• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi giữa học kì 2 - Đề số 6

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: Giữa học kì 2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) v(t) = s’(t).

b) $s(t) = \\dfrac{3}{2}t^{2} + 5t + 5$.

c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 6 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là 85 mét.

d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 2013 mét ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a) v(t) = s’(t).

b) $s(t) = \\dfrac{3}{2}t^{2} + 5t + 5$.

c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 6 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là 85 mét.

d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 2013 mét ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a) v(t) = s’(t).

b) $s(t) = \\dfrac{3}{2}t^{2} + 5t + 5$.

c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 6 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là 85 mét.

d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 2013 mét ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 35 giây thì máy bay cất cánh trên đường băng. Gọi s(t) là quãng đường máy bay di chuyển được sau t giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

a) v(t) = s’(t).

b) $s(t) = \\dfrac{3}{2}t^{2} + 5t + 5$.

c) Quãng đường máy bay di chuyển được sau 6 giây kể từ khi bắt đầu chạy đà là 85 mét.

d) Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là 2013 mét ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a) Đúng. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta có v(t) = s’(t).

b) Sai. Ta có v(t) = s’(t). Do đó s(t) là một nguyên hàm của hàm số vận tốc v(t).

\\(s\\left( t \\right) = \\int {v\\left( t \\right)dt}  = \\int {\\left( {5 + 3t} \\right)dt}  = \\int {5dt}  + \\int {3t} dt = \\frac{3}{2}{t^2} + 5t + C\\).

Theo đề \\(s\\left( t \\right) = 0 \\Leftrightarrow \\frac{3}{2}{.0^2} + 5.0 + C = 0 \\Leftrightarrow C = 0\\).

Vậy \\(s\\left( t \\right) = \\frac{3}{2}{t^2} + 5t\\).

c) Sai. Ta có: \\(s = \\int\\limits_0^6 {v(t)dt}  = \\left. {\\left( {\\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \\right)} \\right|_0^6 = \\frac{3}{2}{.6^2} + 5.6 = 84\\).

d) Đúng. Máy bay rời đường băng khi t = 35 giây nên \\(s = \\int\\limits_0^{35} {v(t)dt}  = \\left. {\\left( {\\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \\right)} \\right|_0^{35} = 2012,5\\).

Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường bằng làm tròn đến hàng đơn vị là 2013 m.

a) Áp dụng ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

b) Tìm s(t).

c) Tính \\(\\int\\limits_0^6 {v(t)dt} \\).

d) \\(\\int\\limits_0^{35} {v(t)dt} \\).

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3), B(-2; 0; -1), M(2; -1; 4) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 1 = 0. Khi đó mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\\overset{\\rightarrow}{n} = \\left( {3; - 2;1} \\right)$.

b) Điểm $A \\in (P)$.

c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, M nhận vectơ $\\overset{\\rightarrow}{m}\\left( {8;\\mspace{2mu}\\, - 23;\\, - 11} \\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau.

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\\overset{\\rightarrow}{n} = \\left( {3; - 2;1} \\right)$.

b) Điểm $A \\in (P)$.

c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, M nhận vectơ $\\overset{\\rightarrow}{m}\\left( {8;\\mspace{2mu}\\, - 23;\\, - 11} \\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau.

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\\overset{\\rightarrow}{n} = \\left( {3; - 2;1} \\right)$.

b) Điểm $A \\in (P)$.

c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, M nhận vectơ $\\overset{\\rightarrow}{m}\\left( {8;\\mspace{2mu}\\, - 23;\\, - 11} \\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3), B(-2; 0; -1), M(2; -1; 4) và mặt phẳng (P): 3x – 2y + z + 1 = 0. Khi đó mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\\overset{\\rightarrow}{n} = \\left( {3; - 2;1} \\right)$.

b) Điểm $A \\in (P)$.

c) Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, M nhận vectơ $\\overset{\\rightarrow}{m}\\left( {8;\\mspace{2mu}\\, - 23;\\, - 11} \\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau.

a) Đúng. Do \\(\\left( P \\right):3x - 2y + z + 1 = 0\\) nên suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {3; - 2;1} \\right)\\).

b) Sai. Thay tọa độ của điểm \\(A\\) vào phương trình mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\), ta được \\(3.1 - 2.2 - 3 + 1 =  - 3 \\ne 0 \\Rightarrow A \\notin \\left( P \\right)\\).

c) Đúng. Ta có: \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( { - 3; - 2;\\,2} \\right),\\overrightarrow {AM}  = \\left( {1;\\, - 3;\\,7} \\right)\\).

Mặt phẳng đi qua ba điểm \\(A,B,M\\) nhận vectơ \\({\\overrightarrow n _1} = \\left[ {\\overrightarrow {AB} ;\\overrightarrow {AM} } \\right] = \\left( { - 8;23;11} \\right)\\) làm vectơ pháp tuyến.

d) Sai. Vì \\(\\overrightarrow n .{\\overrightarrow n _1} = 3.8 - 2.( - 23) + 1.( - 11) \\ne 0\\) nên hai mặt phẳng \\(\\left( {ABM} \\right)\\) và \\(\\left( P \\right)\\) không vuông góc với nhau.

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {A;B;C} \\right)\\).

b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng, nếu thỏa mãn thì A thuộc (P).

c) Mặt phẳng đi qua ba điểm \\(A,B,M\\) nhận vectơ \\({\\overrightarrow n _1} = \\left[ {\\overrightarrow {AB} ;\\overrightarrow {AM} } \\right]\\) làm vectơ pháp tuyến.

d) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi tích vecto pháp tuyến của chúng bằng 0.

$\\int_{1}^{3} \\frac{x+2}{x} dx = a + b \\ln c$, với $a, b, c \\in \\mathbb{R}$, c < 9. Tính tổng S = a + b + c.

Chia tử cho mẫu để tách tích phân phức tạp thành các phân thức đơn giản, từ đó áp dụng công thức tích phân của hàm số lũy thừa.

Ta có $\\int_{1}^{3} \\frac{x+2}{x} dx = \\int_{1}^{3} \\left(1 + \\frac{2}{x}\\right) dx $

$= \\int_{1}^{3} dx + \\int_{1}^{3} \\frac{2}{x} dx = 2 + 2 \\ln |x| \\bigg|_{1}^{3}$

$= 2 + 2 \\ln 3$.

Do đó $a = 2, b = 2, c = 3 \\Rightarrow S = 7$.

Nhà ông Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước như hình vẽ. Ông Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng) để trang trí, biết giá thành trang trí là 1200000 đồng/\\({m^2}\\)?

Gắn hệ trục tọa độ phù hợp. Từ các điểm thuộc đồ thị, tìm phương trình của parabol rồi áp dụng công thức tính diện tích bằng tích phân.

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình.

Giả sử parabol có phương trình \\(y = a{x^2} + bx + c\\) (a < 0).

Vì parabol đi qua các điểm (0;5), (-2,5;0), (2,5;0) nên ta có:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}5 = a{.0^2} + b.0 + c\\\\0 = a.2,{5^2} + b.2,5 + c\\\\0 = a.{( - 2,5)^2} + b.( - 2,5) + c\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a =  - \\frac{4}{5}\\\\b = 0\\\\c = 5\\end{array} \\right. \\Rightarrow y =  - \\frac{4}{5}{x^2} + 5\\).

Diện tích lối vào giới hạn bởi cổng là: \\({S_1} = \\int\\limits_{ - 2,5}^{2,5} {\\left( { - \\frac{4}{5}{x^2} + 5} \\right)dx}  = \\frac{{50}}{3}\\) \\(\\left( {{m^2}} \\right)\\).

Diện tích toàn bộ hình chữ nhật là 5.6 = 30 \\(\\left( {{m^2}} \\right)\\).

Diện tích phần gạch chéo là: \\({S_2} = S - {S_1} = 30 - \\frac{{50}}{3} = \\frac{{40}}{3}\\) \\(\\left( {{m^2}} \\right)\\).

Số tiền cần để trang trí là \\(\\frac{{40}}{3}.1200000 = 16000000\\) đồng = 16 triệu đồng.

Một bình hoa có dạng khối tròn xoay với chiều cao là 25 cm (tham khảo hình vẽ). Khi cắt bình hoa theo một mặt phẳng vuông góc với trục của nó thì ta luôn được thiết diện là một hình tròn có bán kính \\(R = \\frac{4}{9}{x^3} - \\frac{5}{3}{x^2} + \\frac{4}{3}x + \\frac{{25}}{{36}}\\) với \\(x \\in \\left[ {0;\\frac{5}{2}} \\right]\\) là khoảng cách từ mặt cắt tới mặt đáy của bình hoa (tính theo đơn vị dm). Lượng nước cần đổ vào bình để mức nước trong bình cao bằng \\(\\frac{2}{3}\\) chiều cao của bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bình hoa (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Áp dụng công thức tính thể tích \\(V = \\pi \\int\\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \\).

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O trùng với tâm của đáy bình, trục Ox trùng với trục dọc của bình.

Thể tích bình là: \\({V_b} = \\pi \\int\\limits_0^{\\frac{5}{2}} {{{\\left( {\\frac{4}{9}{x^3} - \\frac{5}{3}{x^2} + \\frac{4}{3}x + \\frac{{25}}{{36}}} \\right)}^2}dx} \\).

Độ cao mực nước trong bình là \\(\\frac{2}{3}.\\frac{5}{2} = \\frac{5}{3}\\) (dm).

Thể tích nước là: \\({V_n} = \\pi \\int\\limits_0^{\\frac{5}{3}} {\\left( {\\frac{4}{9}{x^3} - \\frac{5}{3}{x^2} + \\frac{4}{3}x + \\frac{{25}}{{36}}} \\right)dx} \\).

Vậy thể tích nước so với thể tích bình là \\(T = \\frac{{{V_n}}}{{{V_b}}}.100\\%  \\approx 92\\% \\).

Ứng dụng tích phân tính thể tích

Công thức chung để tính thể tích của vật thể thu được khi quay một miền phẳng giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, đường thẳng x = a và x = b quanh trục Ox là: $V=\\pi \\int\\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}(x)dx}$.

Để chuẩn bị cho ngày hội thao, người ta dựng bốn chiếc cột tại bốn góc của một sân bóng hình chữ nhật với kích thước là 15 m x 25 m. Bốn chiếc cột vuông góc với mặt sân và có chiều cao lần lượt là 3 mét, 4 mét, 6 mét và c mét. Một tấm bạt lớn được căng phẳng với bốn góc được cố định vào đầu bốn cột.

Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên (đơn vị trên các trục là mét) thì điểm D’ có tọa độ là (a;b;c). Tìm a – 2b + c.

Quan sát hình vẽ, tìm tọa độ ba điểm A’, B’, C’, từ đó lập phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’).

Vì D’ thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên tìm được c.

Từ hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: A’(0;0;3), B’(15;0;4), C’(15;25;6), D(0;25;c).

Suy ra \\(\\overrightarrow {A'B'}  = (15;0;1)\\), \\(\\overrightarrow {A'C'}  = (15;25;3)\\).

Ta có \\(\\left[ {\\overrightarrow {A'B'} ,\\overrightarrow {A'C'} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\\\{25}&3\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&{15}\\\\3&{15}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{15}&0\\\\{15}&{25}\\end{array}} \\right|} \\right)\\)

\\( = (0.3 - 25.1;1.15 - 3.15;15.25 - 15.0) = ( - 25; - 30;375)\\).

Do đó \\(\\overrightarrow n  = \\frac{1}{5}\\left[ {\\overrightarrow {A'B'} ,\\overrightarrow {A'C'} } \\right] = ( - 5; - 6;75)\\) là một vecto pháp tuyến của (A’B’C’D’).

Phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’) là:

\\( - 5(x - 0) - 6(y - 0) + 75(z - 3) = 0\\)

\\( \\Leftrightarrow  - 5x - 6y + 75z - 225 = 0\\).

Vì D’(0;25;c) thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên:

\\( - 5.0 - 6.25 + 75c - 225 = 0 \\Leftrightarrow c = 5\\).

Suy ra D’(0;25;5).

Vậy a – 2b + c = 0 – 2.25 + 5 = -45.

Tích có hướng của hai vecto

Đối với hai vecto $\\vec{u}$ và $\\vec{v}$ trong không gian, tích có hướng của chúng, ký hiệu là $\\left[ \\overrightarrow{u},\\overrightarrow{v} \\right]$, là một vecto mới. Vecto kết quả này có tính chất đặc biệt là nó vuông góc với cả hai vecto ban đầu $\\vec{u}$ và $\\vec{v}$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Một mặt phẳng trong không gian 3D có thể được biểu diễn bằng một phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng, và D là một hằng số. Để tìm D, ta cần thay tọa độ của một điểm bất kỳ mà mặt phẳng đi qua vào phương trình.

Điều kiện một điểm thuộc mặt phẳng:

Nếu một điểm có tọa độ $(x_0, y_0, z_0)$ nằm trên một mặt phẳng, thì khi thay tọa độ của điểm đó vào phương trình của mặt phẳng, phương trình phải được thỏa mãn (tức là đẳng thức phải đúng).

Cho \\(f(x) = \\left\\{ \\begin{array}{l}1\\\\2x - 1\\end{array} \\right.\\) \\(\\begin{array}{l}khi\\\\khi\\end{array}\\) \\(\\begin{array}{l}x \\ge 1\\\\x < 1\\end{array}\\). Tính \\(J = \\int\\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx} \\).

Áp dụng tính chất của tích phân: \\(\\int\\limits_a^b {f(x)dx}  = \\int\\limits_a^c {f(x)dx}  + \\int\\limits_c^b {f(x)dx} \\).

Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: \\(\\int {{x^\\alpha }dx}  = \\frac{{{x^{\\alpha  + 1}}}}{{\\alpha  + 1}} + C\\).

\\(\\int\\limits_{ - 1}^2 {f(x)dx}  = \\int\\limits_{ - 1}^1 {f(x)dx}  + \\int\\limits_1^2 {f(x)dx} \\)

\\(= \\int\\limits_{ - 1}^1 {(2x - 1)dx}  + \\int\\limits_1^2 {1dx} \\left( {{x^2} - x} \\right)\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{^1}\\\\{_{ - 1}}\\end{array}} \\right. + x\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\\\{_1}\\end{array}} \\right. \\)

\\(= \\left( {{1^2} - 1} \\right) - \\left( {{{( - 1)}^2} - ( - 1)} \\right) + 2 - 1  =  - 1\\).

Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là:

\\(I(t) = Q'(t) = 3{t^2} - 6t + 5\\),

với \\(Q(t)\\) là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm t. Biết khi \\(t = 1\\) giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là \\(Q(1) = 4\\). Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi \\(t = 3\\).

Ta biết rằng cường độ dòng điện \\(I(t)\\) là đạo hàm của hàm điện lượng \\(Q(t)\\):

\\(I(t) = Q'(t)\\)

Để tìm hàm \\(Q(t)\\), ta tích phân hàm \\(Q'(t)\\):

\\(Q(t) = \\int {(3{t^2} - 6t + 5)} {\\mkern 1mu} dt = {t^3} - 3{t^2} + 5t + C\\)

Theo đề bài ta có \\(t = 1\\) giây, \\(Q(1) = 4\\). Sử dụng điều kiện này để tìm \\(C\\):

\\(Q(1) = {1^3} - 3 \\cdot {1^2} + 5 \\cdot 1 + C\\)

\\(4 = 1 - 3 + 5 + C\\)

\\(4 = 3 + C\\)

\\(C = 1\\)

Vậy hàm \\(Q(t)\\) là:

\\(Q(t) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 1\\)

Thay \\(t = 3\\) vào hàm \\(Q(t)\\):

\\(Q(3) = {3^3} - 3 \\cdot {3^2} + 5 \\cdot 3 + 1\\)

\\(Q(3) = 27 - 27 + 15 + 1\\)

\\(Q(3) = 16\\)

Điện lượng truyền trong dây dẫn khi \\(t = 3\\) giây là \\(Q(3) = 16\\).

Để tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi \\(t = 3\\) giây, ta thực hiện các bước sau:

- Xác định hàm lượng điện \\(Q(t)\\) bằng cách tìm nguyên hàm của \\(I(t)\\).

- Dựa trên dữ liệu tại \\(t = 1\\) để tìm hằng số C.

- Thay \\(t = 3\\) để tính điện lượng.

Cho hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right):2x + y + 2z + 12 = 0,\\left( Q \\right):4x + 2y + 4z - 6 = 0\\).

a) Chứng minh \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\).

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) và \\(\\left( Q \\right)\\).

a) Mặt phẳng \\(\\left( P \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {2;1;2} \\right)\\), mặt phẳng \\(\\left( Q \\right)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {4;2;4} \\right)\\).

Ta có: \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\frac{1}{2}\\overrightarrow {{n_2}} \\) và \\(12 \\ne \\frac{1}{2}.\\left( { - 6} \\right)\\) nên \\(\\left( P \\right)\\parallel \\left( Q \\right)\\).

b) Lấy điểm \\(A\\left( {0;0; - 6} \\right) \\in \\left( P \\right)\\). Khi đó ta có:

\\(d\\left( {\\left( P \\right);\\left( Q \\right)} \\right) = d\\left( {A;\\left( Q \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {4.0 + 2.0 + 4.\\left( { - 6} \\right) - 6} \\right|}}{{\\sqrt {{4^2} + {2^2} + {4^2}} }} = 5\\).

‒ Cho hai mặt phẳng \\(\\left( {{\\alpha _1}} \\right):{A_1}x + {B_1}y + {C_1}{\\rm{z}} + {D_1} = 0\\) và \\(\\left( {{\\alpha _2}} \\right):{A_2}x + {B_2}y + {C_2}{\\rm{z}} + {D_2} = 0\\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \\(\\overrightarrow {{n_1}}  = \\left( {{A_1};{B_1};{C_1}} \\right),\\overrightarrow {{n_2}}  = \\left( {{A_2};{B_2};{C_2}} \\right)\\).

Khi đó \\(\\left( {{\\alpha _1}} \\right)\\parallel \\left( {{\\alpha _2}} \\right) \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}\\overrightarrow {{n_1}}  = k\\overrightarrow {{n_2}} \\\\{D_1} \\ne k{{\\rm{D}}_2}\\end{array} \\right.\\left( {k \\in \\mathbb{R}} \\right)\\)

‒ Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đưa về tính khoảng cách từ một điểm trên mặt phẳng này đến mặt phẳng còn lại.