• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề khảo sát trực tuyến lớp 12 môn Toán Sở GD&ĐT Quảng Ninh 2025 - 2026

Số câu: 22 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: Toán THPT

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm (4; 0).

b) Đồ thị hàm số f(x) có đường tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1.

c) Đồ thị hàm số f(x) có tâm đối xứng là điểm I(2; 3).

d) Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm x = 3 có dạng y = mx + n, giá trị m – n bằng 50.

a) Đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm (4; 0).

b) Đồ thị hàm số f(x) có đường tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1.

c) Đồ thị hàm số f(x) có tâm đối xứng là điểm I(2; 3).

d) Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm x = 3 có dạng y = mx + n, giá trị m – n bằng 50.

a) Đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm (4; 0).

b) Đồ thị hàm số f(x) có đường tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1.

c) Đồ thị hàm số f(x) có tâm đối xứng là điểm I(2; 3).

d) Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm x = 3 có dạng y = mx + n, giá trị m – n bằng 50.

Cho hàm số $y = f(x) = \\dfrac{x^{2} - x - 12}{x - 2}$.

a) Đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm (4; 0).

b) Đồ thị hàm số f(x) có đường tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1.

c) Đồ thị hàm số f(x) có tâm đối xứng là điểm I(2; 3).

d) Phương trình đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm x = 3 có dạng y = mx + n, giá trị m – n bằng 50.

a) Đúng. Vì $f(4) = \\dfrac{4^{2} - 4 - 12}{4 - 2} = 0$ nên đồ thị đi qua điểm (4; 0).

b) Sai. $f(x) = \\dfrac{x^{2} - x - 12}{x - 2} = x + 1 - \\dfrac{10}{x - 2}$.

Ta có $\\lim\\limits_{x\\rightarrow \\pm \\infty}\\left\\lbrack {f(x) - (x + 1)} \\right\\rbrack = \\lim\\limits_{x\\rightarrow \\pm \\infty}\\left( {- \\dfrac{10}{x - 2}} \\right) = 0$ nên đồ thị có đường tiệm cận xiên là y = x + 1.

c) Đúng. Đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2, tiệm cận xiên là y = x + 1.

Giao điểm của hai đường tiệm cận trên là I(2; 3), đồng thời là tâm đối xứng của đồ thị.

d) Đúng. $f'(x) = \\dfrac{(x^{2} - x - 12)'(x - 2) - (x^{2} - x - 12)(x - 2)'}{{(x - 2)}^{2}}$

$= \\dfrac{(2x - 1)(x - 2) - (x^{2} - x - 12)}{{(x - 2)}^{2}} = \\dfrac{x^{2} - 4x + 14}{{(x - 2)}^{2}}$.

$f'(3) = \\dfrac{3^{2} - 4.3 + 14}{{(3 - 2)}^{2}} = 11$; $f(3) = \\dfrac{3^{2} - 3 - 12}{3 - 2} = - 6$.

Phương trình tiếp tuyến: $\\left. y = 11(x - 3) - 6\\Leftrightarrow y = 11x - 39 \\right.$.

Vậy m – n = 11 – (-39) = 50.

Ứng dụng đạo hàm khảo sát hàm số.

Trong một nhà máy, tốc độ tiêu thụ điện năng của một dây chuyền sản xuất sau khi khởi động có xu hướng giảm dần theo thời gian và tiến về mức ổn định. Giả sử sau khi bắt đầu vận hành được t giờ, tốc độ tiêu thụ điện năng của dây chuyền sản xuất này được mô hình bởi hàm số $E'(t) = A + e^{- 0,4t}$ (đơn vị: kWh/giờ) $\\left( {0 \\leq t \\leq 8} \\right)$, trong đó E(t) (kWh) là lượng điện năng tiêu thụ tính từ lúc bắt đầu vận hành. Biết rằng trong 8 giờ đầu tiên, dây chuyền đã tiêu thụ tổng cộng 120 kWh.

a) $E(t) = At - \\dfrac{5}{2}e^{- 0,4t} + C$, với C là hằng số.

b) A = 14 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

c) Lượng điện năng tiêu thụ của dây chuyền trong 4 giờ đầu lớn hơn 65 kWh.

d) Tốc độ tiêu thụ điện năng trung bình của dây chuyền sản xuất trong khoảng thời gian từ a giờ đến b giờ được xác định bởi công thức $\\overline{v} = \\dfrac{E(b) - E(a)}{b - a}$ (kWh/giờ). Tốc độ tiêu thụ điện năng trung bình của dây chuyền sản xuất này trong 4 giờ cuối bằng 14,6 kWh/giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) $E(t) = At - \\dfrac{5}{2}e^{- 0,4t} + C$, với C là hằng số.

b) A = 14 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

c) Lượng điện năng tiêu thụ của dây chuyền trong 4 giờ đầu lớn hơn 65 kWh.

d) Tốc độ tiêu thụ điện năng trung bình của dây chuyền sản xuất trong khoảng thời gian từ a giờ đến b giờ được xác định bởi công thức $\\overline{v} = \\dfrac{E(b) - E(a)}{b - a}$ (kWh/giờ). Tốc độ tiêu thụ điện năng trung bình của dây chuyền sản xuất này trong 4 giờ cuối bằng 14,6 kWh/giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) $E(t) = At - \\dfrac{5}{2}e^{- 0,4t} + C$, với C là hằng số.

b) A = 14 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

c) Lượng điện năng tiêu thụ của dây chuyền trong 4 giờ đầu lớn hơn 65 kWh.

d) Tốc độ tiêu thụ điện năng trung bình của dây chuyền sản xuất trong khoảng thời gian từ a giờ đến b giờ được xác định bởi công thức $\\overline{v} = \\dfrac{E(b) - E(a)}{b - a}$ (kWh/giờ). Tốc độ tiêu thụ điện năng trung bình của dây chuyền sản xuất này trong 4 giờ cuối bằng 14,6 kWh/giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Trong một nhà máy, tốc độ tiêu thụ điện năng của một dây chuyền sản xuất sau khi khởi động có xu hướng giảm dần theo thời gian và tiến về mức ổn định. Giả sử sau khi bắt đầu vận hành được t giờ, tốc độ tiêu thụ điện năng của dây chuyền sản xuất này được mô hình bởi hàm số $E'(t) = A + e^{- 0,4t}$ (đơn vị: kWh/giờ) $\\left( {0 \\leq t \\leq 8} \\right)$, trong đó E(t) (kWh) là lượng điện năng tiêu thụ tính từ lúc bắt đầu vận hành. Biết rằng trong 8 giờ đầu tiên, dây chuyền đã tiêu thụ tổng cộng 120 kWh.

a) $E(t) = At - \\dfrac{5}{2}e^{- 0,4t} + C$, với C là hằng số.

b) A = 14 (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

c) Lượng điện năng tiêu thụ của dây chuyền trong 4 giờ đầu lớn hơn 65 kWh.

d) Tốc độ tiêu thụ điện năng trung bình của dây chuyền sản xuất trong khoảng thời gian từ a giờ đến b giờ được xác định bởi công thức $\\overline{v} = \\dfrac{E(b) - E(a)}{b - a}$ (kWh/giờ). Tốc độ tiêu thụ điện năng trung bình của dây chuyền sản xuất này trong 4 giờ cuối bằng 14,6 kWh/giờ (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Đúng. $E(t) = {\\int{E'(t)dt}} = {\\int{\\left( {A + e^{- 0,4t}} \\right)dt}} $

$= At + \\dfrac{e^{- 0,4t}}{- 0,4} + C = At - \\dfrac{5}{2}e^{- 0,4t} + C$.

b) Sai. Trong 8 giờ đầu tiên, dây chuyền đã tiêu thụ tổng cộng 120 kWh nên:

${\\int\\limits_{0}^{8}{E'(t)dt}} = 120\\Leftrightarrow E(8) - E(0) = 120$

$\\Leftrightarrow\\left( {A.8 - \\dfrac{5}{2}e^{- 0,4.8}} \\right) - \\left( {A.0 - \\dfrac{5}{2}e^{- 0,4.0}} \\right) = 120 $

$\\left. \\Leftrightarrow A = \\dfrac{117,5 + 2,5e^{- 3,2}}{8} \\approx 15 \\right.$.

c) Sai. ${\\int\\limits_{0}^{4}{E'(t)dt}} = \\left( {A.4 - \\dfrac{5}{2}e^{- 0,4.4}} \\right) - \\left( {A.0 - \\dfrac{5}{2}e^{- 0,4.0}} \\right) \\approx 61$ kWh < 65 kWh.

d) Sai. $E(8) - E(4) = {\\int\\limits_{4}^{8}{E'(t)dt}} $

$= {\\int\\limits_{0}^{8}{E'(t)dt}} - {\\int\\limits_{0}^{4}{E'(t)dt}} \\approx 120 - 61 = 59$.

$\\overline{v} = \\dfrac{E(b) - E(a)}{b - a} \\approx \\dfrac{59}{8 - 4} \\approx 14,8$.

Ứng dụng tích phân để giải bài toán.

Một trung tâm ngoại ngữ tổ chức một kỳ thi đánh giá năng lực cho các học viên. Trung tâm thống kê được rằng:

(1) 55% thí sinh là nữ;

(2) trong số các thí sinh nữ có 80% thí sinh vượt qua bài kiểm tra;

(3) trong số các thí sinh nam có 25% thí sinh không vượt qua bài kiểm tra.

Chọn ngẫu nhiên một thí sinh.

a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.

b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.

c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.

d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.

a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.

b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.

c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.

d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.

a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.

b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.

c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.

d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.

Một trung tâm ngoại ngữ tổ chức một kỳ thi đánh giá năng lực cho các học viên. Trung tâm thống kê được rằng:

(1) 55% thí sinh là nữ;

(2) trong số các thí sinh nữ có 80% thí sinh vượt qua bài kiểm tra;

(3) trong số các thí sinh nam có 25% thí sinh không vượt qua bài kiểm tra.

Chọn ngẫu nhiên một thí sinh.

a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.

b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.

c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.

d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.

A: “Thí sinh được chọn là nữ”; $\\overline{A}$: “Thí sinh được chọn là nam”.

B: “Thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra”; $\\overline{B}$: “Thí sinh được chọn không vượt qua bài kiểm tra”.

Theo giả thiết: P(A) = 0,55; P(B|A) = 0,8; $\\left. P(\\overline{B} \\middle| \\overline{A}) = 0,25 \\right.$.

a) Đúng. $P(\\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,55 = 0,45$.

b) Đúng. $\\left. P(B \\middle| \\overline{A}) = 1 - P(\\overline{B} \\middle| \\overline{A}) = 1 - 0,25 = 0,75 \\right.$.

c) Sai. $P(B) = P(A)P(B|A) + P(\\bar A)P(B|\\bar A)$

$ = 0,55.0,8 + 0,45.0,75 = 0,7775 = 77,5\\% $.

d) Sai. $P(\\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7775 = 0,2225$;

$\\left. P(\\overline{B} \\middle| A) = 1 - P(B \\middle| A) = 1 - 0,8 = 0,2 \\right.$.

$\\left. P(A \\middle| \\overline{B}) = \\dfrac{\\left. P(A)P(\\overline{B} \\middle| A) \\right.}{P(\\overline{B})} = \\dfrac{0,55.0,2}{0,2225} \\approx 0,49 > 0,45 \\right.$.

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần.

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ki-lô-mét), một máy bay đang ở vị trí A(3; -1; 0,6) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(2; 3; 0) ở trên đường băng EG (hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\\alpha)$ đi qua ba điểm M(7; 0; 0), N(0; -7; 0) và P(0; 0; 0,9).

a) Đường thẳng AB có phương trình tham số là $\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 3 - t} \\\\ {y = - 1 + 4t} \\\\ {z = 0,6 - 0,6t} \\end{array} \\right.\\left( {t \\in {\\mathbb{R}}} \\right)$.

b) Khi máy bay cách mặt đất 120 m thì vị trí của máy bay trên đường thẳng AB là điểm D(2,2; 2,2; 0,12).

c) Độ cao của máy bay khi xuyên qua lớp mây để hạ cánh là 0,5 km (làm tròn kết quả tới hàng phần mười).

d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm cuối G(4; 6; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Nếu sau khi ra khỏi lớp mây tầm nhìn của người phi công là 1500 m thì người phi công đã đạt được quy định an toàn bay.

a) Đường thẳng AB có phương trình tham số là $\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 3 - t} \\\\ {y = - 1 + 4t} \\\\ {z = 0,6 - 0,6t} \\end{array} \\right.\\left( {t \\in {\\mathbb{R}}} \\right)$.

b) Khi máy bay cách mặt đất 120 m thì vị trí của máy bay trên đường thẳng AB là điểm D(2,2; 2,2; 0,12).

c) Độ cao của máy bay khi xuyên qua lớp mây để hạ cánh là 0,5 km (làm tròn kết quả tới hàng phần mười).

d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm cuối G(4; 6; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Nếu sau khi ra khỏi lớp mây tầm nhìn của người phi công là 1500 m thì người phi công đã đạt được quy định an toàn bay.

a) Đường thẳng AB có phương trình tham số là $\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 3 - t} \\\\ {y = - 1 + 4t} \\\\ {z = 0,6 - 0,6t} \\end{array} \\right.\\left( {t \\in {\\mathbb{R}}} \\right)$.

b) Khi máy bay cách mặt đất 120 m thì vị trí của máy bay trên đường thẳng AB là điểm D(2,2; 2,2; 0,12).

c) Độ cao của máy bay khi xuyên qua lớp mây để hạ cánh là 0,5 km (làm tròn kết quả tới hàng phần mười).

d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm cuối G(4; 6; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Nếu sau khi ra khỏi lớp mây tầm nhìn của người phi công là 1500 m thì người phi công đã đạt được quy định an toàn bay.

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là ki-lô-mét), một máy bay đang ở vị trí A(3; -1; 0,6) và sẽ hạ cánh ở vị trí B(2; 3; 0) ở trên đường băng EG (hình vẽ). Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\\alpha)$ đi qua ba điểm M(7; 0; 0), N(0; -7; 0) và P(0; 0; 0,9).

a) Đường thẳng AB có phương trình tham số là $\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 3 - t} \\\\ {y = - 1 + 4t} \\\\ {z = 0,6 - 0,6t} \\end{array} \\right.\\left( {t \\in {\\mathbb{R}}} \\right)$.

b) Khi máy bay cách mặt đất 120 m thì vị trí của máy bay trên đường thẳng AB là điểm D(2,2; 2,2; 0,12).

c) Độ cao của máy bay khi xuyên qua lớp mây để hạ cánh là 0,5 km (làm tròn kết quả tới hàng phần mười).

d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm cuối G(4; 6; 0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Nếu sau khi ra khỏi lớp mây tầm nhìn của người phi công là 1500 m thì người phi công đã đạt được quy định an toàn bay.

a) Đúng. $\\overset{\\rightarrow}{AB} = \\left( {2 - 3;3 - ( - 1);0 - 0,6} \\right) = \\left( {- 1;4; - 0,6} \\right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng AB: $\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 3 - t} \\\\ {y = - 1 + 4t} \\\\ {z = 0,6 - 0,6t} \\end{array} \\right.\\left( {t \\in {\\mathbb{R}}} \\right)$.

b) Đúng. Đổi: 120 m = 0,12 km.

Ta có $\\left. \\left\\{ \\begin{array}{l} {x = 3 - t} \\\\ {y = - 1 + 4t} \\\\ {z = 0,6 - 0,6t = 0,12} \\end{array} \\right.\\Leftrightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l} {t = 0,8} \\\\ {x = 2,2} \\\\ {y = 2,2} \\\\ {z = 0,12} \\end{array} \\right.\\Rightarrow D\\left( {2,2;2,2;0,12} \\right) \\right.$.

c) Đúng. $(\\alpha)$: $\\left. \\dfrac{x}{7} + \\dfrac{y}{- 7} + \\dfrac{z}{0,9} = 1\\Leftrightarrow 0,9x - 0,9y + 7z = 6,3 \\right.$.

Máy bay xuyên qua lớp mây tại: $\\left. 0,9(3 - t) - 0,9( - 1 + 4t) + 7(0,6 - 0,6t) = 6,3\\Leftrightarrow t = \\dfrac{5}{29} \\right.$.

Độ cao máy bay khi đó là $0,6 - 0,6.\\dfrac{5}{29} = \\dfrac{72}{145} \\approx 0,5$ (km).

d) Sai. Thay $t = \\dfrac{5}{29}$ vào phương trình đường thẳng AB, ta được $I\\left( {\\dfrac{82}{29}; - \\dfrac{9}{29};\\dfrac{72}{145}} \\right)$ là điểm máy bay xuyên qua lớp mây.

$IG = \\sqrt{\\left( {4 - \\dfrac{82}{29}} \\right)^{2} + \\left( {6 + \\dfrac{9}{29}} \\right)^{2} + \\left( {0 - \\dfrac{72}{145}} \\right)^{2}} \\approx 6,4$ (km).

Vì khoảng cách thực tế đến điểm G là 6,43 km, mà tầm nhìn của phi công chỉ có 1,5 km, nên phi công không thể nhìn thấy điểm G ngay khi vừa ra khỏi lớp mây.

Ứng dụng phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian tọa độ.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 6. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của đoạn thẳng AB. Biết góc phẳng nhị diện [S, BC, A] bằng $60^{o}$. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC (không làm tròn các phép tính trung gian, kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng phần mười).

Sử dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, xác định góc phẳng nhị diện và chiều cao khối chóp, từ đó tính được thể tích khối chóp.

Gọi E là trung điểm của BC, K là trung điểm của BE, H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).

Khi đó, HK là đường trung bình của tam giác ABE và HK // AE.

Tam giác ABC là tam giác đều nên $\\left. AE\\bot BC\\Rightarrow HK\\bot BC \\right.$ (1)

$ \\left. \\begin{array}{l} \\left. SH\\bot(ABC)\\Rightarrow SH\\bot BC \\right. \\\\ {HK\\bot BC} \\end{array} \\right\\}$

$\\Rightarrow BC\\bot(SHK)\\Rightarrow BC\\bot SK $ (2)

Mà $(SBC) \\cap (ABC) = BC$, $S \\in (SBC)$, $A \\in (ABC)$ (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\\lbrack S,BC,A\\rbrack = \\widehat{SKH} = 60^{o}$.

Ta có $\\left. AE = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\Rightarrow HK = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2} \\right.$.

Xét tam giác SHK vuông tại H:

$ \\tan\\widehat{SKH} = \\dfrac{SH}{HK}$

$\\Rightarrow SH = HK\\tan\\widehat{SKH} = \\dfrac{3\\sqrt{3}}{2}.\\tan 60^{o} = \\dfrac{9}{2} $.

$V_{S.ABC} = \\dfrac{1}{3}S_{ABC}.SH = \\dfrac{1}{3}.\\dfrac{6^{2}\\sqrt{3}}{4}.\\dfrac{9}{2} \\approx 23,4$ (đvtt).

Vào ngày 15 tháng 1 năm 2026 anh Bình gửi vào ngân hàng 1 tỷ đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Kể từ tháng 2 năm 2026, cứ vào ngày 15 mỗi tháng anh Bình đến ngân hàng rút ra 25 triệu đồng để chi tiêu. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Bình rút hết tiền trong ngân hàng (ở tháng cuối cùng, số tiền rút ra có thể ít hơn 25 triệu đồng).

Thiết lập công thức tính số tiền trong tài khoản sau n tháng, tìm n nguyên để số tiền đó nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Gọi:

+ A = 1 000 (đơn vị: triệu đồng) là số tiền gửi ban đầu.

+ r = 0,6% = 0,006 là lãi suất hàng tháng.

+ m = 25 (triệu đồng) là số tiền rút ra mỗi tháng.

+ $S_{n}$ là số tiền còn lại sau n tháng rút tiền.

Diễn biến số dư qua từng tháng:

+ Cuối tháng 1/2026: Số tiền là A(1 + r).

+ Sau khi rút lần 1 (15/02/2026):

$S_{1} = A(1 + r) - m$.

+ Sau khi rút lần 2 (15/03/2026):

$S_{2} = S_{1}(1 + r) - m = A{(1 + r)}^{2} - m(1 + r) - m$.

Tổng quát sau n tháng:

$S_{n} = A{(1 + r)}^{n} - m\\dfrac{{(1 + r)}^{n} - 1}{r}$.

Ta có $ S_{n} \\leq 0\\Leftrightarrow A{(1 + r)}^{n} - m\\dfrac{{(1 + r)}^{n} - 1}{r} \\leq 0$

$\\Leftrightarrow{(1 + r)}^{n} \\geq \\dfrac{m}{m - Ar}$.

Thay số vào phương trình trên, ta được:

$\\left. {(1 + 0,006)}^{n} \\geq \\dfrac{25}{25 - 1000.0,006}\\Rightarrow n \\geq 45,9 \\right.$.

Vậy sau 46 tháng thì anh Bình sẽ rút hết tiền trong ngân hàng.

Cho một bảng ô vuông kích thước 2×7 như hình vẽ dưới đây.

Hai ô vuông gọi là kề nhau nếu có chung một cạnh. Người ta tô màu các ô vuông bởi hai màu đen và đỏ sao cho mỗi ô chỉ được tô đúng một màu. Gọi P là xác suất để có đúng 3 ô được tô màu đỏ và không có hai ô đỏ nào kề nhau. Giá trị 8192P bằng bao nhiêu?

Sử dụng phương pháp tổ hợp và phương pháp vách ngăn.

Tổng số cách tô màu: $2^{14}$.

TH1: 3 ô đỏ nằm cùng 1 hàng.

- Số cách chọn 1 hàng: 2 cách.

- Số cách chọn 3 ô không kề nhau trên 1 hàng để tô màu đỏ:

4 ô màu đen còn lại tạo thành 5 khoảng trống. Chọn 3 trong 5 khoảng trống đó để tô màu đỏ: $C_{5}^{3}$ cách.

Vậy TH1 có $1.2.C_{5}^{3} = 20$ cách tô màu.

TH2: 2 ô đỏ ở cùng 1 hàng và 1 ô đỏ ở hàng còn lại.

- Số cách chọn hàng có 2 ô đỏ: 2 cách.

- Số cách chọn 2 ô không kề nhau trên 1 hàng để tô màu đỏ:

5 ô màu đen còn lại tạo thành 6 khoảng trống. Chọn 2 trong 6 khoảng trống đó để tô màu đỏ: $C_{6}^{2}$ cách.

- Số cách chọn 1 ô màu đỏ ở hàng còn lại không kề với 2 ô đỏ đã chọn: 5 cách.

Vậy TH2 có $1.2.C_{6}^{2}.5 = 150$ cách.

Xác suất cần tìm là:

$\\left. P = \\dfrac{20 + 150}{2^{14}} = \\dfrac{85}{8192}\\Rightarrow 8192P = 85 \\right.$.

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 200 đơn vị sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất x đơn vị sản phẩm $\\left( {1 \\leq x \\leq 200} \\right)$ thì giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là f(x) = 435 – 2x (triệu đồng) và chi phí sản xuất bình quân cho một đơn vị sản phẩm là $g(x) = \\dfrac{0,7x^{2}}{125} - 1,706x + 96,5 + \\dfrac{6375}{x}$ (triệu đồng). Biết rằng mức thuế cho một đơn vị sản phẩm này là 2,5 triệu đồng. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn nhất?

Doanh thu (R): Bằng số lượng sản phẩm nhân với giá bán mỗi đơn vị.

Tổng chi phí (C): Bằng số lượng sản phẩm nhân với chi phí bình quân mỗi đơn vị.

Tổng thuế (T): Mỗi đơn vị sản phẩm chịu thuế 2,5 triệu đồng.

Lợi nhuận (P): Bằng Doanh thu trừ đi Tổng chi phí và Tổng thuế.

Doanh thu: $R(x) = x.f(x) $

$= x(435 - 2x) = 435x - 2x^{2}$.

Tổng chi phí: $C(x) = x.g(x) $

$= x\\left( {\\dfrac{0,7x^{2}}{125} - 1,706x + 96,5 + \\dfrac{6375}{x}} \\right)$

$= 0,0056x^{3} - 1,706x^{2} + 96,5x + 6375$.

Tổng thuế: T(x) = 2,5x.

Lợi nhuận (P): P(x) = R(x) - C(x) - T(x)

$= (435x - 2x^{2}) - (0,0056x^{3} - 1,706x^{2} + 96,5x + 6375) - 2,5x$

$= - 0,0056x^{3} - 0,294x^{2} + 336x - 6375$.

$\\left. P'(x) = 0\\Leftrightarrow - 0,0168x^{2} - 0,588x + 336 = 0\\Leftrightarrow\\left\\lbrack \\begin{array}{l} {x = 125} \\\\ {x = - 160} \\end{array} \\right. \\right.$

Xét trên [1; 200]: $P(1) \\approx - 6039$, $P(125) \\approx 20094$, $P(200) = 4265$.

Vậy doanh nghiệp có lợi nhuận lớn nhất khi sản xuất 125 đơn vị sản phẩm.

Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng MN, khi ta cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng đi qua trục của khối tròn xoay thì ta được mặt cắt có dạng như hình vẽ dưới đây:

Biết MN = 24 cm, ABCD là hình chữ nhật có AB = 18 cm, AD = 36 cm, hai cung APD và BQC là một phần của các đường parabol với đỉnh lần lượt là P, Q và PQ = 10 cm. Thể tích của mô hình đó bằng bao nhiêu xăng-ti-mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Chọn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình.

Khi đó N(12; 0), Q(0; 5), C(18; 9), B(-18; 9).

Giả sử parabol BQC có phương trình $y = ax^{2} + bx + c$ (a > 0).

B, Q, C thuộc parabol nên ta có hệ: 

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}5 = a{.0^2} + b.0 + c\\\\9 = a{.18^2} + b.18 + c\\\\9 = a{( - 18)^2} + b( - 18) + c\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a = \\frac{1}{{81}}\\\\b = 0\\\\c = 5\\end{array} \\right.\\)

Vậy parabol BQC có phương trình $y = \\dfrac{1}{81}x^{2} + 5$.

Giả sử NC có phương trình y = mx + n. Ta có hệ:

$\\left\\{ \\begin{array}{l} {0 = m.12 + n} \\\\ {9 = m.18 + n} \\end{array} \\right.\\Leftrightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l} {m = 1,5} \\\\ {n = - 18} \\end{array} \\right.$

$\\Rightarrow y = 1,5x - 18 $.

Thể tích mô hình là:

$V = 2\\pi{\\int\\limits_{0}^{18}{\\left( {\\dfrac{1}{81}x^{2} + 5} \\right)^{2}dx}} - 2\\pi{\\int\\limits_{12}^{18}{\\left( {1,5x - 18} \\right)^{2}dx}} \\approx 3679$ $(cm^{3})$.

Cho tập hợp gồm 18 số tự nhiên S = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18}. Chọn ngẫu nhiên 9 số tự nhiên từ tập và điền vào 9 ô vuông của một bảng 3x3 như hình vẽ. Gọi T là số cách điền thỏa mãn các số trên mỗi đường chéo theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị $\\dfrac{T}{100}$.

Sử dụng tính chất của cấp số nhân, phương pháp liệt kê và phương pháp tổ hợp.

Bộ ba số lập thành cấp số nhân từ tập S: (1; 2; 4), (1; 3; 9), (1; 4; 16), (2; 4; 8), (2; 6; 18), (3; 6; 12), (4; 6; 9), (4; 8; 16), (8; 12; 18), (9; 12; 16).

Ta có các nhóm cấp số nhân thỏa mãn xếp vào hai đường chéo là:

+ (2; 4; 8), (1; 4; 16).

+ (4; 6; 9), (3; 6; 12), (2; 6; 18).

+ (8; 12; 18), (9; 12; 16).

TH1: Xếp dãy cấp số nhân có 4 là số chính giữa.

- Chọn hai bộ cấp số nhân: 1 cách.

- Xếp vào hai đường chéo: 2 cách.

- Mỗi bộ có hai cách xếp thứ tự: 2.2 = 4 cách.

TH2: Xếp dãy cấp số nhân có 6 là số chính giữa.

- Chọn hai bộ cấp số nhân: $C_{3}^{2} = 3$ cách.

- Xếp vào hai đường chéo: 2 cách.

- Mỗi bộ có hai cách xếp thứ tự: 2.2 = 4 cách.

TH3: Xếp dãy cấp số nhân có 12 là số chính giữa.

- Chọn hai bộ cấp số nhân: 1 cách.

- Xếp vào hai đường chéo: 2 cách.

- Mỗi bộ có hai cách xếp thứ tự: 2.2 = 4 cách.

Tổng cộng có 1.2.4 + 3.2.4 + 1.2.4 = 40 cách xếp hai đường chéo.

Số cách xếp các ô còn lại là: $A_{13}^{4} = 17160$ cách.

Vậy $\\left. T = 40.17160 = 686400\\Rightarrow\\dfrac{T}{100} = 6864 \\right.$.