• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi giữa học kì 2 - Đề số 7

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: Giữa học kì 2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\\overset{\\rightarrow}{n}(2;1;3)$.

b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 3z – 5 = 0.

c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là x – 2y + 4z + 18 = 0.

d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng $\\dfrac{13}{\\sqrt{14}}$.

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\\overset{\\rightarrow}{n}(2;1;3)$.

b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 3z – 5 = 0.

c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là x – 2y + 4z + 18 = 0.

d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng $\\dfrac{13}{\\sqrt{14}}$.

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\\overset{\\rightarrow}{n}(2;1;3)$.

b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 3z – 5 = 0.

c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là x – 2y + 4z + 18 = 0.

d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng $\\dfrac{13}{\\sqrt{14}}$.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 6; -7), B(3; 2; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y – 3z – 14 = 0.

a) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\\overset{\\rightarrow}{n}(2;1;3)$.

b) Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 3z – 5 = 0.

c) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là x – 2y + 4z + 18 = 0.

d) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng $\\dfrac{13}{\\sqrt{14}}$.

a) Sai. Mặt phẳng \\((P)\\) có vectơ pháp tuyến \\(\\overrightarrow n (2;1; - 3)\\).

b) Đúng. Mặt phẳng \\((Q)\\) đi qua điểm \\(B\\) và song song với mặt phẳng \\((P)\\) có phương trình là:

\\(2(x - 3) + (y - 2) - 3(z - 1) = 0 \\Leftrightarrow 2x + y - 3z - 5 = 0\\).

c) Đúng. Mặt phẳng trung trực của đoạn \\(AB\\) đi qua trung điểm \\(I(2;4; - 3)\\) của đoạn \\(AB\\) và nhận \\(\\overrightarrow {AB} (2; - 4;8)\\) làm vecto pháp tuyến có phương trình:

\\(2(x - 2) - 4(y - 4) + 8(z + 3) = 0 \\Leftrightarrow x - 2y + 4z + 18 = 0\\).

d) Sai. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là: \\(\\frac{{\\left| {2.1 + 6 - 3.( - 7) - 14} \\right|}}{{\\sqrt {14} }} = \\frac{{15}}{{\\sqrt {14} }}\\).

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {A;B;C} \\right)\\).

b) Hai mặt phẳng song song có cùng vecto pháp tuyến.

c) Lập phương trình mặt phẳng đi qua trung điểm của \\(AB\\) và nhận \\(\\overrightarrow {AB} \\) làm vecto pháp tuyến.

d) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:

\\(d\\left( {M,(P)} \\right) = \\frac{{\\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \\right|}}{{\\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\\).

Cho tích phân $\\int_{1}^{2} \\left( \\frac{x^2 + 1}{x} \\right) dx = \\ln a + \\frac{b}{c}$, biết a, b, c là số nguyên. Tính tổng a + b + c.

Chia tử cho mẫu để tách tích phân phức tạp thành các phân thức đơn giản, từ đó áp dụng công thức tích phân của hàm số lũy thừa.

$\\int_{1}^{2} \\left( \\frac{x^2 + 1}{x} \\right) dx = \\int_{1}^{2} \\left( x + \\frac{1}{x} \\right) dx $

$= \\left( \\frac{x^2}{2} + \\ln |x| \\right) \\bigg|_{1}^{2} = \\ln 2 + \\frac{3}{2} = \\ln a + \\frac{b}{c} $

$\\Rightarrow a = 2, b = 3, c = 2$

$\\Rightarrow a + b + c = 7$.

Bạn Hải nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm) cho một cơ sở y tế: Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol y = f(x) và y = g(x) như hình bên (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là decimét). Bạn Hải cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi ký hợp đồng. Diện tích của logo là bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Dựa vào các điểm thuộc đồ thị, viết phương trình \\(f(x)\\) và \\(g(x)\\).

Giải phương trình hoành độ giao điểm của \\(f(x)\\) và \\(g(x)\\) để tìm cận.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân: \\(S = \\int\\limits_a^b {\\left| {f(x) - g(x)} \\right|dx} \\).

Gọi parabol \\(y = f(x)\\) có phương trình \\(y = {a_1}{x^2} + {b_1}x + {c_1}\\) \\(\\left( {{a_1} > 0} \\right)\\).

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (-2;0), (2;0), (0;-1) nên ta có:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}0 = {a_1}{( - 2)^2} + {b_1}( - 2) + {c_1}\\\\0 = {a_1}{2^2} + {b_1}2 + {c_1}\\\\ - 1 = {a_1}{0^2} + {b_1}0 + {c_1}\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{a_1} = \\frac{1}{4}\\\\{b_1} = 0\\\\{c_1} =  - 1\\end{array} \\right.\\)

Vậy \\(y = f(x) = \\frac{1}{4}{x^2} - 1\\).

Gọi parabol \\(y = g(x)\\) có phương trình \\(y = {a_2}{x^2} + {b_2}x + {c_2}\\) \\(\\left( {{a_1} > 0} \\right)\\).

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (0;2), (2;1), đỉnh (0;2) nên ta có:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}2 = {a_2}{0^2} + {b_2}0 + {c_2}\\\\1 = {a_2}{2^2} + {b_2}2 + {c_2}\\\\ - \\frac{{{b_2}}}{{2{a_2}}} = 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{a_2} =  - \\frac{1}{4}\\\\{b_2} = 0\\\\{c_2} = 2\\end{array} \\right.\\)

Vậy \\(y = g(x) =  - \\frac{1}{4}{x^2} + 2\\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \\(f(x)\\) và \\(g(x)\\):

\\(\\frac{1}{4}{x^2} - 1 =  - \\frac{1}{4}{x^2} + 2 \\Leftrightarrow \\frac{1}{2}{x^2} - 3 = 0 \\Leftrightarrow x =  \\pm \\sqrt 6 \\).

Diện tích logo là:

\\(\\int\\limits_{ - \\sqrt 6 }^{\\sqrt 6 } {\\left| {\\left( { - \\frac{1}{4}{x^2} + 2} \\right) - \\left( {\\frac{1}{4}{x^2} - 1} \\right)} \\right|dx}  = \\int\\limits_{ - \\sqrt 6 }^{\\sqrt 6 } {\\left[ {\\left( { - \\frac{1}{4}{x^2} + 2} \\right) - \\left( {\\frac{1}{4}{x^2} - 1} \\right)} \\right]dx} \\)

\\( = \\int\\limits_{ - \\sqrt 6 }^{\\sqrt 6 } {\\left( {3 - \\frac{1}{2}{x^2}} \\right)dx}  = \\left( {3x - \\frac{{{x^3}}}{6}} \\right)\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{^{\\sqrt 6 }}\\\\{_{ - \\sqrt 6 }}\\end{array}} \\right. = 4\\sqrt 6  \\approx 9,8\\) \\(\\left( {d{m^2}} \\right)\\).

Các lý thuyết chính được sử dụng:

1. Phương pháp tọa độ:

Sử dụng hệ trục tọa độ Oxy để biểu diễn hình dạng cần trang trí bằng các phương trình toán học. Mỗi điểm trên mặt phẳng được xác định bằng một cặp tọa độ (x;y). Các đường cong (parabol, đường tròn) được mô tả bằng phương trình đại số.

2. Phương trình hoành độ giao điểm:

Để tìm các điểm mà hai đường cong cắt nhau, chúng ta đặt phương trình của chúng bằng nhau và giải phương trình thu được để tìm tọa độ giao điểm.

3. Phương trình đường parabol:

Phương trình parabol có dạng \\(y = a{x^2} + bx + c\\) \\(\\left( {a \\ne 0} \\right)\\).

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

4. Diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân:

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và g(x) liên tục trên [a;b], trục hoành, đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \\(S = \\int\\limits_a^b {\\left| {f(x) - g(x)} \\right|dx} \\).

Bạn An xác định được phần thân của ấm đun nước siêu tốc được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi một parabol quay quanh trục của nó. Các kích thước của ấm bạn đo được như sau: đường kính đáy ấm bằng 14 cm, đường kính miệng ấm bằng 8 cm, chiều cao thân ấm (phần đựng nước không kể nắp) bằng 20 cm. Hỏi thể tích phần thân ấm là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Tìm phương trình parabol giới hạn thân ấm.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.

Gắn hệ trục tọa độ như hình.

Giả sử parabol giới hạn thân ấm có phương trình \\(y = a{x^2} + bx + c\\) \\((a \\ne 0)\\).

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (7;0), (4;20), (-4;20) nên ta có hệ:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}0 = a{.7^2} + b.7 + c\\\\20 = a{.4^2} + b.4 + c\\\\20 = a{( - 4)^2} + b( - 4) + c\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a =  - \\frac{{20}}{{30}}\\\\b = 0\\\\c = \\frac{{980}}{{33}}\\end{array} \\right.\\)

\\( \\Rightarrow (P):y =  - \\frac{{20}}{{30}}{x^2} + \\frac{{980}}{{33}} \\Leftrightarrow {x^2} = \\frac{{980 - 33y}}{{20}}\\).

Ta có \\(V = \\pi \\int\\limits_0^{20} {\\frac{{980 - 33y}}{{20}}dy}  = 650\\pi \\) \\(\\left( {c{m^3}} \\right)\\).

Vậy thể tích thân ấm là \\(\\frac{{650\\pi }}{{1000}} \\approx 2,04\\) (lít).

1. Phương pháp tọa độ:

Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.

2. Xác định phương trình đường parabol:

Phương trình parabol có dạng \\(y = a{x^2} + bx + c\\) \\(\\left( {a \\ne 0} \\right)\\).

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

3. Công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân:

Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi việc quay đường cong x = f(y) quanh trục Oy, giới hạn bởi các đường thẳng y = a, y = b được tính bằng công thức \\(V = \\pi \\int\\limits_a^b {{f^2}(y)dy} \\). Công thức này dựa trên ý tưởng chia khối tròn xoay thành các \"lát\" hình đĩa mỏng vuông góc với trục quay.

Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Thanh và Minh đang tập chuyền bóng cho nhau. Thanh ném bóng cho Minh đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Thanh và rơi xuống vị trí cách Minh 0,5 (m) và cách Thanh 4,5 (m) được mô tả bằng hình vẽ bên dưới.

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\): ax + by + cz + d = 0 và vuông góc với mặt đát. Khoảng cách từ bạn Minh đến mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)?

Tìm tọa độ của Minh và vị trí bóng rơi M.

Lập phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) đi qua gốc tọa độ, nhận \\(\\overrightarrow n  = \\left[ {\\overrightarrow {OM} ,\\overrightarrow k } \\right]\\) làm vecto pháp tuyến.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ Minh đến \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).

Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi M là điểm mà quả bóng chạm đất.

Khi đó \\({x_M} = 0,5\\), \\({y_M} = \\sqrt {4,{5^2} - 0,{5^2}}  = 2\\sqrt 5 \\).

Ta có \\(\\overrightarrow {OM}  = (0,5;2\\sqrt 5 ;0)\\) và vecto pháp tuyến của (Oxy) là \\(\\overrightarrow k  = (0;0;1)\\).

Vì O, M thuộc \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) và \\(\\left( \\alpha  \\right) \\bot (Oxy)\\) nên giả sử vecto pháp tuyến của \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là \\(\\overrightarrow n \\), ta có:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}\\overrightarrow n  \\bot \\overrightarrow {OM} \\\\\\overrightarrow n  \\bot \\overrightarrow k \\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\overrightarrow n  = \\left[ {\\overrightarrow {OM} ,\\overrightarrow k } \\right] = \\left( { - 2\\sqrt 5 ;0,5;0} \\right) =  - \\frac{1}{2}\\left( {4\\sqrt 5 ; - 1;0} \\right)\\).

Phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là:

\\(4\\sqrt 5 \\left( {x - 0} \\right) - \\left( {y - 0} \\right) + 0\\left( {z - 0} \\right) = 0 \\Leftrightarrow 4\\sqrt 5 x - y = 0\\).

Vị trí bạn Minh có tọa độ là \\(\\left( {0;2\\sqrt 5 ;0} \\right)\\).

Khoảng cách từ bạn Minh đến mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là:

\\(\\frac{{\\left| {4\\sqrt 5 .0 - 1.2\\sqrt 5  + 0.0} \\right|}}{{\\sqrt {{{\\left( {4\\sqrt 5 } \\right)}^2} + {{\\left( { - 1} \\right)}^2} + {0^2}} }} = \\frac{{2\\sqrt 5 }}{9} \\approx 0,5\\) (m).

Cho hàm số \\(f\\left( x \\right)\\) có đạo hàm \\(f'\\left( x \\right) = \\frac{{\\sqrt x  - 1}}{x},x > 0\\). Tính giá trị của \\(f\\left( 4 \\right) - f\\left( 1 \\right)\\).

\\(f\\left( 4 \\right) - f\\left( 1 \\right) = \\int\\limits_1^4 {f'\\left( x \\right)dx}  = \\int\\limits_1^4 {\\frac{{\\sqrt x  - 1}}{x}dx}  \\)

\\(= \\int\\limits_1^4 {\\left( {{x^{ - \\frac{1}{2}}} - \\frac{1}{x}} \\right)dx}  = \\left. {\\left( {2{x^{\\frac{1}{2}}} - \\ln {\\rm{x}}} \\right)} \\right|_1^4\\)

\\(= \\left( {{{2.4}^{\\frac{1}{2}}} - \\ln 4} \\right) - \\left( {{{2.1}^{\\frac{1}{2}}} - \\ln 1} \\right) = 2 - 2\\ln 2\\).

Sử dụng các công thức:

• \\(\\int\\limits_a^b {f\\left( x \\right)dx}  = F\\left( b \\right) - F\\left( a \\right)\\).

• \\(\\int {{x^\\alpha }dx}  = \\frac{{{x^{\\alpha  + 1}}}}{{\\alpha  + 1}} + C\\).

• \\(\\int {\\frac{1}{x}dx}  = \\ln \\left| x \\right| + C\\).

Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm \\(t\\) tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức \\(P'(t) = 8t + 30\\) (con/tháng), với \\(P(t)\\) là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm \\(t\\) tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là \\(P'(t) = 8t + 30\\). Tích phân của \\(P'(t)\\) là:

\\(P(t) = \\int {(8t + 30)} {\\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C\\)

với \\(C\\) là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm \\(t = 0\\), số lượng cá thể là 100:

\\(P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100\\)

Do đó, \\(C = 100\\). Vậy hàm số lượng cá thể là:

\\(P(t) = 4{t^2} + 30t + 100\\)

Thay \\(t = 3\\) vào hàm \\(P(t)\\):

\\(P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226\\)

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

Tìm hàm số lượng cá thể \\(P(t)\\):

- Biết \\(P'(t) = 8t + 30\\) là đạo hàm của hàm số lượng cá thể \\(P(t)\\), ta tìm \\(P(t)\\) bằng cách lấy tích phân của \\(P'(t)\\) và thêm hằng số tích phân \\(C\\).

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của \\(C\\).

Tính số lượng cá thể tại \\(t = 3\\):

- Thay \\(t = 3\\) vào hàm \\(P(t)\\) đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right):x - 2y - 2z + 9 = 0\\) và điểm \\(A\\left( {2; - 1;3} \\right)\\).

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \\(\\left( \\beta  \\right)\\) đi qua A và song song với \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).

a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) là \\(d\\left( {A,\\alpha } \\right) = \\frac{{\\left| {2 - 2 \\cdot \\left( { - 1} \\right) - 2 \\cdot 3 + 9} \\right|}}{{\\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \\frac{7}{3}\\).

b) Ta có \\(\\left( \\beta  \\right)\\) song song với \\(\\left( \\alpha  \\right)\\) nên \\(\\left( \\beta  \\right)\\) có cùng vectơ pháp tuyến với \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của \\(\\left( \\beta  \\right)\\) là \\(\\overrightarrow n  = \\left( {1; - 2; - 2} \\right)\\).

Phương trình mặt phẳng của \\(\\left( \\beta  \\right)\\) là \\(1\\left( {x - 2} \\right) - 2\\left( {y + 1} \\right) - 2\\left( {z - 3} \\right) = 0 \\Leftrightarrow x - 2y - 2z + 2 = 0\\).

Ý a: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ý b: Mặt phẳng \\(\\left( \\beta  \\right)\\) đi qua A và có cùng vectơ pháp tuyến với \\(\\left( \\alpha  \\right)\\).