• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi giữa học kì 1 - Đề số 9

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: Giữa học kì 1

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \\infty)$.

b) Gọi A, B là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Diện tích của tam giác OAB bằng 8 (đơn vị diện tích), trong đó O là gốc tọa độ.

c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = 2x + 2$.

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\\lbrack - 3;3\\rbrack$ bằng $- 3,2$.

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \\infty)$.

b) Gọi A, B là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Diện tích của tam giác OAB bằng 8 (đơn vị diện tích), trong đó O là gốc tọa độ.

c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = 2x + 2$.

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\\lbrack - 3;3\\rbrack$ bằng $- 3,2$.

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \\infty)$.

b) Gọi A, B là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Diện tích của tam giác OAB bằng 8 (đơn vị diện tích), trong đó O là gốc tọa độ.

c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = 2x + 2$.

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\\lbrack - 3;3\\rbrack$ bằng $- 3,2$.

Cho hàm số $y = f(x) = \\dfrac{x^{2} + 2x + 4}{x + 2}$.

a) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \\infty)$.

b) Gọi A, B là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số. Diện tích của tam giác OAB bằng 8 (đơn vị diện tích), trong đó O là gốc tọa độ.

c) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = 2x + 2$.

d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\\lbrack - 3;3\\rbrack$ bằng $- 3,2$.

a) Đúng. \\(y = x + \\frac{4}{{x + 2}}\\).

\\(y' = 1 - \\frac{4}{{{{(x + 2)}^2}}} > 0\\) khi x > 0.

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \\(\\left( {0; + \\infty } \\right)\\).

b) Sai. \\(y' = 1 - \\frac{4}{{{{(x + 2)}^2}}} = 0 \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}x = 0\\\\x =  - 4\\end{array} \\right.\\).

Tọa độ hai cực trị của hàm số là A(-4;-6), B(0;2).

Diện tích tam giác OAB là \\(\\frac{1}{2}.2.4 = 4\\) (đvdt).

c) Đúng. Thay tọa độ hai cực trị vào phương trình y = 2x + 2 thấy thỏa mãn nên y = 2x + 2 là đường thẳng đi qua hai cực trị.

d) Sai. Khoảng [-3;3] không liên tục, ta có \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {2^ + }} y =  + \\infty \\) và \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to  - {2^ - }} y =  - \\infty \\) nên không tìm được GTLN và GTNN của hàm trên khoảng này.

Tính đạo hàm và khảo sát hàm số.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$. Đáy $ABCD$ có tâm là $O$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $\\overset{\\rightarrow}{OA} + \\overset{\\rightarrow}{OB} + \\overset{\\rightarrow}{OC} + \\overset{\\rightarrow}{OD} = 4\\overset{\\rightarrow}{SO}$.

b) $\\overset{\\rightarrow}{SA} + \\overset{\\rightarrow}{SC} = \\overset{\\rightarrow}{SB} + \\overset{\\rightarrow}{SD}$.

c) $\\left( {\\overset{\\rightarrow}{SA},\\,\\overset{\\rightarrow}{AC}} \\right) = 45{^\\circ}$.

d) $\\overset{\\rightarrow}{SA} \\cdot \\overset{\\rightarrow}{AC} = - a^{2}$.

a) $\\overset{\\rightarrow}{OA} + \\overset{\\rightarrow}{OB} + \\overset{\\rightarrow}{OC} + \\overset{\\rightarrow}{OD} = 4\\overset{\\rightarrow}{SO}$.

b) $\\overset{\\rightarrow}{SA} + \\overset{\\rightarrow}{SC} = \\overset{\\rightarrow}{SB} + \\overset{\\rightarrow}{SD}$.

c) $\\left( {\\overset{\\rightarrow}{SA},\\,\\overset{\\rightarrow}{AC}} \\right) = 45{^\\circ}$.

d) $\\overset{\\rightarrow}{SA} \\cdot \\overset{\\rightarrow}{AC} = - a^{2}$.

a) $\\overset{\\rightarrow}{OA} + \\overset{\\rightarrow}{OB} + \\overset{\\rightarrow}{OC} + \\overset{\\rightarrow}{OD} = 4\\overset{\\rightarrow}{SO}$.

b) $\\overset{\\rightarrow}{SA} + \\overset{\\rightarrow}{SC} = \\overset{\\rightarrow}{SB} + \\overset{\\rightarrow}{SD}$.

c) $\\left( {\\overset{\\rightarrow}{SA},\\,\\overset{\\rightarrow}{AC}} \\right) = 45{^\\circ}$.

d) $\\overset{\\rightarrow}{SA} \\cdot \\overset{\\rightarrow}{AC} = - a^{2}$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$. Đáy $ABCD$ có tâm là $O$.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) $\\overset{\\rightarrow}{OA} + \\overset{\\rightarrow}{OB} + \\overset{\\rightarrow}{OC} + \\overset{\\rightarrow}{OD} = 4\\overset{\\rightarrow}{SO}$.

b) $\\overset{\\rightarrow}{SA} + \\overset{\\rightarrow}{SC} = \\overset{\\rightarrow}{SB} + \\overset{\\rightarrow}{SD}$.

c) $\\left( {\\overset{\\rightarrow}{SA},\\,\\overset{\\rightarrow}{AC}} \\right) = 45{^\\circ}$.

d) $\\overset{\\rightarrow}{SA} \\cdot \\overset{\\rightarrow}{AC} = - a^{2}$.

a) Sai. Vì \\(S.ABCD\\) là hình chóp tứ giác đều nên đáy \\(ABCD\\) là hình vuông.

Suy ra tâm \\(O\\) là trung điểm của các đường chéo \\(AC\\) và \\(BD\\).

Do đó, \\(\\overrightarrow {OA}  + \\overrightarrow {OC}  = \\overrightarrow 0 \\) và \\(\\overrightarrow {OB}  + \\overrightarrow {OD}  = \\overrightarrow 0 \\).

Vậy \\(\\overrightarrow {OA}  + \\overrightarrow {OB}  + \\overrightarrow {OC}  + \\overrightarrow {OD}  = \\overrightarrow 0 \\).

b) Đúng. Với điểm \\(S\\), ta có: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}\\overrightarrow {SA}  + \\overrightarrow {SC}  = 2\\overrightarrow {SO} \\\\\\overrightarrow {SB}  + \\overrightarrow {SD}  = 2\\overrightarrow {SO} \\end{array} \\right.\\).

Suy ra \\(\\overrightarrow {SA}  + \\overrightarrow {SC}  = \\overrightarrow {SB}  + \\overrightarrow {SD} \\).

c) Sai. Tứ giác \\(ABCD\\) là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là \\(a\\) nên độ dài đường chéo \\(AC\\) là \\(a\\sqrt 2 \\). Tam giác \\(SAC\\) có \\(SA = SC = a\\) và \\(AC = a\\sqrt 2 \\) nên tam giác \\(SAC\\) vuông cân tại \\(S\\), suy ra \\(\\widehat {SAC} = 45^\\circ \\). Do đó, \\(\\left( {\\overrightarrow {SC} ,\\,\\overrightarrow {AC} } \\right) = 180^\\circ  - \\widehat {SAC} = 180^\\circ  - 45^\\circ  = 135^\\circ \\).

d) Đúng. \\(\\overrightarrow {SA}  \\cdot \\overrightarrow {AC}  = \\left| {\\overrightarrow {SA} } \\right| \\cdot \\left| {\\overrightarrow {AC} } \\right| \\cdot \\cos 135^\\circ  = a \\cdot a\\sqrt 2  \\cdot \\left( { - \\frac{{\\sqrt 2 }}{2}} \\right) =  - {a^2}\\).

Áp dụng tính chất trung điểm và tích vô hướng của hai vecto.

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x^{2} - 2025)$ với mọi $x \\in {\\mathbb{R}}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $( - \\infty;a)$ và $(b;c)$. Khoảng $(b;c)$ có bao nhiêu số nguyên?

Xét dấu f'(x).

Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \\(( - \\infty ; - 45)\\) và \\((0;45)\\).

Khoảng \\((0;45)\\) có 44 số nguyên.

Mỗi trang của một quyển sách giáo khoa Toán được thiết kế thỏa mãn các tiêu chí sau (trang sách có dạng hình chữ nhật ABCD, phần diện tích dùng để trình bày là MNPQ):

- Diện tích của trang sách ABCD bằng 491,04 (cm${}^{2}$).

- Lề trên và lề dưới bằng nhau và bằng 22 (mm).

- Lề trái và phải lần lượt là 15 (mm) và 16 (mm).

Phần diện tích dùng để trình bày (sau khi căn chỉnh lề) đạt giá trị lớn nhất, khi đó chu vi mỗi trang sách bằng bao nhiêu? (đơn vị: mm).

Gọi \\(MQ = x\\) (đơn vị: mm, \\(x>0\\)).

Lập hàm số biểu diễn phần diện tích dùng để trình bày theo \\(x\\).

Tìm \\(x\\) để hàm số trên đạt GTLN, từ đó suy ra kích thước trang sách.

Gọi \\(MQ = x\\) (đơn vị: mm, \\(x>0\\)), suy ra \\(AD = x + 44\\) (mm).

Từ đó ta có \\(AB = \\frac{{49104}}{{x + 44}}\\) (mm), do đó \\(MN = \\frac{{49104}}{{x + 44}} - 31\\) (mm).

Diện tích dùng để trình bày là \\(S(x) = x\\left( {\\frac{{49104}}{{x + 44}} - 31} \\right) = \\frac{{49104x}}{{x + 44}} - 31x\\) \\(\\left( {m{m^2}} \\right)\\).

\\(S'(x) = \\frac{{49104(x + 44) - 49104x}}{{{{(x + 44)}^2}}} - 31 = \\frac{{2160576}}{{{{(x + 44)}^2}}} - 31\\).

\\(S'(x) = 0 \\Leftrightarrow \\frac{{2160576}}{{{{(x + 44)}^2}}} - 31 = 0 \\Leftrightarrow {(x + 44)^2} = 69696\\)

\\( \\Leftrightarrow x + 44 =  \\pm 264 \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}x = 220\\\\x =  - 308\\end{array} \\right.\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(TM)}\\\\{}&{(L)}\\end{array}\\).

Lập BBT thấy diện tích dùng để trình bày đạt GTLN tại x = 220.

Khi đó AD = 264, AB = 186 (mm).

Chu vi mỗi trang sách là 264.2 + 186.2 = 900 (mm).

Sau khi tiêm một loại thuốc vào cơ thể bệnh nhân, nồng độ thuốc trong máu (tính theo $mg/cm^{3}$) thay đổi theo công thức $C(t) = \\dfrac{0,15t}{t^{2} + 1}$, trong đó $t$ là thời gian (tính theo giờ) kể từ thời điểm tiêm thuốc, $t \\geq 0$. Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu $mg/cm^{3}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên.

Ta có \\({C^\\prime }(t) = \\frac{{0,15\\left( {1 - {t^2}} \\right)}}{{{{\\left( {{t^2} + 1} \\right)}^2}}},t \\ge 0\\).

Bảng biến thiên của hàm số \\(C(t)\\) trên \\((0; + \\infty )\\):

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất bằng 0,08 mg/\\(c{m^3}\\).

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm $A,\\, B,\\, C$ trên đèn tròn sao cho các lực căng $\\overset{\\rightarrow}{F_{1}},\\,\\overset{\\rightarrow}{F_{2}},\\,\\overset{\\rightarrow}{F_{3}}$ lần lượt trên mối dây $OA,\\, OB,\\, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $\\left| \\overset{\\rightarrow}{F_{1}} \\right| = \\left| \\overset{\\rightarrow}{F_{2}} \\right| = \\left| \\overset{\\rightarrow}{F_{3}} \\right| = 20$ (N) (như hình vẽ). Trọng lượng của chiếc đèn tròn đó là bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Sử dụng các phép toán vecto.

Gọi \\({A_1},\\,{B_1},\\,{C_1}\\) lần lượt là các điểm sao cho \\(\\overrightarrow {O{A_1}}  = \\overrightarrow {{F_1}} ,\\,\\overrightarrow {O{B_1}}  = \\overrightarrow {{F_2}} ,\\,\\overrightarrow {O{C_1}}  = \\overrightarrow {{F_3}} \\). Lấy các điểm \\({D_1},{A'_1},\\,{B'_1},\\,{D'_1}\\) sao cho \\(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\\) là hình hộp như hình dưới đây.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \\(\\overrightarrow {O{A_1}}  + \\overrightarrow {O{B_1}}  + \\overrightarrow {O{C_1}}  = \\overrightarrow {O{{D'}_1}} \\).

Mặt khác, do các lực căng \\(\\overrightarrow {{F_1}} ,\\,\\overrightarrow {{F_2}} ,\\,\\overrightarrow {{F_3}} \\) đôi một vuông góc và \\(\\left| {\\overrightarrow {{F_1}} } \\right| = \\left| {\\overrightarrow {{F_2}} } \\right| = \\left| {\\overrightarrow {{F_3}} } \\right| = 20\\) (N) nên hình hộp \\(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\\) có ba cạnh \\(O{A_1},\\,O{B_1},\\,O{C_1}\\)  đôi một vuông góc và bằng nhau.

Do đó, hình hộp \\(O{A_1}{D_1}{B_1}.{C_1}{A'_1}{D'_1}{B'_1}\\) là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 20.

Suy ra độ dài đường chéo của hình lập phương đó bằng \\(20\\sqrt 3  = 34,6\\).

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \\(\\overrightarrow {{F_1}}  + \\overrightarrow {{F_2}}  + \\overrightarrow {{F_3}}  = \\overrightarrow P \\), ở đó \\(\\overrightarrow P \\) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Vậy trọng lượng của chiếc đèn là \\(\\left| {\\overrightarrow P } \\right| = \\left| {\\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \\right| = 20\\sqrt 3  \\approx 34,6\\) (N).

Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \\(y = f\\left( x \\right) = \\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}}\\).

Đường thẳng \\(y = ax + b\\left( {a \\ne 0} \\right)\\) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \\(y = f\\left( x \\right)\\) nếu:

\\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {\\rm{\\;}} + \\infty } \\left[ {f\\left( x \\right) - \\left( {ax + b} \\right)} \\right] = 0\\) hoặc \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {\\rm{\\;}} - \\infty } \\left[ {f\\left( x \\right) - \\left( {ax + b} \\right)} \\right] = 0\\).

Ta có: \\(y = f\\left( x \\right) = \\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}} = x - 6 + \\frac{{20}}{{x + 3}}\\).

Xét \\(\\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {\\rm{\\;}} + \\infty } \\left[ {f\\left( x \\right) - \\left( {x - 6} \\right)} \\right] = \\mathop {\\lim }\\limits_{x \\to {\\rm{\\;}} + \\infty } \\frac{{20}}{{x + 3}} = 0\\).

Vậy đường thẳng \\(y = x - 6\\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \\(y = f\\left( x \\right) = \\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x + 3}}\\).

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số \\(y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025\\) đồng biến trên \\(\\mathbb{R}\\).

Hàm số y = f(x) đồng biến trên \\(\\mathbb{R}\\) khi và chỉ khi \\(y' \\ge 0\\), \\(\\forall x \\in \\mathbb{R}\\).

\\(y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025\\).

TXĐ: \\(D = \\mathbb{R}\\).

Ta có \\(y' = 3{x^2} + 2(m + 1)x + 3\\).

Hàm số \\(y = {x^3} + (m + 1){x^2} + 3x + 2025\\) đồng biến trên \\(\\mathbb{R}\\) khi và chỉ khi \\(y' \\ge 0\\), \\(\\forall x \\in \\mathbb{R}\\).

Khi đó \\(3{x^2} + 2(m + 1)x + 3 \\ge 0 \\Leftrightarrow \\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{\\Delta ' = {{(m + 1)}^2} - 9 \\le 0}\\\\{a = 3 > 0}\\end{array}} \\right. \\)

\\(\\Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 \\le 0 \\Leftrightarrow - 4 \\le m \\le 2\\).

Cho hình tứ diện ABCD, chứng minh rằng: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {CD}  + \\overrightarrow {DB} \\).

Bắt đầu biến đổi từ vế trái từng bước suy ra điều phải chứng minh. Áp dụng quy tắc ba điểm.

\\(\\overrightarrow {AB}  = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AB}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AB} \\)

\\( = \\frac{1}{2}\\left( {\\overrightarrow {AC}  + \\overrightarrow {CB}  + \\overrightarrow {AD}  + \\overrightarrow {DB} } \\right)\\)

\\( = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{2}\\left( {\\overrightarrow {CB}  + \\overrightarrow {DB} } \\right)\\)

\\( = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{2}\\left( {\\overrightarrow {CD}  + \\overrightarrow {DB}  + \\overrightarrow {DB} } \\right)\\)

\\( = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {CD}  + \\frac{1}{2}.2\\overrightarrow {DB} \\)

\\( = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AC}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {AD}  + \\frac{1}{2}\\overrightarrow {CD}  + \\overrightarrow {DB} \\).