \\dfrac{BM}{\\tan\\widehat{BAM}} = \\dfrac{5}{\\tan 60^{o}} = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3} \\right.$.

Thể tích của ngôi nhà là:

$V = S_{ABKHC} \\cdot HE = \\left( {5 \\cdot 10 + \\dfrac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}} \\right) \\cdot 12 \\approx 773$ $\\left( {~m^{3}} \\right)$.

Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = - t^{3} + 18t^{2} + 2t$, với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu (m/s)?

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số v(t) = s’(t) trên đoạn [0; 10].

Ta có: $v(t) = s'(t) = - 3t^{2} + 36t + 2$ với $t \\in \\left\\lbrack {0;10} \\right\\rbrack$.

$v'(t) = - 6t + 36$; $\\left. v'(t) = 0\\Leftrightarrow t = 6 \\right.$.

$v(0) = 2$; $v(10) = 62$; $v(6) = 110$.

Vậy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động là 110 (m/s).

Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách ở mỗi câu hỏi chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Gọi p là xác suất khi thí sinh đó có kết quả 20 điểm. Giá trị của 100p bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Áp dụng công thức nhân xác suất.

Gọi x, y là số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai.

Để thí sinh được 20 điểm thì $\\left. \\left\\{ \\begin{matrix}\n{4x - y = 20} \\\\\n{x + y = 10}\n\\end{matrix} \\right.\\Leftrightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{x = 6} \\\\\n{y = 4}\n\\end{array} \\right. \\right.$.

Xác suất để thí sinh đó được 20 điểm là $\\left. p = C_{10}^{6}\\left( \\dfrac{1}{4} \\right)^{6}\\left( \\dfrac{3}{4} \\right)^{4}\\Rightarrow 100p \\approx 1,62 \\right.$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 10 km. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện được các vật thể cách nó một khoảng không quá 30 km. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí A(4; 2; 1) đến vị trí $B\\left( {- 1; - \\dfrac{1}{2};\\dfrac{7}{2}} \\right)$ với vận tốc 80 km/h theo một đường thẳng. Thời gian mà vệ tinh di chuyển trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Áp dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vecto trong không gian.

Nhận thấy $OA = \\sqrt{4^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \\sqrt{21} \\approx 4,582 > 3;$

$OB = \\sqrt{{( - 1)}^{2} + \\left( \\dfrac{- 1}{2} \\right)^{2} + \\left( \\dfrac{7}{2} \\right)^{2}} = \\dfrac{3\\sqrt{6}}{2} \\approx 3,67 > 3$.

Suy ra hai điểm A, B nằm ngoài tầm phát hiện của trạm theo dõi.

Ta có $\\overset{\\rightarrow}{AB} = \\left( {- 5;\\dfrac{- 5}{2};\\dfrac{5}{2}} \\right) = \\dfrac{5}{2}\\left( {- 2; - 1;1} \\right) = \\dfrac{5}{2}\\overset{\\rightarrow}{u}$.

Gọi M(x; y; z) là vị trí của của vệ tinh trên đoạn AB trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi.

Khi đó ta có $\\overset{\\rightarrow}{AM} = t\\overset{\\rightarrow}{u}$, với $\\left. t > 0\\Rightarrow M\\left( {4 - 2t;2 - t;1 + t} \\right) \\right.$.

$\\left. OM \\leq 3\\Leftrightarrow{(4 - 2t)}^{2} + {(2 - t)}^{2} + {(1 + t)}^{2} \\leq 9\\Leftrightarrow 1 \\leq t \\leq 2. \\right.$

Với $\\left. t = 1\\Rightarrow M_{1}(2;1;2) \\right.$.

Với $\\left. t = 2\\Rightarrow M_{2}(0;0;3) \\right.$.

Vậy vị trí đầu tiên vệ tinh bị theo dõi là $M_{1}(2;1;2)$ và vị trí cuối cùng trước khi ra khỏi phạm vi theo dõi là $M_{2}(0;0;3)$.

Ta có $M_{1}M_{2} = \\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \\sqrt{6}$ nên khoảng cách thực tế giữa $M_{1}$ và $M_{2}$ là $10\\sqrt{6}$ km.

Suy ra thời gian vệ tinh bay trong vùng do thám là $t = \\dfrac{10\\sqrt{6}}{80}$ (giờ) $= \\dfrac{10\\sqrt{6}}{80}.60 \\approx 18,4$ (phút).

Một tập đoàn năng lượng cần xây dựng tuyến ống dẫn dầu cỡ lớn chạy theo một đường thẳng dài 720km để dẫn dầu đi qua một vùng hoang mạc rộng lớn. Hai trạm bơm công suất lớn ở hai đầu tuyến đã xây xong, phần việc còn lại là:

+) Lắp đặt ống dẫn dầu giữa hai trạm bơm công suất lớn đã có.

+) Xây thêm một số trạm bơm tăng áp nằm trên tuyến ống dẫn để tăng hiệu quả dẫn dầu sao cho các trạm bơm tăng áp này chia toàn bộ tuyến ống dẫn dầu thành các đoạn có độ dài bằng nhau.

Đơn vị thiết kế lập dự toán phần việc còn lại như sau:

+) Chi phí xây 1 trạm bơm tăng áp là 108 (triệu đồng).

+) Chi phí xây đoạn ống dẫn dầu nối giữa hai trạm bơm kề nhau với khoảng cách x km là $x\\left( {2 + \\sqrt{x}} \\right)$ (triệu đồng).

Hỏi cần xây thêm bao nhiêu trạm bơm tăng áp để tổng chi phí phần việc còn lại theo dự toán như trên là nhỏ nhất? Coi kích thước của các trạm bơm tăng áp là không đáng kể so với chiều dài toàn tuyến ống dẫn dầu.

Gọi số trạm tăng áp cần xây thêm là n. Biểu diễn n và lập hàm chi phí theo x. Tìm x để hàm chi phí đạt giá trị nhỏ nhất, từ đó tính n.

Gọi số trạm tăng áp cần xây thêm là n.

Khi đó toàn tuyến được chia thành n + 1 đoạn bằng nhau, nên $\\left. (n + 1)x = 720\\Rightarrow n = \\dfrac{720}{x} - 1. \\right.$

Tổng chi phí gồm:

- Chi phí xây trạm tăng áp: 108n;

- Chi phí xây ống cho n + 1 đoạn: $(n + 1)(2 + \\sqrt{x})x$.

Vậy $y = f(x) = 108n + (n + 1)(2 + \\sqrt{x})x.$

Thay $n = \\dfrac{720}{x} - 1$, ta được:

$f(x) = 108\\left( {\\dfrac{720}{x} - 1} \\right) + \\left( {\\dfrac{720}{x} - 1 + 1} \\right)(2 + \\sqrt{x})x$

$= \\dfrac{77760}{x} + 720\\sqrt{x} + 1332$ với $0 < x \\leq 720$.

Ta có: $f'(x) = - \\dfrac{77760}{x^{2}} + 720 \\cdot \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}} = - \\dfrac{77760}{x^{2}} + \\dfrac{360}{\\sqrt{x}}.$

Giải $f'(x) = 0$: $\\left. - \\dfrac{77760}{x^{2}} + \\dfrac{360}{\\sqrt{x}} = 0\\Rightarrow\\dfrac{360}{\\sqrt{x}} = \\dfrac{77760}{x^{2}}\\Rightarrow 360x^{2} = 77760\\sqrt{x} \\right.$.

Chia hai vế cho $360\\sqrt{x}$: $\\left. x^{3/2} = 216\\Rightarrow x = \\sqrt[3]{216^{2}} = 36 \\right.$.

Khi 0 < x < 36 thì f’(x) < 0, khi 36 < x < 720 thì f’(x) > 0, nên f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 36.

Khi đó $n = \\dfrac{720}{36} - 1 = 20 - 1 = 19$.

Kết luận: Cần xây thêm 19 trạm tăng áp để tổng chi phí nhỏ nhất.

Cho một nhóm 15 học sinh có chiều cao khác nhau gồm 5 học sinh nữ có chiều cao tăng dần ký hiệu lần lượt là $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ và 10 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 15 học sinh đó thành một hàng ngang sao cho nếu tính từ trái sang phải thì các học sinh nữ có chiều cao tăng dần, các học sinh nam cũng có chiều cao tăng dần; giữa học sinh $G_{1}$ và $G_{2}$ có ít nhất 2 học sinh nam, giữa học sinh $G_{4}$ và $G_{5}$ có ít nhất 1 học sinh nam và nhiều nhất 4 học sinh nam?

Áp dụng phương pháp vách ngăn.

Gọi $x_{1}$ là số học sinh nam được xếp bên trái $G_{1}$, $x_{2}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{1}$ và $G_{2}$, $x_{3}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{2}$ và $G_{3}$, $x_{4}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{3}$ và $G_{4}$,$x_{5}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{4}$ và $G_{5}$, $x_{6}$ là số học sinh nam được xếp bên phải $G_{5}$.

Khi đó bộ số $(x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{5};x_{6})$ hoàn toàn xác định vị trí của các học sinh nữ và ta có:

$\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 10} \\\\\n{x_{1},x_{3},x_{4},x_{6} \\geq 0;x_{2} \\geq 2;1 \\leq x_{5} \\leq 4}\n\\end{array} \\right.$

Đặt $y_{1} = x_{1} + 1,y_{2} = x_{2} - 1;y_{3} = x_{3} + 1,y_{4} = x_{4} + 1,y_{6} = x_{6} + 1$.

Khi đó số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là số nghiệm nguyên dương ($y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{6}$) của phương trình $y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{6} = 13 - x_{5}$, với $1 \\leq x_{5} \\leq 4$.

+) Xét $x_{5} = 1$, ta có $y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{6} = 12$. Ta xét dãy gồm 12 chữ số 1 như sau:

$1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1$.

Giữa hai số 1 bất kỳ có một khoảng trống. Ta chỉ cần chọn 4 vị trí khoảng trống để ngăn cách sẽ tạo thành 5 đoạn ứng với bộ $(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{6})$. Vậy số nghiệm trong trường hợp này là $C_{11}^{4}$.

+) Xét $x_{5} = 2$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{10}^{4}$.

+) Xét $x_{5} = 3$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{9}^{4}$.

+) Xét $x_{5} = 4$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{8}^{4}$.

Suy ra số cách xếp là $C_{11}^{4} + C_{10}^{4} + C_{9}^{4} + C_{8}^{4} = 736$.